¿Qué es racionalizar?
Racionalizar es el proceso de eliminar radicales del denominador de una fracción, obteniendo una expresión equivalente con denominador racional.
En vez de dejar \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), escribimos la forma equivalente \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), que es más simple de operar.
¿Por qué racionalizar?
Facilita comparar, sumar y simplificar expresiones. Es la forma estándar en matemática.
Idea clave: conjugado
El conjugado de \(a + \sqrt{b}\) es \(a - \sqrt{b}\).
Su producto elimina el radical: \((a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b\).
Casos que vas a encontrar
Caso 1: Denominador con un radical simple \(\rightarrow\) \(\dfrac{k}{\sqrt{a}}\)
Caso 2: Denominador con suma/resta de radical \(\rightarrow\) \(\dfrac{k}{a \pm \sqrt{b}}\)
Caso 3: Denominador con dos radicales \(\rightarrow\) \(\dfrac{k}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}\)
Caso 1 — Radical simple en el denominador
Identificá el radical
Localizá el radical en el denominador. Ejemplo: \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\).
Multiplicá numerador y denominador por ese radical
$$\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$$
Simplificá usando \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\)
$$= \frac{3\sqrt{5}}{5}$$
Casos 2 y 3 — Suma o resta con radical: usá el conjugado
Escribí el conjugado del denominador
Si el denominador es \(a + \sqrt{b}\), el conjugado es \(a - \sqrt{b}\).
Si es \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\), el conjugado es \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\).
Multiplicá arriba y abajo por ese conjugado
$$\frac{k}{a + \sqrt{b}} \cdot \frac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}}$$
Desarrollá el denominador con la identidad
$$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b \quad \text{(desaparece el radical)}$$
Desarrollá el numerador y simplificá
Expandí y buscá factor común si hay términos que se puedan cancelar.
No multiplicar el numerador también.
Multiplicar solo el denominador por \(\sqrt{a}\) cambia el valor. Siempre multiplicás numerador Y denominador.
Cambiar el signo del conjugado equivocado.
Si el denominador es \(1 + \sqrt{2}\), el conjugado es \(1 - \sqrt{2}\), NO \(-1 - \sqrt{2}\). Solo cambia el signo del término con radical.
Expandir mal \((a+b)(a-b)\).
Algunos calculan \(a^2 - 2ab + b^2\) en vez de \(a^2 - b^2\). Es diferencia de cuadrados, ¡no cuadrado de binomio!
Olvidar distribuir en el numerador.
Al multiplicar por el conjugado, hay que multiplicar TODO el numerador por ese factor, no solo el primer término.
Dejar radicales en el numerador sin simplificar.
Racionalizar no pide eliminar radicales del numerador, pero sí conviene simplificar fracciones antes de dar el resultado final.
Verificá racionalizando al revés: multiplicá tu resultado por el denominador original. Tenés que obtener el numerador original.
Si hay coeficientes, simplificá primero: \(\dfrac{6}{2\sqrt{3}}\) → simplificá el \(6/2 = 3\) antes de racionalizar: \(\dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\).
El conjugado siempre cambia solo el signo entre los dos términos, no los signos internos. Ej: conjugado de \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) es \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Memorizá la identidad: \((A+B)(A-B)=A^2-B^2\). Cuando \(A\) o \(B\) son radicales, su cuadrado es el número bajo la raíz.
Si el denominador es negativo después de racionalizar (ej: \(a^2 - b < 0\)), podés multiplicar numerador y denominador por \(-1\) para normalizar el signo.
- ¿El denominador no tiene ningún radical?
- ¿Multipliqué tanto el numerador como el denominador por el mismo factor?
- ¿Usé la identidad \((A+B)(A-B)=A^2-B^2\) correctamente?
- ¿Simplifiqué la fracción resultante al máximo?
- ¿Distribuí correctamente en el numerador al multiplicar por el conjugado?
- ¿Verificaste el resultado multiplicando por el denominador original?
- ¿Simplificaste raíces que hayan quedado en el numerador si era posible?
Racionalizar: \(\quad \dfrac{6}{\sqrt{2}}\)
Racionalizar: \(\quad \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\)
Racionalizar: \(\quad \dfrac{2}{1 - \sqrt{5}}\)
Racionalizar: \(\quad \dfrac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\)
Racionalizar: \(\quad \dfrac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}\)
Racionalizar y simplificar: \(\quad \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)