Este es el último de los tres apuntes sobre sistemas. En el primero vimos qué significa la solución y cómo clasificar el sistema mirando dos rectas. En el segundo, los tres métodos algebraicos. Acá viene el quinto y último método, que funciona distinto a todos: en lugar de despejar, calcula.
La regla de Cramer resuelve un sistema con tres cuentas fijas, siempre las mismas. Es el método que usan las computadoras, y trae un regalo: el primer número que calculás ya te dice de qué tipo es el sistema, antes de resolver nada.
Al terminar vas a poder:
Calcular el determinante de un arreglo de dos por dos con la regla de la cruz.
Resolver un sistema con la regla de Cramer, armando \(\Delta\), \(\Delta_x\) y \(\Delta_y\).
Clasificar el sistema a partir de los determinantes, sin graficar ni despejar.
Elegir, entre los cinco métodos de la unidad, el que mejor le va a cada sistema.
Todo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, una vez ordenado, se puede escribir así:
Los cuatro coeficientes \(a\), \(b\), \(d\), \(e\) forman un cuadro de dos filas por dos columnas. A ese cuadro se le puede calcular un número, y ese número se llama determinante.
La diagonal principal suma; la secundaria resta. El orden importa.
Dos ejemplos rápidos, para agarrarle la mano:
Fijate el segundo: cuando hay coeficientes negativos, conviene escribirlos entre paréntesis antes de multiplicar. La mayoría de los errores de esta unidad son signos perdidos en ese paso.
Gema
Para no confundir el orden: se lee como se escribe, de arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha, y esa es la que va primero. La otra diagonal viene después, con el signo menos adelante. Si las invertís, te da el resultado exacto pero cambiado de signo.
La regla usa tres determinantes construidos a partir del mismo sistema. El primero, \(\Delta\), sale de los coeficientes. Los otros dos se arman reemplazando una columna por los términos independientes.
En Δx se reemplaza la columna de la x; en Δy, la de la y. Siempre por los términos independientes.
Notá lo que no aparece por ningún lado: despejes, sustituciones, paréntesis para distribuir. Son tres determinantes y dos divisiones, siempre igual, no importa cuán feos sean los números.
Los términos con \(x\) alineados, los de \(y\) alineados y los números a la derecha. Este ya lo está.
Solo los coeficientes, en el mismo orden en que están escritos.
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -3 $$\(\Delta = -3 \neq 0\), así que el sistema es compatible determinado y la regla se puede aplicar.
Se reemplaza la primera columna —la de los coeficientes de \(x\)— por el 7 y el 1.
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 7 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -8 $$Ahora se reemplaza la segunda columna. La primera vuelve a ser la original.
$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 7 \cdot 1 = -5 $$Cada determinante va arriba y el del sistema, abajo. Los dos signos menos se cancelan.
$$ x = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3} \qquad y = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} $$Verificamos en las dos ecuaciones originales: \(2 \cdot \frac{8}{3} + \frac{5}{3} = \frac{21}{3} = 7\) y \(\frac{8}{3} - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} = 1\). Entonces $$\boxed{S = \left\{ \left(\tfrac{8}{3},\, \tfrac{5}{3}\right) \right\}}$$
Elvira
El paso 1 no es relleno. Si una ecuación viene como \(3x = 2y + 5\), los coeficientes NO son 3 y 2: hay que ordenarla en \(3x - 2y = 5\) primero. Y si a una le falta una incógnita, su coeficiente es 0, no se saltea la casilla.
Si \(\Delta = 0\), las divisiones de Cramer no se pueden hacer: no existe la división por cero. Pero lejos de ser un problema, ese cero es la mejor información que da el método.
Mirá por qué. En la forma explícita, la pendiente de \(ax + by = c\) es \(-\frac{a}{b}\), y la de \(dx + ey = f\) es \(-\frac{d}{e}\). Que las dos rectas tengan la misma pendiente significa:
Para separar los dos casos alcanza con mirar los otros dos determinantes:
¿Qué me dice el determinante?
Ordená el sistema y calculá \(\Delta\), el determinante de los coeficientes.
Es lo primero que conviene hacer siempre: cuesta una cuenta y decide todo lo que viene después.
¿Es \(\Delta \neq 0\)?
Compatible determinado.
Rectas secantes, una única solución. Aplicá Cramer: \(x = \frac{\Delta_x}{\Delta}\) e \(y = \frac{\Delta_y}{\Delta}\).
