Este es el tercero y último apunte de la unidad. Hasta acá todos los triángulos tenían un ángulo recto, y eso no era casualidad: sin ángulo recto no hay hipotenusa, y sin hipotenusa las razones del primer apunte no se pueden escribir.
El problema es que la mayoría de los triángulos del mundo real no son rectángulos. Para esos hay dos herramientas nuevas —el teorema del seno y el teorema del coseno— y una decisión que tomar entre las dos.
Al terminar vas a poder:
Aplicar el teorema del seno para hallar un lado o un ángulo cuando tenés una pareja lado-ángulo completa.
Aplicar el teorema del coseno con dos lados y el ángulo entre ellos, o con los tres lados.
Decidir cuál de los dos usar mirando los datos, sin probar los dos a ver cuál sale.
Traducir una situación real a un triángulo: pasar del dibujo de la escena al modelo matemático.
Antes que nada, la notación. En un triángulo cualquiera se numeran los vértices con mayúsculas y cada lado lleva la minúscula del vértice que tiene enfrente. Los ángulos van con letras griegas.
El lado a está enfrente del ángulo α. Esa pareja es la clave de todo lo que sigue.
Leído en criollo: si un lado es el doble que otro, el seno de su ángulo opuesto también es el doble. Los tres cocientes dan el mismo número, así que en la práctica se usan de a dos por vez, como una proporción común y corriente.
Para que la proporción se pueda armar hay que conocer tres de esos cuatro elementos. Y eso obliga a tener al menos una pareja completa: un lado junto con el ángulo que se le opone.
Gema
Antes de escribir nada, buscá la pareja: un lado con su ángulo de enfrente. Si la encontrás, el teorema del seno te sirve. Si no aparece ninguna, ni la intentes: ahí va el del coseno.
Y no te olvides del dato gratis que trae todo triángulo: los tres ángulos suman \(180^\circ\). Muchas veces el tercer ángulo, que parecía faltar, sale de una resta.
Hay una situación muy común en la que el teorema del seno no entra: conocés dos lados y el ángulo que forman entre ellos. Ahí no hay ninguna pareja completa, porque el ángulo conocido no está enfrente de ningún lado conocido.
Dos lados conocidos y el ángulo entre ellos. Lo que hay que calcular va punteado y en naranja.
Son la misma fórmula escrita tres veces, una por cada lado. Fijate el patrón: el lado que está solo a la izquierda es el opuesto al ángulo que aparece a la derecha. Los otros dos lados son los que forman ese ángulo.
Esa observación no es un adorno: te dice que el término \(-2bc\cos\alpha\) es la corrección que hay que hacerle a Pitágoras cuando el ángulo no es recto. Si \(\alpha\) es agudo, el coseno es positivo y el lado \(a\) sale más corto que en el caso recto; si es obtuso, el coseno es negativo, esa resta se convierte en suma y \(a\) sale más largo.
La misma fórmula sirve al revés. Si conocés los tres lados y querés un ángulo, despejás el coseno:
Después, la tecla \(\arccos\) devuelve el ángulo. Y acá hay una ventaja que el teorema del seno no tiene: el coseno distingue los ángulos obtusos. Si el resultado de esa cuenta da negativo, el ángulo pasa de \(90^\circ\), y la calculadora lo devuelve bien sin que tengas que decidir nada.
Elvira
El error de cuentas más caro de este apunte: hacer \(b^2 + c^2 - 2bc\) primero y multiplicar por el coseno después. No. El coseno multiplica solo al término \(2bc\). Metelo en la calculadora en un solo renglón y listo.
Con las dos herramientas sobre la mesa, la pregunta pasa a ser cuál corresponde en cada problema. No se decide por el enunciado ni por el dibujo: se decide contando qué datos tenés.
Hacen falta siempre tres datos, y al menos uno tiene que ser un lado. Con eso, el árbol se recorre en menos de diez segundos:
¿Qué teorema aplico?
