Conceptos fundamentales
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas incógnitas. Una solución del sistema es el par de valores \((x, y)\) que satisface todas las ecuaciones simultáneamente.
Forma general:
\[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \]Interpretación geométrica
Cada ecuación lineal en dos variables es una recta en el plano. Resolver el sistema equivale a encontrar el punto de intersección de esas rectas (si existe).
Los cuatro métodos
| Método | Idea clave | Mejor cuando… |
|---|---|---|
| Sustitución | Despejás una variable y la reemplazás en la otra ecuación. | Una variable ya está despejada o tiene coeficiente 1. |
| Igualación | Despejás la misma variable en las dos ecuaciones e igualás. | Ambas ecuaciones tienen la misma variable fácil de despejar. |
| Reducción (Gauss) | Multiplicás ecuaciones para que los coeficientes de una variable se anulen al sumar. | Coeficientes grandes o no hay variable fácil de despejar. |
| Cramer | Usás determinantes 2×2 para calcular directamente cada variable. | Sistema estándar, querés una fórmula directa. |
Ejemplos paso a paso
Resolver: \(\begin{cases} 2x + 5y = 1 \\ -x + y = 3 \end{cases}\)
Despejar una variable
De la ecuación 2 despejo \(x\):
\(-x + y = 3 \implies x = y - 3\)
Sustituir en la otra ecuación
Reemplazo \(x = y-3\) en la ecuación 1:
\(2(y-3) + 5y = 1 \implies 2y - 6 + 5y = 1 \implies 7y = 7 \implies y = 1\)
Encontrar la variable restante
Con \(y = 1\): \(x = 1 - 3 = -2\)
Verificar
Eq. 1: \(2(-2) + 5(1) = -4 + 5 = 1\) ✓
Eq. 2: \(-(-2) + 1 = 3\) ✓
Resolver: \(\begin{cases} 4x + y = -3 \\ -3x + y = 11 \end{cases}\)
Despejar \(y\) en ambas ecuaciones
Eq. 1: \(y = -3 - 4x\)
Eq. 2: \(y = 11 + 3x\)
Igualar las expresiones
\(-3 - 4x = 11 + 3x \implies -7x = 14 \implies x = -2\)
Calcular \(y\)
\(y = -3 - 4(-2) = -3 + 8 = 5\)
Resolver: \(\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\)
Multiplicar para igualar coeficientes
Multiplico la Eq. 2 por \(-2\) para que el coeficiente de \(y\) se oponga al de Eq. 1:
\(-2 \cdot (4x - y = 0) \implies -8x + 2y = 0\)
Sumar para eliminar \(y\)
\[ \begin{array}{r} 3x - 2y = 1 \\ -8x + 2y = 0 \\ \hline -5x \phantom{{}+2y} = 1 \end{array} \]\(\implies x = -\dfrac{1}{5}\)
Sustituir para hallar \(y\)
En Eq. 2: \(4\!\left(-\tfrac{1}{5}\right) - y = 0 \implies y = -\tfrac{4}{5}\)
Tipos de solución
Solución única
Las rectas se cortan en un punto. Sistema compatible determinado.
Resultado: \((x_0, y_0)\)
Sin solución
Las rectas son paralelas. Sistema incompatible.
Resultado: \(0 = k\) (absurdo)
Infinitas soluciones
Las rectas coinciden. Sistema compatible indeterminado.
Resultado: \(0 = 0\) (identidad)
Método de Cramer
Fórmulas
Para el sistema \(\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}\):
\[ \Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} = ae - bd \] \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix}}{\Delta} \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix}}{\Delta} \]Regla mnemotécnica: Para \(\Delta_x\) reemplazás la columna de \(x\) por los términos independientes. Para \(\Delta_y\) la columna de \(y\).
Resolver: \(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}\)
Calcular \(\Delta\)
\(\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (1)(1) = -2 - 1 = -3\)
Calcular \(\Delta_x\)
\(\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (7)(-1) - (1)(1) = -8\)
Calcular \(\Delta_y\)
\(\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (7)(1) = -5\)
Resultado
\(x = \dfrac{-8}{-3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67\)
\(y = \dfrac{-5}{-3} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\)
Modelado con problemas reales
Identificar las variables
Leé la pregunta del problema. Nombrá las incógnitas con letras claras. Ej: sea \(c\) = cantidad de coches y \(m\) = cantidad de motos.
Expresar las condiciones
Cada dato del problema genera una ecuación. Asegurate de tener tantas ecuaciones como incógnitas.
Resolver el sistema
Elegí el método más conveniente y resolvé.
Interpretar la solución
Verificá que la solución tenga sentido en el contexto del problema (no puede haber −3 personas, por ejemplo).
Parking: 39 vehículos, 126 ruedas. ¿Cuántos coches y motos?
Variables
\(c\) = número de coches (4 ruedas) · \(m\) = número de motos (2 ruedas)
Sistema
\[ \begin{cases} c + m = 39 \\ 4c + 2m = 126 \end{cases} \]Reducción
Multiplico la Eq. 1 por \(-2\) y sumo:
\[ \begin{array}{r} 4c + 2m = 126 \\ -2c - 2m = -78 \\ \hline 2c = 48 \end{array} \]\(c = 24 \implies m = 39 - 24 = 15\)
Errores típicos
Al usar sustitución, siempre reemplazás en la otra ecuación, no en la misma de donde despejaste.
Al multiplicar para reducir, tenés que multiplicar ambos lados completos de la ecuación, incluido el término independiente.
\(-x + y = 3 \implies x = y - 3\), no \(x = y + 3\). El signo del término que pasa al otro lado se invierte.
Siempre reemplazá el par \((x, y)\) en ambas ecuaciones originales para confirmar que se cumplan.
Para \(\Delta_x\) reemplazás la columna de \(x\) (no la fila) por los términos independientes.
Checklist de resolución
- ¿Identifiqué correctamente las dos incógnitas?
- ¿Simplifiqué las ecuaciones antes de empezar (sacar paréntesis, fracciones, etc.)?
- ¿Elegí el método más conveniente para este sistema?
- ¿Multipliqué toda la ecuación al escalar coeficientes?
- ¿Calculé \(x\) e \(y\) por separado?
- ¿Verifiqué el resultado en ambas ecuaciones originales?
- Si es un problema contextual: ¿la solución tiene sentido en el contexto (positiva, entera si corresponde, etc.)?
Ejercicios de práctica
La primera ecuación ya tiene \(x\) despejada. ¡Usá eso a tu favor!
Reemplazá directamente \(y\) en la segunda ecuación.
Despejá \(y\) en ambas y equilará las expresiones.
Los coeficientes de \(y\) ya son opuestos. ¡Sumá directamente!
Calculá \(\Delta\), \(\Delta_x\) y \(\Delta_y\) con los determinantes 2×2.
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