¿\(\Delta_x\) y \(\Delta_y\) también dan cero?
Compatible indeterminado.
Rectas coincidentes: infinitas soluciones. Una ecuación es múltiplo de la otra, y el conjunto solución se escribe dejando una incógnita libre.
Incompatible.
Rectas paralelas distintas: \(S = \emptyset\). Misma pendiente, distinta ordenada al origen.
Probémoslo con los dos sistemas que ya conocemos de los apuntes anteriores. El primero era el de las rectas coincidentes:
Los tres dan cero: compatible indeterminado, como habíamos visto en el gráfico. Y el de las paralelas:
Con \(\Delta = 0\) pero \(\Delta_x \neq 0\), el sistema es incompatible. Ni siquiera hizo falta calcular \(\Delta_y\): con que uno de los dos no sea cero, alcanza.
Gema
Esto es lo mejor que tiene Cramer y por eso vale la pena aprenderlo: con una sola cuenta ya sabés si el sistema tiene solución única, y recién si la tiene te ponés a resolverlo. Con los otros métodos, eso lo descubrís recién al final.
Resolver por la regla de Cramer.
\(\Delta = 10 \neq 0\): compatible determinado. Hay una única solución y Cramer la va a encontrar.
En \(\Delta_x\) entra la columna \(12, 10\) en el lugar de la \(x\); en \(\Delta_y\), en el lugar de la \(y\).
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 12 & 2 \\ 10 & 4 \end{vmatrix} = 48 - 20 = 28 \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 12 \\ 1 & 10 \end{vmatrix} = 30 - 12 = 18 $$Interpretación. La solución es $$\boxed{S = \left\{ \left(\tfrac{14}{5},\, \tfrac{9}{5}\right) \right\}}$$ Verificación en la segunda ecuación: \(\frac{14}{5} + 4 \cdot \frac{9}{5} = \frac{14}{5} + \frac{36}{5} = \frac{50}{5} = 10\). Un resultado con fracciones como este es exactamente donde el método gráfico se rendía.
Resolver por Cramer.
El coeficiente de \(y\) en la primera ecuación es \(-1\), no \(1\). El signo viaja con el número.
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - (-1) \cdot 2 = 12 + 2 = 14 $$El signo negativo de \(\Delta_y\) se traslada al resultado: \(\Delta\) es positivo.
$$ x = \frac{34}{14} = \frac{17}{7} \qquad y = \frac{-18}{14} = -\frac{9}{7} $$Interpretación. La solución es $$\boxed{S = \left\{ \left(\tfrac{17}{7},\, -\tfrac{9}{7}\right) \right\}}$$ Verificación en la primera: \(4 \cdot \frac{17}{7} + \frac{9}{7} = \frac{68}{7} + \frac{9}{7} = \frac{77}{7} = 11\). El signo de \(y\) es correcto: si diera positivo, la primera ecuación no cerraría.
Sin resolver, decidir de qué tipo es cada sistema.
Los coeficientes son idénticos: lo único que cambia entre (a) y (b) es el término independiente.
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 6 & -4 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 6 \cdot (-2) - (-4) \cdot 3 = -12 + 12 = 0 $$Con \(\Delta = 0\), ninguno de los dos es compatible determinado. Falta ver cuál de los otros dos casos es cada uno.
Alcanza con este: si no es cero, ya está decidido.
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -20 + 4 = -16 \neq 0 $$Interpretación. En (a) los tres determinantes son cero: compatible indeterminado, y de hecho la primera ecuación es la segunda multiplicada por 2. En (b), \(\Delta = 0\) con \(\Delta_x \neq 0\): incompatible. $$\boxed{\text{(a) infinitas soluciones} \qquad \text{(b) ninguna}}$$
En el aula de 3° A hay el doble de alumnos que en la de 3° C. Además, si pasaran 8 alumnos de 3° A a 3° C, las dos aulas quedarían con la misma cantidad. ¿Cuántos alumnos hay en cada aula?
\(x\): alumnos de 3° A. \(y\): alumnos de 3° C.