Anotá los tres datos sobre el dibujo: qué lados conocés y qué ángulos.
Sumá el dato gratis si hace falta: conocidos dos ángulos, el tercero sale de \(180^\circ\) menos los otros dos.
¿Hay una pareja completa: un lado junto con el ángulo que se le opone?
Teorema del seno.
\(\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}\). Armá la proporción con la pareja completa y el tercer dato, y despejá.
¿Conocés dos lados y el ángulo comprendido entre ellos?
Teorema del coseno, para el tercer lado.
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\). Con ese lado ya tenés una pareja completa: si te faltan los ángulos, seguí con el teorema del seno.
¿Conocés los tres lados?
Teorema del coseno, despejado para el ángulo.
\(\cos \gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), y después \(\arccos\). Repetilo para el segundo ángulo y sacá el tercero por resta.
Faltan datos.
Con tres ángulos y ningún lado hay infinitos triángulos semejantes. Sin al menos un lado, no hay nada que calcular.
Una aclaración sobre la primera rama. Si la pareja completa la formaron dos lados y un ángulo que no está entre ellos, el teorema del seno funciona, pero puede haber dos triángulos distintos que cumplan los datos: uno con el ángulo buscado agudo y otro con ese ángulo obtuso. Es el llamado caso ambiguo, y se resuelve mirando si las dos opciones dan una suma menor que \(180^\circ\).
En el triángulo \(ABC\), el ángulo \(\alpha\) mide \(65^\circ\), el ángulo \(\gamma\) mide \(30^\circ\) y el lado \(AC\) mide 18 cm. Calcular el lado \(x = BC\).
Dos ángulos y el lado que está entre ellos.
El lado \(b = 18\) cm está enfrente del vértice \(B\), cuyo ángulo no conocemos. Y el lado que buscamos, \(x = a\), está enfrente de \(\alpha = 65^\circ\), que sí conocemos. Falta \(\beta\).
Ahora hay dos parejas completas: \((a, \alpha)\) y \((b, \beta)\). Tres datos y una incógnita.
$$ \frac{x}{\sin 65^\circ} = \frac{18}{\sin 85^\circ} $$Interpretación. El lado buscado mide $$\boxed{x \approx 16.38 \text{ cm}}$$ Control: \(\alpha = 65^\circ\) es menor que \(\beta = 85^\circ\), así que el lado \(a\) tenía que salir más corto que el lado \(b = 18\) cm. A mayor ángulo, mayor lado opuesto.
En la terraza de un edificio se colocó una torre de transmisión de 100 m de altura. Desde un punto \(A\) de la calle, un teodolito dirige dos visuales: una al extremo superior \(B\) de la torre y otra al extremo inferior \(C\). Con la horizontal forman ángulos de \(75^\circ\) y \(30^\circ\). Calcular la altura del edificio y la altura a la que está \(B\) sobre la calle.
Primero, la escena. Antes de escribir una fórmula conviene dibujar lo que dice el enunciado, con todos los datos puestos donde corresponden:
La situación, a escala: las dos visuales desde el teodolito en A.
Ahora, el modelo. De todo ese dibujo nos quedamos con un solo triángulo, el \(ABC\), y traducimos los datos a sus elementos:
El modelo: el mismo triángulo, ahora con sus tres ángulos y el lado conocido.
Las dos visuales salen del mismo punto: el ángulo entre ellas es la diferencia de sus inclinaciones.
$$ \hat{A} = 75^\circ - 30^\circ = 45^\circ $$La torre es vertical y la visual \(CA\) baja con \(30^\circ\) respecto de la horizontal. El ángulo interior en \(C\) se arma con el ángulo recto de la vertical más esos \(30^\circ\).
$$ \hat{C} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ $$La pareja completa es el lado \(BC = 100\) m con su ángulo opuesto \(\hat{A} = 45^\circ\). El lado \(AC\) se opone a \(\hat{B}\).
