Unidad · Funciones

Análisis de
Dominio

Tres situaciones que exigen un análisis cuidadoso.
Antes de operar, identificá el caso y aplicá la condición correspondiente.

Calculando tiempo de lectura…
① Denominador ② Raíz de índice par ③ Logaritmo 📋 Tabla resumen
Caso 01 Función Racional — Denominador
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Gema
Gema presenta
Caso 1: función racional. La regla es simple — el denominador nunca puede ser cero. Buscamos qué valores lo anulan y los excluimos 🐾

Para que la función esté definida, el denominador no puede anularse.

Fórmula general
$$f(x) = \dfrac{\displaystyle\triangle}{\displaystyle\square} \qquad\Longrightarrow\qquad \text{Dom}\, f = \bigl\{\, x \in \mathbb{R} \;\big|\; \square \neq 0 \,\bigr\}$$

La restricción recae sobre el denominador. Resolvemos la ecuación auxiliar \(\square = 0\) y excluimos esas soluciones.

Ejemplo A — denominador lineal

Hallar el dominio de \(\displaystyle f(x) = \dfrac{2x}{x + 4}\)

1
Identificar el denominador: \( x + 4 \) $$\text{Dom}\, f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x + 4 \neq 0 \}$$
2
Condición auxiliar: \( x + 4 = 0 \;\implies\; x = -4 \)
3
Excluir ese valor: para \( x = -4 \) el denominador se anula → función indefinida.
$$\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{-4\}$$
Ejemplo B — denominador cuadrático

Hallar el dominio de \(\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 5x + 6}\)

1
Identificar el denominador: \( x^2 - 5x + 6 \) $$\text{Dom}\, f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 \neq 0 \}$$
2
Condición auxiliar — resolver \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) con \( a=1,\; b=-5,\; c=6 \): $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \;\implies\; x_1 = 2 \;,\quad x_2 = 3$$
3
Excluir esas raíces: para \( x=2 \) y \( x=3 \) el denominador se anula.
$$\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{2\,;\,3\}$$
Elvira
Elvira dice
La restricción siempre la pone el denominador, nunca el numerador. Que el numerador valga 0 solo hace que la función valga 0... nada más 😼
⚠️
Error típico

Confundir y excluir los ceros del numerador. Que el numerador valga 0 solo hace \( f(x)=0 \); no genera indeterminación.

Caso 02 Raíz de Índice Par
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El radicando de una raíz de índice par debe ser mayor o igual a cero.

Fórmula general
$$f(x) = \sqrt[\,m\,]{\,\square\,}\ \ (m \text{ par}) \qquad\Longrightarrow\qquad \text{Dom}\, f = \bigl\{\, x \in \mathbb{R} \;\big|\; \square \geq 0 \,\bigr\}$$

La restricción recae sobre el radicando. Resolvemos la inecuación \(\square \geq 0\); ese conjunto es el dominio.

Ejemplo A — radicando lineal

Hallar el dominio de \(\displaystyle f(x) = \sqrt{\,-x - 3\,}\)

1
El radicando debe ser \( \geq 0 \): $$\text{Dom}\, f = \{ x \in \mathbb{R} \mid {-x - 3} \geq 0 \}$$
2
Resolver la inecuación:
\(-x - 3 \geq 0 \;\implies\; -x \geq 3 \;\implies\; x \leq -3\)
3
El dominio es el conjunto de \( x \) que satisface esa condición.
$$\text{Dom}\, f = (-\infty,\,-3\,]$$
Ejemplo B — radicando cuadrático

Hallar el dominio de \(\displaystyle f(x) = \sqrt{\,x^2 - 16\,}\)

1
El radicando debe ser \( \geq 0 \): $$\text{Dom}\, f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 16 \geq 0 \}$$
2
Condición auxiliar:
\( x^2 - 16 \geq 0 \;\implies\; x^2 \geq 16 \;\implies\; |x| \geq 4 \)
3
Propiedad del módulo (caso \( \geq \)):
\( |x| \geq 4 \iff x \leq -4 \;\text{ o }\; x \geq 4 \)
$$\text{Dom}\, f = (-\infty,\,-4\,] \cup [\,4,\,+\infty)$$
Gema
Gema advierte
Cuando el radicando es cuadrático y usás módulo, siempre aparecen dos ramas: la positiva y la negativa. ¡Nunca te olvides de la rama izquierda! 🐾
⚠️
Error típico

De \( x^2 \geq 16 \) concluir solo \( x \geq 4 \), olvidando la solución negativa. Con módulo siempre aparecen dos ramas.

