1º Parcial · Análisis Matemático I

Ej 1 Continuidad y Derivabilidad ▼

Enunciado

Considerando la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+2}{x^2-4} & \text{si } x < -2 \\[8pt] -\dfrac{1}{4} & \text{si } x = -2 \\[8pt] \dfrac{\sqrt{-x} - \sqrt{2}}{x+2} & \text{si } x > -2 \end{cases}$$

a) Analizar la continuidad de $f$ en $x = -2$. En caso de ser discontinua, clasificar el tipo de discontinuidad.

b) Sin realizar cuentas, ¿es $f$ derivable en $x = -2$?

Gema

Para analizar continuidad en un punto, siempre hay que verificar tres cosas: que la función esté definida, que exista el límite, y que ambos coincidan. ¡No te saltees ninguna!

Resolución parte a)

Paso 1 — Valor de la función

Por definición de la función a trozos:

$$f(-2) = -\frac{1}{4}$$

La función está definida en $x=-2$. ✓

Paso 2 — Límite lateral derecho $(x \to -2^+)$

Para $x > -2$, usamos la rama $\frac{\sqrt{-x}-\sqrt{2}}{x+2}$. Racionalizamos multiplicando por el conjugado:

$$\lim_{x \to -2^+} \frac{\sqrt{-x}-\sqrt{2}}{x+2} \cdot \frac{\sqrt{-x}+\sqrt{2}}{\sqrt{-x}+\sqrt{2}} = \lim_{x \to -2^+} \frac{(-x)-2}{(x+2)(\sqrt{-x}+\sqrt{2})}$$

Como $(-x)-2 = -(x+2)$, simplificamos:

$$= \lim_{x \to -2^+} \frac{-(x+2)}{(x+2)(\sqrt{-x}+\sqrt{2})} = \lim_{x \to -2^+} \frac{-1}{\sqrt{-x}+\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

Paso 3 — Límite lateral izquierdo $(x \to -2^-)$

Para $x < -2$, usamos $\frac{x+2}{x^2-4}$. Factorizamos el denominador:

$$\lim_{x \to -2^-} \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to -2^-} \frac{1}{x-2} = \frac{1}{-2-2} = -\frac{1}{4}$$

Paso 4 — Comparación

Comparamos los límites laterales:

$$\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \approx -0,354 \qquad \neq \qquad \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\frac{1}{4} = -0,25$$

Conclusión: Como los límites laterales son distintos, no existe $\lim_{x \to -2} f(x)$. La función presenta una discontinuidad esencial (de primera especie, por salto finito) en $x = -2$.

Elvira

Ojo: que $f(-2)$ coincida con uno de los límites laterales no alcanza. Para continuidad necesitás que ambos laterales sean iguales entre sí e iguales al valor de la función.

Resolución parte b)

Si $f$ no es continua en $x=-2$, entonces no puede ser derivable en ese punto.

Propiedad: La derivabilidad implica continuidad. Equivalentemente: si $f$ no es continua en $a$, entonces $f$ no es derivable en $a$.

Conclusión: Como $f$ presenta discontinuidad esencial en $x=-2$, no existe $f'(-2)$.

Ej 2 Cálculo de Límites ▼

Ejercicio 2a

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{x+3}$$

Gema

Cuando ves una indeterminación $1^\infty$, la clave es transformar la base a la forma $\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t \to e$. ¡El cambio de variable es tu mejor amigo acá!

Resolución 2a

Paso 1 — Reescribir la base

$$\frac{x-1}{x+2} = \frac{(x+2)-3}{x+2} = 1 - \frac{3}{x+2}$$

Paso 2 — Cambio de variable

Hacemos $\frac{-3}{x+2} = \frac{1}{t}$, entonces $-3t = x+2$, es decir $x = -3t - 2$.

Si $x \to +\infty$, entonces $t \to -\infty$.

El exponente: $x + 3 = -3t - 2 + 3 = -3t + 1$.

Paso 3 — Sustituir y separar

$$\lim_{t \to -\infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{-3t+1} = \lim_{t \to -\infty} \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{-3} \cdot \left(1+\frac{1}{t}\right)^1$$

Paso 4 — Evaluar

Sabemos que $\lim_{t\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t = e$, y $\left(1+\frac{1}{t}\right) \to 1$.

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{x+3} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$$

Ejercicio 2b

$$\lim_{x \to +\infty} e^{-x} \cdot \cos x$$

Elvira

Recordá la propiedad: infinitésimo por acotada = 0. Cada vez que identifiques un factor que tiende a cero y otro que está acotado, el producto tiende a cero.