$$ \frac{AC}{\sin 15^\circ} = \frac{100}{\sin 45^\circ} \;\Longrightarrow\; AC = \frac{100 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 36.60 \text{ m} $$\(AC\) es la visual, o sea la hipotenusa. La altura del edificio es el cateto opuesto al ángulo de \(30^\circ\).
$$ h = AC \cdot \sin 30^\circ \approx 36.60 \cdot 0.5 \approx 18.30 \text{ m} $$Interpretación. El edificio mide $$\boxed{h \approx 18.30 \text{ m} \quad \text{y el extremo B está a} \quad 118.30 \text{ m}}$$ Unos 18 m son cinco o seis pisos, razonable. Y notá el detalle: el teorema del seno resolvió la parte oblicuángula, y el rectángulo del apunte anterior terminó el trabajo.
Sobre un acantilado de 70 m está la base de un faro de 30 m de altura. Desde lo alto del faro se avistan dos barcos, en la misma dirección, con ángulos de depresión de \(60^\circ\) y \(30^\circ\). Estimar la distancia entre ambos barcos.
La escena:
La situación, a escala: 70 m de acantilado más 30 m de faro, y los dos barcos.
El modelo: nos quedamos con el triángulo \(P B_1 B_2\) y con la altura total, que es el dato que junta todo.
El modelo: el triángulo oblicuángulo, con el rectángulo auxiliar de la izquierda.
El observador está en la punta del faro, que está sobre el acantilado.
$$ h = 70 + 30 = 100 \text{ m} $$Por alternos internos, desde cada barco el faro se ve con la misma inclinación: \(60^\circ\) desde \(B_1\) y \(30^\circ\) desde \(B_2\).
En el triángulo rectángulo de la izquierda, los 100 m son el cateto opuesto a los \(60^\circ\) y \(PB_1\) es la hipotenusa.
$$ PB_1 = \frac{100}{\sin 60^\circ} \approx \frac{100}{0.8660} \approx 115.47 \text{ m} $$El ángulo en \(B_1\) es el suplementario de \(60^\circ\), porque \(B_2\) está del otro lado.
$$ \hat{B_1} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ, \qquad \hat{B_2} = 30^\circ, \qquad \hat{P} = 30^\circ $$El lado \(x\) se opone a \(\hat{P}\), y el lado \(PB_1\) se opone a \(\hat{B_2}\).
$$ \frac{x}{\sin 30^\circ} = \frac{115.47}{\sin 30^\circ} \;\Longrightarrow\; x \approx 115.47 \text{ m} $$Interpretación. Los barcos están separados por $$\boxed{x \approx 115.5 \text{ m}}$$ Los dos ángulos iguales delatan que el triángulo es isósceles: por eso \(x\) y \(PB_1\) salieron iguales, sin necesidad de hacer la cuenta. Reconocer eso a tiempo ahorra medio ejercicio.
Gema
Fijate el orden en los dos últimos: primero dibujo de la escena con los datos, después el triángulo solo. Ese segundo dibujo es el que se resuelve. Si lo salteás, terminás aplicando fórmulas sobre ángulos que no son los del triángulo.
En el triángulo \(ABC\) se sabe que \(a = 20\) cm, \(b = 15\) cm y el ángulo entre esos dos lados mide \(\gamma = 38^\circ\). Hallar el perímetro.
Dos lados y el ángulo comprendido: el caso típico del teorema del coseno.
El único ángulo conocido, \(\gamma\), se opone al lado \(c\), que es justamente el que falta. No hay pareja completa.
El lado buscado es el opuesto al ángulo conocido: esa es la versión de la fórmula que sirve.
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \, a \, b \cdot \cos \gamma $$El coseno multiplica solo al término \(2ab\), no a toda la resta.
$$ c^2 = 400 + 225 - 600 \cdot 0.7880 = 625 - 472.81 = 152.19 $$Interpretación. El perímetro es $$\boxed{P \approx 47.34 \text{ cm}}$$ Control de sentido común: \(\gamma = 38^\circ\) es un ángulo chico, así que el lado que se le opone tenía que ser el más corto de los tres. Salió 12.34 cm contra 15 y 20.
