Una función cuadrática es aquella en la que la variable independiente aparece elevada al cuadrado como término de mayor grado. Su forma más general se llama forma polinómica:
Gema
Traducción express: es una función donde la \(x\) aparece al cuadrado, y ese cuadrado manda. Si \(a = 0\), se cae el castillo y queda una función lineal.
Coeficientes: \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales fijos llamados coeficientes. El término \(c\) se llama término independiente porque no multiplica a \(x\).
Condición fundamental: \(a \neq 0\). Si \(a = 0\), el término cuadrático desaparece y la función deja de ser cuadrática.
Variables de la función
- \(x\) → variable independiente (la que elegimos libremente)
- \(f(x)\) o \(y\) → variable dependiente (el resultado al sustituir \(x\))
Evaluación de una función cuadrática
Evaluar significa reemplazar \(x\) por un valor numérico y calcular el resultado.
Ejemplo de evaluación
Sea \(f(x) = x^2 + 5x - 2\). Calculamos \(f(3)\):
$$f(3) = (3)^2 + 5(3) - 2 = 9 + 15 - 2 = 22$$Y calculamos \(f(-1)\):
$$f(-1) = (-1)^2 + 5(-1) - 2 = 1 - 5 - 2 = -6$$Una misma función cuadrática puede escribirse de tres formas equivalentes, cada una útil según lo que queramos encontrar:
| Forma | Expresión | ¿Para qué sirve? |
|---|---|---|
| Polinómica | \(f(x) = ax^2 + bx + c\) | Identificar coeficientes; calcular ordenada al origen directamente (\(c\)) |
| Canónica | \(f(x) = a(x-h)^2 + k\) | Leer el vértice \(V(h,k)\) directamente |
| Factorizada | \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\) | Leer las raíces \(x_1\) y \(x_2\) directamente |
Elvira
Pensalo así: las tres formas dicen lo mismo, pero cada una te muestra distinta info. La polinómica te da los coeficientes, la canónica te regala el vértice, y la factorizada te muestra dónde corta al eje \(x\).
Forma Polinómica → Canónica
Se calcula el vértice con \(h = \dfrac{-b}{2a}\) y \(k = f(h)\), y se sustituye:
Forma Polinómica → Factorizada
Se calculan las raíces con la fórmula de Bhaskara (resolvente) y se arma el producto:
Ejemplo 1 — Análisis completo de una parábola
Sea \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). Determinar: orientación, vértice, eje de simetría, ordenada al origen, raíces y forma canónica.
Paso 1 — Identificar coeficientes:
$$a = 1, \quad b = -2, \quad c = -3$$Paso 2 — Orientación: Como \(a = 1 > 0\), la parábola se abre hacia arriba (convexa).
Paso 3 — Eje de simetría y vértice:
$$h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$ $$k = f(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$ $$\therefore \quad \text{Vértice: } V(1,\,-4) \qquad \text{Eje de simetría: } x = 1$$Paso 4 — Ordenada al origen (hacer \(x = 0\)):
$$f(0) = 0 - 0 - 3 = -3 \qquad \Rightarrow \quad (0,\,-3)$$Paso 5 — Raíces (hacer \(f(x) = 0\), aplicar Bhaskara):
$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ $$x_1 = \frac{2+4}{2} = 3 \qquad x_2 = \frac{2-4}{2} = -1$$Paso 6 — Formas equivalentes:
$$\text{Canónica: } f(x) = (x-1)^2 - 4$$ $$\text{Factorizada: } f(x) = (x-3)(x+1)$$Paso 7 — Imagen (recorrido): Como \(a > 0\) y \(k = -4\):
$$\text{Im}(f) = [-4,\, +\infty)$$
Gema
¿Viste que las raíces \(x_1 = 3\) y \(x_2 = -1\) aparecen directo en la forma factorizada \((x-3)(x+1)\)? Esa es la gracia de cada forma: te regala distinta info sin hacer cuentas extra.
Ejemplo 2 — Convertir forma canónica a polinómica
Convertir \(f(x) = 2(x-3)^2 + 3\) a forma polinómica.
Paso 1 — Desarrollar el cuadrado del binomio:
$$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$$Paso 2 — Multiplicar por \(2\):
$$2(x^2 - 6x + 9) = 2x^2 - 12x + 18$$Paso 3 — Sumar el término independiente:
$$f(x) = 2x^2 - 12x + 18 + 3 = 2x^2 - 12x + 21$$Verificación rápida: en la forma canónica, el vértice es \(V(3, 3)\). Evaluamos en la polinómica: \(f(3) = 2(9) - 12(3) + 21 = 18 - 36 + 21 = 3\). Correcto.
Al graficar una función cuadrática obtenemos una curva llamada parábola. Sus elementos principales son:
| Elemento | ¿Qué es? | ¿Cómo se calcula? |
|---|---|---|
| Orientación | Dirección de apertura de las ramas | Si \(a > 0\) → abre hacia arriba (convexa) Si \(a < 0\) → abre hacia abajo (cóncava) |
| Vértice \(V(h,k)\) | Punto más alto o más bajo de la parábola (máximo o mínimo) | \(h = \dfrac{-b}{2a}\), \quad \(k = f(h)\) |
| Eje de simetría | Recta vertical que divide la parábola en dos partes simétricas | Ecuación: \(x = h = \dfrac{-b}{2a}\) |
| Ordenada al origen | Punto donde la parábola corta al eje \(y\) | Hacer \(x = 0\): da el punto \((0,\,c)\) |
| Raíces o ceros | Puntos donde la parábola corta al eje \(x\) | Hacer \(f(x) = 0\) y resolver con Bhaskara |
| Dominio | Valores que puede tomar \(x\) | Siempre \(\text{Dom}(f) = \mathbb{R} = (-\infty,\,+\infty)\) |
| Imagen | Valores que puede tomar \(y\) | Si \(a>0\): \(\text{Im}(f) = [k,\,+\infty)\) Si \(a<0\): \(\text{Im}(f) = (-\infty,\,k]\) |
Elvira
Ojo: el dominio siempre es todos los reales, pero la imagen depende del vértice. No confundas: la parábola se extiende infinitamente en \(x\), pero en \(y\) tiene un tope (el vértice).
