Teoremas del Seno y Coseno

Definición Triángulo rectángulo

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Razón	Definición	Fórmula
Seno	opuesto / hipotenusa	$\sin\alpha = \dfrac{a}{b}$
Coseno	adyacente / hipotenusa	$\cos\alpha = \dfrac{c}{b}$
Tangente	opuesto / adyacente	$\tan\alpha = \dfrac{a}{c}$

Identidad pitagórica: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Elvira dice: Las tres razones trigonométricas son siempre relaciones entre dos lados del triángulo rectángulo. SOH-CAH-TOA: Seno = Opuesto/Hipotenusa, Coseno = Adyacente/Hipotenusa, Tangente = Opuesto/Adyacente. Si memorizás eso, todo lo demás se deduce.

Referencia Valores notables

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$\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}577$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}\approx1{,}732$
$90°$	$1$	$0$	indefinida

Gema dice: Para memorizar los valores del seno es como contar! $\sqrt{0}/2$, $\sqrt{1}/2$, $\sqrt{2}/2$, $\sqrt{3}/2$, $\sqrt{4}/2$. Y el coseno es al revés.

Enunciado Proporcionalidad lados–senos

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En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

💡 Analogía: es una "regla de tres proporcional" entre lados y ángulos. El lado más largo siempre está frente al ángulo más grande.

¿Cuándo se aplica?

Conocés un lado y su ángulo opuesto + otro ángulo → hallás el lado buscado. (LAA)
Conocés dos lados y un ángulo opuesto a uno → hallás el otro ángulo. (LLA)

Elvira dice: El Teorema del Seno dice que en cualquier triángulo, si dividís cada lado por el seno del ángulo opuesto, siempre obtenés el mismo número. Eso te permite armar una proporción y despejar el lado o el ángulo que te falta. Siempre necesitás al menos un par lado–ángulo opuesto conocido para arrancar.

Ejemplo 1 — LAA Calcular un lado

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En el triángulo $ABC$: $c = 18\,\text{cm}$, $\hat{C} = 65°$, $\hat{A} = 30°$. Calcular $a$.

1

Identifico: $c = 18\,\text{cm}$ frente a $\hat{C} = 65°$; busco $a$ frente a $\hat{A} = 30°$.

2

Escribo la proporción: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$

3

Sustituyo: $$\frac{a}{\sin 30°} = \frac{18}{\sin 65°}$$

4

Despejo: $$a = \frac{18\cdot 0{,}5000}{0{,}9063} \approx \mathbf{9{,}93\,\text{cm}}$$

✔ Verificación: el lado opuesto al ángulo menor debe ser el más corto. Como $30° < 65°$, debe ser $a < c$. ✓ $9{,}93 < 18$.

Ejemplo 2 — LAA Torre de transmisión

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En la terraza de un edificio hay una torre $BC = 100\,\text{m}$. Desde $A$ (en la calle), la visual a $B$ (cima) forma $75°$ con la horizontal y la visual a $C$ (base de la torre) forma $30°$. Hallar la altura del edificio.

1

Ángulo subtendido por la torre desde $A$: $$\hat{BAC} = 75° - 30° = 45°$$

2

Ángulos del $\triangle ABC$:
$\hat{ABC} = 180° - 75° = 105°$, $\hat{ACB} = 30°$

3

Teorema del Seno: $$\frac{AC}{\sin 105°} = \frac{100}{\sin 45°}$$ $$AC = \frac{100\cdot 0{,}9659}{0{,}7071} \approx 136{,}6\,\text{m}$$

4

Altura del edificio: $$h = AC\cdot\sin 30° = 136{,}6\cdot 0{,}5 \approx \mathbf{68{,}3\,\text{m}}$$

Atención Error típico — Teorema del Seno

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Error típico

Confundir el ángulo del vértice con el ángulo opuesto al lado buscado. En $\dfrac{a}{\sin A}$, el ángulo $A$ es el del vértice opuesto al lado $a$, no el adyacente a él.

Enunciado Generalización de Pitágoras

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En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de esos lados por el coseno del ángulo comprendido.

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

💡 Generalización de Pitágoras: si $\hat{A} = 90°$, entonces $\cos 90° = 0$ y la fórmula se reduce a $a^2 = b^2 + c^2$. El Teorema del Coseno extiende Pitágoras a cualquier triángulo.

¿Cuándo se aplica?

Conocés dos lados y el ángulo comprendido → hallás el tercer lado. (LÁL)
Conocés los tres lados → despejás cualquier ángulo. (LLL)

Ejemplo 1 — LÁL Hallar un lado

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En el triángulo $ABC$: $b = 15\,\text{cm}$, $c = 20\,\text{cm}$, $\hat{A} = 38°$. Hallar $a$.