Un piloto debe volar de la ciudad \(A\) a la ciudad \(B\), distantes 800 km. Al comenzar el vuelo le recomiendan alterar el rumbo \(60^\circ\) por una tormenta, y recorre así 400 km. Desde ahí se dirige a \(B\). ¿En cuánto se alargó el recorrido?
La escena:
La situación: el rumbo directo pasa por la tormenta, así que el vuelo se desvía.
El modelo: la tormenta y las ciudades desaparecen; queda un triángulo con dos lados y el ángulo entre ellos.
El modelo: los 400 km y los 800 km forman el ángulo de 60°.
Se conocen \(AP = 400\) km, \(AB = 800\) km y el ángulo de \(60^\circ\) que forman. Dos lados y el ángulo comprendido: teorema del coseno.
El tramo \(PB\) es el lado opuesto al ángulo conocido.
$$ x^2 = 400^2 + 800^2 - 2 \cdot 400 \cdot 800 \cdot \cos 60^\circ $$\(\cos 60^\circ = 0.5\) exacto, así que el último término es la mitad de \(640000\).
$$ x^2 = 160000 + 640000 - 320000 = 480000 $$El recorrido real es la suma de los dos tramos; el directo era de 800 km.
$$ 400 + 692.82 - 800 \approx 292.82 \text{ km} $$Interpretación. El desvío alargó el vuelo en $$\boxed{\approx 292.8 \text{ km}}$$ o sea un 37 % más de recorrido. Control: en un triángulo, un lado siempre mide menos que la suma de los otros dos, así que el rodeo tenía que dar más de 800 km. Si te hubiera dado menos, habría un error de planteo.
Elvira
Los cinco que siguen son los que más puntos cuestan en esta unidad, y ninguno se detecta mirando el resultado: todos dan números creíbles. La costumbre que los evita es una sola: escribir las letras sobre el dibujo antes de tocar la fórmula.
Error: usar Pitágoras en un triángulo que no tiene ángulo recto. Con \(a = 20\), \(b = 15\) y \(\gamma = 38^\circ\), escribir \(c^2 = 400 + 225\).
Correcto: Pitágoras vale solo si el ángulo es de \(90^\circ\). Con \(38^\circ\) hay que restar la corrección: \(c^2 = 400 + 225 - 600\cos 38^\circ\). La diferencia no es menor: 25 cm contra 12.34 cm.
Error: emparejar mal en el teorema del seno, escribiendo \(\frac{a}{\sin \beta} = \frac{b}{\sin \alpha}\).
Correcto: cada lado va con el seno del ángulo que tiene enfrente: \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\). Truco para verificar: si el lado de arriba es el mayor, el ángulo de abajo también tiene que ser el mayor.
Error: en el teorema del coseno, operar en el orden equivocado: \(c^2 = (a^2 + b^2 - 2ab)\cos\gamma\).
Correcto: el coseno multiplica únicamente al término \(2ab\). Primero se calcula \(2ab\cos\gamma\) y recién después se resta de \(a^2 + b^2\).
Error: olvidar la raíz. Llegar a \(c^2 = 152.19\) y anotar \(c = 152.19\) cm.
Correcto: el teorema del coseno devuelve el cuadrado del lado. Siempre falta el último paso: \(c = \sqrt{152.19} \approx 12.34\) cm. Control instantáneo: ese lado tiene que ser comparable a los otros dos, no diez veces más grande.
Error: buscar con el teorema del seno un ángulo que resulta ser obtuso. La tecla \(\arcsin\) devuelve siempre un valor menor que \(90^\circ\), así que un ángulo de \(120^\circ\) aparece como \(60^\circ\) y la suma no cierra.