Caso 03 Función Logarítmica
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Gema
Gema presenta
Caso 3: logaritmo. El argumento tiene que ser estrictamente mayor que cero — el 0 queda afuera porque \(\log(0)\) simplemente no existe 😼

El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente mayor que cero.

Fórmula general
$$f(x) = \log_a\!\bigl(\square\bigr) \qquad\Longrightarrow\qquad \text{Dom}\, f = \bigl\{\, x \in \mathbb{R} \;\big|\; \square > 0 \,\bigr\}$$

La restricción recae sobre el argumento. A diferencia de la raíz, el 0 queda excluido: \(\log(0)\) no existe.

Ejemplo A — argumento lineal

Hallar el dominio de \(\displaystyle f(x) = \log_2(2x - 7)\)

1
El argumento debe ser estrictamente \( > 0 \): $$\text{Dom}\, f = \{ x \in \mathbb{R} \mid 2x - 7 > 0 \}$$
2
Condición auxiliar:
\( 2x - 7 > 0 \;\implies\; 2x > 7 \;\implies\; x > \dfrac{7}{2} \)
3
El dominio es el intervalo que satisface la inecuación.
$$\text{Dom}\, f = \left(\frac{7}{2}\,,\,+\infty\right)$$
Ejemplo B — argumento cuadrático

Hallar el dominio de \(\displaystyle f(x) = \log_3(-x^2 + 9)\)

1
El argumento debe ser estrictamente \( > 0 \): $$\text{Dom}\, f = \{ x \in \mathbb{R} \mid {-x^2 + 9} > 0 \}$$
2
Despejar la inecuación paso a paso: $$-x^2 + 9 > 0$$ Pasamos \( x^2 \) al lado derecho: $$9 > x^2 \;\implies\; x^2 < 9$$ Aplicamos raíz cuadrada (recordando que \(\sqrt{x^2} = |x|\)): $$|x| < 3$$
3
Propiedad del módulo (caso \( < \), "Prop. del Menor"):
\( |x| < 3 \) significa que la distancia de \(x\) al origen es menor que 3: $$-3 < x < 3$$
$$\text{Dom}\, f = (-3\,,\,3)$$
Elvira
Elvira advierte
Acá el error más frecuente: poner \(\geq 0\) en vez de \(> 0\). El \(\log(0)\) directamente no existe — el intervalo siempre es abierto en los extremos 😾
⚠️
Error típico

Usar \( \geq 0 \) en vez de \( > 0 \). El intervalo es abierto en los extremos porque \(\log(0)\) es indefinido, a diferencia de la raíz cuadrada donde el 0 sí pertenece al dominio.

Resumen Tabla comparativa de condiciones
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Tabla Resumen — Dominio de Funciones
Caso Forma de \( f(x) \) Condición Nota clave
01 — Denominador \(\dfrac{\triangle}{\square}\) \(\square \neq 0\) Excluir los ceros del denominador
02 — Raíz par \(\sqrt[\,m\,]{\,\square\,}\),  \(m\) par \(\square \geq 0\) Incluye el 0; resolver inecuación
03 — Logaritmo \(\log_a\!\left(\square\right)\) \(\square > 0\) Excluye el 0; intervalo abierto
💡

Diferencia clave raíz vs. logaritmo: en la raíz par la condición es \(\geq 0\) (el 0 pertenece al dominio); en el logaritmo es \(> 0\) (el 0 queda excluido porque \(\log(0)\) no existe).

Elvira y Gema
Elvira & Gema
Raíz par → \(\geq 0\) (el 0 entra). Logaritmo → \(> 0\) (el 0 queda afuera). ¡Esa diferencia define si el intervalo es abierto o cerrado en los extremos! 😸🐾