El discriminante es la expresión que aparece dentro de la raíz en la fórmula de Bhaskara. Nos dice cuántas raíces reales tiene la función sin tener que resolver toda la ecuación:
| Condición | Raíces | La parábola… |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | Dos raíces reales distintas \(x_1 \neq x_2\) | Corta al eje \(x\) en dos puntos |
| \(\Delta = 0\) | Una raíz real doble \(x_1 = x_2\) | Es tangente al eje \(x\) (toca en el vértice) |
| \(\Delta < 0\) | Sin raíces reales (raíces complejas) | No corta al eje \(x\) |
Gema
Truco rápido: antes de lanzarte con toda la fórmula de Bhaskara, calculá primero el discriminante. Si da negativo, ya sabés que no hay raíces reales y te ahorrás todo el trabajo.
Ejemplo — Analizar discriminante
Sea \(f(x) = x^2 + 3x + 5\). Determinamos si tiene raíces reales:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11$$Como \(\Delta = -11 < 0\), la función no tiene raíces reales. La parábola no corta al eje \(x\).
Elvira
Estos errores los veo todo el tiempo. Leelos con atención porque caer en alguno de estos es más común de lo que parece, sobre todo en evaluaciones.
La fórmula es \(h = \dfrac{-b}{2a}\). Si \(b = -4\), entonces \(h = \dfrac{-(-4)}{2a} = \dfrac{4}{2a}\). Cuidado con el doble negativo.
Si \(b = -5\), entonces \(b^2 = (-5)^2 = 25\), no \(-25\). El cuadrado de un número negativo siempre es positivo.
\(a > 0\) → la parábola abre hacia arriba (convexa).
\(a < 0\) → abre hacia abajo (cóncava).
El dominio siempre es \(\mathbb{R}\), pero la imagen depende del vértice y la orientación. Nunca puede ser \(\mathbb{R}\) completo para una cuadrática.
Si \(a = 0\), la función se convierte en lineal (\(f(x) = bx + c\)), no cuadrática.
En \(f(x) = a(x-h)^2 + k\), el vértice es directamente \(V(h,\,k)\). Atención: el signo de \(h\) es el contrario al que aparece dentro del paréntesis. Si ves \((x-3)\), entonces \(h = 3\). Si ves \((x+2)\), entonces \(h = -2\).
En la forma polinómica \(f(x) = ax^2 + bx + c\), el valor \(c\) es exactamente la intersección con el eje \(y\), porque \(f(0) = c\).
Gema
Dato clave: si te dan la canónica y querés verificar, evaluá \(f(h)\) en la polinómica. Tiene que darte \(k\). Si no coincide, algo falló en la conversión.
Una vez que calculaste el vértice \(V(h,k)\), verificá que \(f(h) = k\) sustituyendo en la forma polinómica. Si no coincide, revisá el cálculo de \(h\).
GeoGebra (geogebra.org) es un software gratuito que permite graficar funciones cuadráticas de manera interactiva. Úsalo para comparar tus gráficas hechas a mano.
Para determinar la imagen a partir de la gráfica, fijate en la coordenada \(y\) del vértice y determiná hacia dónde se extienden las ramas (arriba o abajo).
Antes de dar por terminado el análisis de una función cuadrática, verificá que hayas completado todos estos pasos:
- Identifiqué correctamente los coeficientes a, b y c.
- Determiné la orientación de la parábola según el signo de a.
- Calculé el eje de simetría con \(h = \dfrac{-b}{2a}\).
- Calculé el vértice \(V(h, k)\) evaluando \(k = f(h)\).
- Encontré la ordenada al origen evaluando \(f(0) = c\).
- Calculé el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\) para saber cuántas raíces hay.
- Si \(\Delta \geq 0\), apliqué Bhaskara y encontré las raíces \(x_1\) y \(x_2\).
- Determiné el dominio (todos los reales) y la imagen a partir del vértice.
- Escribí la forma canónica \(f(x) = a(x - h)^2 + k\).
- Si hay raíces reales, escribí la forma factorizada \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
Resolvé los siguientes ejercicios aplicando todo lo aprendido.
Identificá los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) de cada función, y determiná su orientación:
a) \(f(x) = 3x^2 + 5x - 10\) b) \(f(x) = -2x^2 + 3x + 8\) c) \(y = 1 - 2t^2\)
Evaluá la función \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) en los valores \(x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) y completá la tabla. Luego graficá a mano.
Para cada función, determiná: orientación, eje de simetría, vértice, ordenada al origen, raíces y forma canónica.
a) \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) b) \(f(x) = -x^2 - 4x + 5\) c) \(f(x) = 2x^2 - 6x + 4\)
Usá el discriminante para determinar cuántas raíces reales tienen las siguientes funciones sin resolver la ecuación completa:
a) \(f(x) = x^2 + 2\) b) \(f(x) = -x^2 + 4\) c) \(f(x) = 2x^2 + 8x + 9\) d) \(f(x) = -x^2 + 6x - 9\)
Sea la función \(f(x) = x^2 + mx + m\). Determiná el valor de \(m\) sabiendo que la gráfica pasa por el punto \((2,\, 7)\).
Elvira
Antes de entregar, pasá por el checklist de la sección anterior. Te va a ahorrar errores por descuido, que son los más comunes.