Correcto: con el teorema del seno buscá siempre el ángulo opuesto al lado más corto, que con seguridad es agudo. Si el que te piden es otro, sacalo por resta a \(180^\circ\) o usá el teorema del coseno, que distingue los obtusos con el signo.
| Datos que tenés | Cómo se llama | Qué uso |
|---|---|---|
| Dos ángulos y un lado | ALA o AAL | Teorema del seno |
| Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos | LLA | Teorema del seno (ojo: caso ambiguo) |
| Dos lados y el ángulo entre ellos | LAL | Teorema del coseno |
| Los tres lados | LLL | Teorema del coseno despejado |
| Los tres ángulos | AAA | No se puede: faltan datos |
Las dos fórmulas, juntas por última vez:
El teorema del seno necesita una pareja completa: lado y ángulo opuesto.
El teorema del coseno entra donde el otro no llega: LAL y LLL.
Con \(90^\circ\), el coseno se reduce a Pitágoras: es la misma familia de ideas.
Primero el dibujo de la situación, después el triángulo. Sobre el triángulo se calcula.
Elvira y Gema
Cierre de la unidad. En cada uno, antes de calcular, decidí en voz alta cuál de los dos teoremas va y por qué. Si no podés justificarlo en una frase, volvé al árbol de la sección 03.
El lado \(AB = 14\) m se opone al vértice \(C\), cuyo ángulo todavía no conocemos. Sale del dato gratis.
$$ \hat{C} = 180^\circ - 102^\circ - 58^\circ = 20^\circ $$El puente es el lado \(AC\), que se opone al ángulo \(\hat{B} = 58^\circ\).
$$ \frac{AC}{\sin 58^\circ} = \frac{14}{\sin 20^\circ} $$Resultado: $$ \boxed{AC \approx 34.71 \text{ m}} $$
Verificación. \(\hat{B} = 58^\circ\) es casi el triple de \(\hat{C} = 20^\circ\), así que el lado opuesto a \(B\) tenía que ser bastante más largo que los 14 m opuestos a \(C\). Sale 34.71 m.
El hexágono regular tiene seis lados iguales.
$$ \ell = \frac{72}{6} = 12 \text{ cm} $$Los ángulos interiores de un polígono regular de \(n\) lados suman \((n-2) \cdot 180^\circ\).
$$ \hat{B} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ $$Los lados \(AB\) y \(BC\) miden 12 cm y forman el ángulo de \(120^\circ\): dos lados y el ángulo comprendido.
$$ AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos 120^\circ $$\(\cos 120^\circ = -0.5\), así que la resta se transforma en suma.
$$ AC^2 = 144 + 144 + 144 = 432 \;\Longrightarrow\; AC = \sqrt{432} \approx 20.78 \text{ cm} $$Resultado: $$ \boxed{AC = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ cm}} $$
Verificación. La diagonal es más larga que cualquiera de los dos lados de 12 cm, como corresponde a un ángulo obtuso. Y es menor que 24, la suma de los otros dos.
Cada lado toma la letra del vértice opuesto: \(a = CB = 12\), \(b = AC = 6\), \(c = AB = 15\). No hay ningún ángulo: es el caso LLL.
Es el candidato a obtuso, y el coseno lo detecta solo.
$$ \cos \gamma = \frac{12^2 + 6^2 - 15^2}{2 \cdot 12 \cdot 6} = \frac{-45}{144} = -0.3125 $$El coseno dio negativo, así que el ángulo pasa de \(90^\circ\).
$$ \gamma = \arccos(-0.3125) \approx 108.21^\circ \approx 108^\circ 13' $$Resultado: $$ \boxed{\alpha \approx 49^\circ 28', \quad \beta \approx 22^\circ 20', \quad \gamma \approx 108^\circ 13'} $$
Verificación. El orden de los ángulos sigue el orden de los lados: el mayor (\(108^\circ\)) mira al lado de 15 m y el menor (\(22^\circ\)), al de 6 m.