Resolución 2b

Paso 1 — Identificar factores

Factor infinitésimo: $e^{-x} = \left(\frac{1}{e}\right)^x \to 0$ cuando $x \to +\infty$, ya que $\frac{1}{e} < 1$.

Factor acotado: $-1 \leq \cos x \leq 1$ para todo $x$.

Paso 2 — Aplicar la propiedad

$$\lim_{x \to +\infty} e^{-x} \cdot \cos x = 0$$

Ejercicio 2c

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2-5}}{x+5}$$

$Gema$

Gema

Cuando $x \to -\infty$, ¡cuidado con la raíz! Recordá que $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ (porque $x$ es negativo). Es el error más común en estos límites.

Resolución 2c

Paso 1 — Extraer $x^2$ de la raíz

$$\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2-5}}{x+5} = \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2\left(1-\frac{5}{x^2}\right)}}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty}\frac{|x|\,\sqrt{1-\frac{5}{x^2}}}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)}$$

Paso 2 — Usar que $x < 0$

Como $x \to -\infty$, tenemos $x < 0$, entonces $|x| = -x$:

$$= \lim_{x \to +\infty}\frac{-x \cdot \sqrt{1-\frac{5}{x^2}}}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty}\frac{-\sqrt{1-\frac{5}{x^2}}}{1+\frac{5}{x}}$$

Paso 3 — Evaluar el límite

Cuando $x \to -\infty$: $\frac{5}{x^2} \to 0$ y $\frac{5}{x} \to 0$:

$$\lim_{x \to +\infty}\frac{-\sqrt{1-\frac{5}{x^2}}}{1+\frac{5}{x}} =\frac{-\sqrt{1-0}}{1+0} = \frac{-1}{1} = -1$$

Ej 3 Asíntota Oblicua ▼

Enunciado

¿La recta $y = -x-2$ es asíntota oblicua de $g(x) = \dfrac{x^3}{x^2-1}$? Justificar.

Elvira

Para verificar si una recta $y = mx+b$ es asíntota oblicua, hay que calcular $m$ y $b$ con las fórmulas correspondientes y comparar. No alcanza con “parecerse”.

Resolución

Definición: La recta $y = mx + b$ es asíntota oblicua de $g(x)$ cuando $x \to \pm\infty$ si:

$$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{g(x)}{x} \qquad \text{y} \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} \left[g(x) - mx\right]$$

Paso 1 — Calcular $m$

$$m = \lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x^2-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} = 1$$

Ya vemos que $m = 1 \neq -1$. Pero completemos el cálculo.

Paso 2 — Calcular $b$

$$\begin{aligned} b &= \lim_{x \to \infty} \left[g(x) - x\right] = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{x^3}{x^2-1} - x\right] \\[6pt] &= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x(x^2-1)}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\underbrace{x}_{\to \infty}\!\left(1 - \underbrace{\dfrac{1}{x^2}}_{\to\, 0}\right)} = 0 \end{aligned}$$

Conclusión: La asíntota oblicua de $g(x) = \frac{x^3}{x^2-1}$ es $y = x$, NO $y = -x-2$.

La recta propuesta tiene pendiente $m = -1$ y ordenada $b = -2$, pero los valores correctos son $m = 1$ y $b = 0$.

Gema

Un analisis rápido: si el grado del numerador supera al del denominador en 1, hay altas chances de que la función tenga asintota oblicua, guardate este truquito visual!

Ej 4 Latas Cilíndricas — Volumen ▼

Enunciado

Una empresa necesita envasar un producto en latas cilíndricas, de manera tal que el diámetro de la base sea la mitad de la altura. (Ayuda: $V = \pi r^2 h$)

a) Encontrar la función que relaciona el volumen con el radio. Determinar dominio e imagen.

b) ¿Cuál debe ser el radio del cilindro si su capacidad es de 750 cm³?

Elvira

La clave acá es traducir la condición geométrica a una ecuación. “El diámetro es la mitad de la altura” significa $D = \frac{h}{2}$, o sea $2r = \frac{h}{2}$, que nos da $h = 4r$.