1

Fórmula para el lado frente a $\hat{A}$: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

2

Sustituyo: $$a^2 = 15^2 + 20^2 - 2\cdot15\cdot20\cdot\cos 38°$$

3

Calculo: $$a^2 = 225 + 400 - 600\cdot 0{,}788 = 152{,}2$$

4

$$a = \sqrt{152{,}2} \approx \mathbf{12{,}34\,\text{cm}}$$

✔ Verificación: $a$ debe cumplir la desigualdad triangular: $a < b+c = 35\,\text{cm}$. ✓ $12{,}34 < 35$.

Ejemplo 2 — LLL Hallar un ángulo

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Dado el triángulo con lados $a = 7$, $b = 8$, $c = 5$. Hallar $\hat{C}$.

1

Despejo $\cos C$ de la fórmula del coseno: $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

2

Sustituyo $a=7,\; b=8,\; c=5$: $$\cos C = \frac{49 + 64 - 25}{2\cdot7\cdot8} = \frac{88}{112} \approx 0{,}7857$$

3

$$C = \arccos(0{,}7857) \approx \mathbf{38{,}2°}$$

✔ Verificación: $c=5$ es el lado más corto, entonces $\hat{C}$ debe ser el ángulo mínimo. ✓ $38{,}2° < 60°$.

Ejemplo 3 — LÁL Navegación aérea

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Un piloto debe volar de $A$ a $B$ ($800\,\text{km}$). Por una tormenta, desvía su rumbo $60°$ y recorre $400\,\text{km}$ hasta $P$. ¿Cuánto le falta para llegar a $B$?

1

Datos: $AP = 400\,\text{km}$, $AB = 800\,\text{km}$, $\hat{A} = 60°$. Busco $PB = x$.

2

Teorema del Coseno: $$x^2 = AP^2 + AB^2 - 2\cdot AP\cdot AB\cdot\cos 60°$$

3

$$x^2 = 400^2 + 800^2 - 2\cdot400\cdot800\cdot 0{,}5$$ $$x^2 = 160\,000 + 640\,000 - 320\,000 = 480\,000$$

4

$$x = \sqrt{480\,000} \approx \mathbf{692{,}8\,\text{km}}$$

Recorrido total: $400 + 692{,}8 = 1092{,}8\,\text{km}$.
Se alargó $\approx 292{,}8\,\text{km}$ respecto del camino directo.

Atención Error típico — Teorema del Coseno

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⚠️

Error típico

Olvidar el signo negativo: la fórmula es $a^2 = b^2 + c^2 \mathbf{-} 2bc\cos A$. Si se suma en vez de restar, el resultado siempre es incorrecto. El término $-2bc\cos A$ corrige el valor pitagórico según la abertura del ángulo.

Gema dice: El signo negativo en $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ no es un detalle menor. Si el ángulo $A$ es obtuso, $\cos A$ es negativo, así que el término $-2bc\cos A$ se vuelve positivo y el lado $a$ resulta más largo que la hipotenusa de Pitágoras. Tiene todo el sentido geométrico.

Resumen Cuadro de decisión

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Teorema del Seno

LAA: un lado + ángulo opuesto + otro ángulo
LLA: dos lados + ángulo opuesto a uno
Hallás un lado o un ángulo

Teorema del Coseno

LÁL: dos lados + ángulo comprendido
LLL: los tres lados conocidos
Hallás el tercer lado o un ángulo

Datos conocidos	Caso	Teorema
Triángulo rectángulo	—	Razones trig. básicas
Lado + ángulo opuesto + otro ángulo	LAA	Seno
Dos lados + ángulo opuesto a uno	LLA	Seno
Dos lados + ángulo comprendido	LÁL	Coseno
Tres lados	LLL	Coseno

\(\alpha\)	\(\sin\alpha\)	\(\cos\alpha\)	\(\tan\alpha\)
\(0°\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(30°\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}577\)
\(45°\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)
\(60°\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\approx1{,}732\)
\(90°\)	\(1\)	\(0\)	indefinida

Razón	Definición	Fórmula
Seno	opuesto / hipotenusa	\(\sin\alpha = \dfrac{a}{b}\)
Coseno	adyacente / hipotenusa	\(\cos\alpha = \dfrac{c}{b}\)
Tangente	opuesto / adyacente	\(\tan\alpha = \dfrac{a}{c}\)

Teoremas delSeno y Coseno

Teorema del Seno

Teorema del Coseno

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