La diagonal \(ac\) parte al trapecio en dos triángulos. El que sirve es \(acd\), porque tiene los dos lados conocidos.
\(ad = 18\) m y \(dc = 10\) m forman el ángulo de \(80^\circ\) en \(d\), y la diagonal es el lado que se le opone: LAL.
$$ ac^2 = 18^2 + 10^2 - 2 \cdot 18 \cdot 10 \cdot \cos 80^\circ $$Resultado: $$ \boxed{ac \approx 19.01 \text{ m}} $$
Verificación. Con \(80^\circ\), casi recto, el resultado tenía que parecerse al de Pitágoras: \(\sqrt{424} \approx 20.59\) m. Sale un poco menos, porque el ángulo es apenas menor que \(90^\circ\).
Dos lados y el ángulo comprendido. El lado \(st\) es el opuesto a \(\hat{r}\).
$$ st^2 = 28^2 + 27^2 - 2 \cdot 28 \cdot 27 \cdot \cos 43^\circ $$Con \(st \approx 20.18\) m enfrente de \(43^\circ\), el teorema del seno resuelve el resto. Empezamos por el ángulo opuesto al lado más corto (27 m), que seguro es agudo.
$$ \frac{\sin \hat{s}}{27} = \frac{\sin 43^\circ}{20.18} \;\Longrightarrow\; \sin \hat{s} = \frac{27 \cdot 0.6820}{20.18} \approx 0.9124 $$Resultado: $$ \boxed{st \approx 20.18 \text{ m}, \quad \hat{s} \approx 65^\circ 51', \quad \hat{t} \approx 71^\circ 09'} $$
Verificación. El lado más corto (20.18 m) mira al ángulo más chico (\(43^\circ\)) y el más largo (28 m) al mayor (\(71^\circ\)). Este es el ejercicio que muestra el encadenado típico: coseno primero, seno después.
Esa diagonal deja dos triángulos isósceles: \(abd\) arriba y \(cbd\) abajo. El de abajo tiene los dos lados conocidos.
Los lados \(cb\) y \(cd\) miden 28 cm y forman el ángulo de \(20^\circ\): LAL.
$$ bd^2 = 28^2 + 28^2 - 2 \cdot 28 \cdot 28 \cdot \cos 20^\circ = 1568 \cdot (1 - 0.9397) $$\(abd\) es isósceles con \(ab = ad\), y el ángulo entre esos lados mide \(60^\circ\). Los otros dos ángulos se reparten \(120^\circ\) en partes iguales: \(60^\circ\) cada uno. Es equilátero.
$$ ab = ad = bd \approx 9.72 \text{ cm} $$Resultado: $$ \boxed{P \approx 75.45 \text{ cm}} $$
Interpretación. El romboide es muy alargado: dos lados de 28 cm y dos de menos de 10 cm. Tenía que ser así, porque el ángulo de \(20^\circ\) en \(c\) es muy cerrado y acerca los extremos \(b\) y \(d\).
El teorema del seno relaciona un lado con el seno de su ángulo opuesto. Acá hay tres lados y ningún ángulo: cualquier proporción que escriba tiene dos incógnitas.
$$ \frac{7}{\sin \alpha} = \frac{13}{\sin \gamma} $$Una ecuación con dos incógnitas no se resuelve sola. Falta la pareja completa, y sin ella el teorema del seno no arranca.
El ángulo mayor se opone al lado mayor, o sea al de 13 cm.
$$ \cos \gamma = \frac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -0.5 $$Resultado: $$ \boxed{\text{No con el seno. Con el coseno: } \gamma = 120^\circ} $$
Interpretación. Este es el ejercicio que justifica que existan dos teoremas y no uno. Y de paso muestra la ventaja del coseno: el signo negativo avisó por sí solo que el ángulo era obtuso, algo que \(\arcsin\) nunca habría podido decir.
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