Resolución parte a)

Paso 1 — Interpretar la condición

$$D = \frac{h}{2} \implies 2r = \frac{h}{2} \implies h = 4r$$

Paso 2 — Sustituir en la fórmula del volumen

$$V(r) = \pi r^2 \cdot h = \pi r^2 \cdot 4r = 4\pi r^3$$

Paso 3 — Dominio e imagen

Como $r$ es un radio, debe ser positivo. Y el volumen resultante también es positivo:

$$\text{Dom}\, V = (0, +\infty) \qquad \text{Im}\, V = (0, +\infty)$$

Resolución parte b)

Despejar $r$ para $V = 750$

$$750 = 4\pi r^3 \implies r^3 = \frac{750}{4\pi} \implies r = \sqrt[3]{\frac{750}{4\pi}}$$

$$r \approx 3{,}9 \text{ cm}$$

Gema

Tip para el examen: siempre verificá el resultado sustituyendo de vuelta. Con $r \approx 3{,}9$: $V = 4\pi \cdot 3{,}9^3 \approx 745$. Cercano a 750, ¡cierra!

Ej 5 Recta Tangente Paralela ▼

Enunciado

Hallar los puntos, si existen, en los cuales la recta tangente a la gráfica de $h(x) = \dfrac{4x}{x+1}$ es paralela a la recta $y = x + 7$.

$Gema$

Gema

Tangente paralela a una recta = misma pendiente. La recta $y = x + 7$ tiene pendiente $m = 1$, así que necesitás encontrar dónde $h'(x) = 1$. ¡Derivá y resolvé!

Resolución

Paso 1 — Pendiente de la recta dada

La recta $y = x + 7$ tiene pendiente $m = 1$. Para que la tangente sea paralela: $h'(a) = 1$.

Paso 2 — Derivar $h(x)$ (regla del cociente)

$$h'(x) = \frac{4(x+1) - 4x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{4x+4-4x}{(x+1)^2} = \frac{4}{(x+1)^2}$$

Paso 3 — Igualar a 1 y resolver

$$\frac{4}{(x+1)^2} = 1 \implies (x+1)^2 = 4 \implies |x+1| = 2$$

Dos soluciones:

$$x + 1 = 2 \implies x = 1 \qquad \text{y} \qquad x + 1 = -2 \implies x = -3$$

Paso 4 — Encontrar los puntos

$h(1) = \frac{4}{2} = 2 \implies$ punto $(1,\, 2)$

$h(-3) = \frac{-12}{-2} = 6 \implies$ punto $(-3,\, 6)$

Puntos: $(1,\, 2)$ y $(-3,\, 6)$

Elvira

¡No te olvides de calcular las ordenadas! Muchos resuelven bien la ecuación pero se olvidan de volver a la función original para dar los puntos completos $(x, h(x))$.

Ej 6 Cálculo de Derivadas ▼

Ejercicio 6a

$$f(x) = \log(3x^2 - 2x)$$

Gema

Para derivar $\log$ (base 10), recordá: $\left(\log_a u\right)' = \frac{u'}{u \cdot \ln a}$. Si fuera $\ln$ (base $e$), el $\ln a$ desaparece.

Resolución 6a

Aplicamos la regla de la cadena con $\log = \log_{10}$:

$$f'(x) = \frac{1}{(3x^2-2x)\cdot \ln 10} \cdot (6x - 2)$$

$$f'(x) = \frac{6x-2}{(3x^2-2x)\,\ln 10}$$

Ejercicio 6b

$$p(x) = \frac{2}{x^4}\left(x^4 + \sqrt{x-5}\right)$$

Elvira

Acá podés simplificar antes de derivar: $\frac{2}{x^4} \cdot x^4 = 2$. Entonces $p(x) = 2 + \frac{2\sqrt{x-5}}{x^4}$. Pero si querés practicar la regla del producto, también funciona directo.

Resolución 6b

Escribimos $p(x) = 2x^{-4} \cdot (x^4 + \sqrt{x-5})$ y aplicamos la regla del producto:

Derivada del primer factor

$$\left(2x^{-4}\right)' = -8x^{-5} = -\frac{8}{x^5}$$

Derivada del segundo factor

$$\left(x^4 + \sqrt{x-5}\right)' = 4x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x-5}}$$

Regla del producto

$$p'(x) = -\frac{8}{x^5}\left(x^4 + \sqrt{x-5}\right) + \frac{2}{x^4}\left(4x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x-5}}\right)$$

$$p'(x) = -\frac{8}{x^5}\!\left(x^4+\sqrt{x\!-\!5}\right) + \frac{2}{x^4}\!\left(4x^3+\frac{1}{2\sqrt{x\!-\!5}}\right)$$

1° RecuperatorioAnálisis Matemático I

Resolución parte a)

Resolución parte b)

Resolución 2a

Resolución 2b

Resolución 2c

Resolución

Resolución parte a)

Resolución parte b)

Resolución

Resolución 6a

Resolución 6b

1° Recuperatorio
Análisis Matemático I