La segunda es la difícil: si 8 alumnos se van de A a C, A pierde 8 y C gana 8. Los dos cambios ocurren a la vez.
| Lo que dice el enunciado | Cómo se escribe |
|---|---|
| En A hay el doble que en C | \(x = 2y\) |
| Pasan 8 alumnos de A a C | A queda con \(x - 8\); C, con \(y + 8\) |
| Después de eso quedan iguales | \(x - 8 = y + 8\) |
Este es el paso que la regla de Cramer exige sí o sí: todas las incógnitas a la izquierda, los números a la derecha.
$$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x - y = 16 \end{cases} $$Con \(\Delta = 1\), la división ni se nota.
$$ x = \frac{32}{1} = 32 \qquad y = \frac{16}{1} = 16 $$Interpretación. En el aula hay $$\boxed{32 \text{ alumnos en 3° A y } 16 \text{ en 3° C}}$$ Verificación con el enunciado, no con las ecuaciones: 32 es el doble de 16, y si pasan 8 alumnos quedan 24 y 24. Los dos valores son enteros y positivos, que es lo mínimo que se le pide a una cantidad de alumnos.
Elvira
Cramer es el método con menos decisiones y, por eso mismo, el que más se presta a hacer las cuentas en piloto automático. Todos los errores que siguen son de armado: el sistema estaba bien, el cuadro no.
Error: restar al revés. Calcular \(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\) como \(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 3\).
Correcto: primero la diagonal principal, después la secundaria: \(2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -3\). Invertir el orden da el resultado con el signo cambiado, y eso se propaga a las dos incógnitas.
Error: armar los determinantes con el sistema desordenado. Leer \(3x = 2y + 5\) como si los coeficientes fueran \(3\) y \(2\).
Correcto: primero se ordena en \(3x - 2y = 5\), y recién ahí los coeficientes son \(3\) y \(-2\). Y si una ecuación no tiene alguna incógnita, su coeficiente es \(0\), y el cero ocupa su casilla.
Error: dividir al revés, \(x = \frac{\Delta}{\Delta_x}\).
Correcto: el determinante del sistema va siempre abajo: \(x = \frac{\Delta_x}{\Delta}\). Regla para acordarse: \(\Delta\) es el denominador de las dos, por eso se calcula una sola vez.
Error: aplicar la regla igual cuando \(\Delta = 0\), y anotar que "la solución es cero" o dejar la fracción sin resolver.
Correcto: con \(\Delta = 0\) la regla no se aplica, porque no se puede dividir por cero. Ahí el trabajo es otro: mirar \(\Delta_x\) y \(\Delta_y\) para decidir si el sistema es indeterminado o incompatible.
Error: en \(\Delta_y\), reemplazar la columna equivocada o reemplazar las dos.
Correcto: en cada determinante se toca una sola columna: la de la incógnita que se está calculando. La otra queda exactamente como en \(\Delta\).
| Determinantes | Las rectas | Clasificación |
|---|---|---|
| \(\Delta \neq 0\) | Secantes | Compatible determinado |
| \(\Delta = 0\) y \(\Delta_x = \Delta_y = 0\) | Coincidentes | Compatible indeterminado |
| \(\Delta = 0\) y alguno no es 0 | Paralelas | Incompatible |
Con este cierran los cinco. Ninguno es mejor que los otros en abstracto: cada uno gana en un tipo de sistema.
| Método | Qué da | Cuándo conviene |
|---|---|---|
| Gráfico | Una lectura aproximada | Para entender y clasificar de un vistazo |
| Sustitución | Valor exacto | Si alguna incógnita tiene coeficiente 1 o -1 |
| Igualación | Valor exacto | Si las dos ya están en forma \(y = mx + b\) |
| Reducción | Valor exacto | Si los coeficientes son iguales u opuestos |
| Cramer | Valor exacto y clasificación | Con coeficientes incómodos, o para clasificar primero |
El determinante se calcula en cruz: principal menos secundaria, en ese orden.
Antes de armar cualquier determinante, el sistema tiene que estar ordenado.
\(\Delta\) va siempre abajo, y se calcula una sola vez para las dos incógnitas.
\(\Delta = 0\) no es un error: es el sistema avisando que no tiene solución única.
Elvira y Gema
Último set de la unidad. Empezá siempre por \(\Delta\), incluso cuando el ejercicio no lo pida: si te da cero, te ahorrás resolver un sistema que no tiene solución única.
Los dos productos dan negativo por separado; atención al signo de la resta.
$$ (-1) \cdot (-5) - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1 $$Resultado: $$ \boxed{5, \quad -1 \quad \text{y} \quad 0} $$
Interpretación. El tercero da cero, y eso significa algo: si esos fueran los coeficientes de un sistema, sus filas serían proporcionales (la primera es el doble de la segunda) y el sistema no tendría solución única.
Los tres determinantes son negativos, así que las dos incógnitas salen positivas.
$$ x = \frac{-23}{-17} = \frac{23}{17} \qquad y = \frac{-38}{-17} = \frac{38}{17} $$Resultado: $$ \boxed{S = \left\{ \left(\tfrac{23}{17},\, \tfrac{38}{17}\right) \right\}} $$
Verificación. \(5 \cdot \frac{23}{17} + \frac{38}{17} = \frac{115 + 38}{17} = \frac{153}{17} = 9\).
La primera ecuación tiene la \(y\) del lado equivocado. Sin este paso, los coeficientes se leen mal.
$$ \begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ x + y = 9 \end{cases} $$Resultado: $$ \boxed{S = \{(6,\,3)\}} $$
Verificación. En la ecuación original sin ordenar: \(3 \cdot 6 = 18\) y \(2 \cdot 3 + 12 = 18\). Y \(6 + 3 = 9\).
Los tres determinantes dan cero, así que hay infinitas soluciones.
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -4 + 4 = 0, \quad \Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} = 0, \quad \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 0 $$Con que uno de los dos no sea cero, ya está decidido: no hace falta calcular \(\Delta_y\).
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0, \qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 2 = 6 \neq 0 $$Resultado: $$ \boxed{\text{(a) indeterminado} \quad \text{(b) incompatible} \quad \text{(c) } S = \{(3,\,2)\}} $$
Verificación. Son los mismos tres sistemas que en el primer apunte clasificamos mirando pendientes. Los determinantes dan la misma respuesta, con una cuenta en lugar de dos despejes.
\(x\): cuadernos de $1.800. \(y\): cuadernos de $1.440. Una ecuación cuenta cuadernos y la otra, plata.
$$ \begin{cases} x + y = 84 \\ 1800x + 1440y = 124200 \end{cases} $$Los tres términos se dividen por 180. Los determinantes quedan con números manejables y el sistema es el mismo.
$$ 10x + 8y = 690 $$Resultado: $$ \boxed{9 \text{ cuadernos de \$1.800 y } 75 \text{ de \$1.440}} $$
Verificación. \(9 + 75 = 84\) cuadernos, y \(1800 \cdot 9 + 1440 \cdot 75 = 16200 + 108000 = 124200\) pesos. Los dos valores son enteros y positivos.
\(x\): edad actual de la madre. \(y\): edad actual de la hija.
Para que la hija llegue a la edad de la madre tienen que pasar \(x - y\) años. Y esos años pasan para las dos.
La hija tendrá \(x\) —la edad actual de la madre— y la madre tendrá \(x + (x - y)\).
$$ x + \big[x + (x - y)\big] = 90 \;\Longrightarrow\; 3x - y = 90 $$Resultado: $$ \boxed{\text{La madre tiene 33 años y la hija, 9}} $$
Verificación. Hoy suman \(33 + 9 = 42\). Faltan 24 años para que la hija tenga 33; entonces la madre tendrá 57, y \(33 + 57 = 90\). Las dos condiciones del enunciado se cumplen.
Hasta acá tiene razón.
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 6 & -4 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -12 + 12 = 0 $$\(\Delta = 0\) descarta la solución única, pero deja dos casos abiertos. Hay que calcular los otros dos determinantes para decidir.
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = -20 + 20 = 0 \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} 6 & 10 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 30 - 30 = 0 $$Los tres dan cero: el sistema es compatible indeterminado. La primera ecuación es la segunda multiplicada por 2, así que basta despejar de una de ellas.
$$ 3x - 2y = 5 \;\Longrightarrow\; y = \frac{3x - 5}{2} $$Resultado: $$ \boxed{S = \left\{ \left(x,\, \tfrac{3x - 5}{2}\right) \right\} \text{ con } x \in \mathbb{R}} $$
Interpretación. No tiene razón: el sistema tiene infinitas soluciones, no ninguna. \(\Delta = 0\) solo dice que las rectas tienen la misma pendiente; lo que decide entre paralelas y coincidentes son \(\Delta_x\) y \(\Delta_y\). Probá con \(x = 1\): sale \(y = -1\), y ese par cumple las dos ecuaciones.
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