\(a\) es raíz de \(P(x)\) si y solo si \(P(a) = 0\).
Definición e interpretación
\(a \in \mathbb{R}\) es una raíz de \(P(x)\) cuando al reemplazar \(x = a\) el polinomio da cero. Geométricamente, las raíces reales son los puntos donde la gráfica corta al eje \(x\).
Consecuencia clave: si \(a\) es raíz, entonces \((x - a)\) divide a \(P(x)\): $$P(x) = (x - a) \cdot C(x)$$
Ejemplos rápidos
\(x = -5\) es raíz de \(x^2 + 10x + 25\) porque \(P(-5) = 0\).
\(x = 1\) y \(x = -1\) son raíces de \(x^5 - x^3\) porque \(P(\pm 1) = 0\).
Raíces múltiples
Si un factor \((x-a)\) aparece repetido \(k\) veces, \(a\) es raíz de multiplicidad \(k\).
Ej.: en \((x-4)^2(x+1)\), \(x=4\) es raíz doble y \(x=-1\) raíz simple.
Polinomio factorizado — forma general
$$P(x) = a_n\,(x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n)$$donde \(a_n\) es el coeficiente principal y \(r_1,\ldots,r_n\) son las raíces.
Todo polinomio de grado \(n\) tiene exactamente \(n\) raíces (reales y complejas, contando multiplicidad).
Consecuencias principales
- Un polinomio de grado \(n\) tiene como máximo \(n\) raíces reales.
- Las raíces no reales de polinomios con coeficientes reales vienen de a pares conjugados.
- Un polinomio de grado impar siempre tiene al menos una raíz real.
| Polinomio factorizado | Raíces reales | Cantidad |
|---|---|---|
| \((x-1)(x-2)(x+3)\) | \(x=1;\; x=2;\; x=-3\) | 3 simples |
| \((x-7)(x-4)^2\) | \(x=7;\; x=4\) (doble) | 2 distintas (3 con multiplicidad) |
| \((x+5)^3\) | \(x=-5\) (triple) | 1 distinta (3 con multiplicidad) |
| \((x-8)(x^2+1)\) | \(x=8\) | 1 real + 2 complejas |
Hoja de ruta — ¿qué método usar?
| Situación | Método |
|---|---|
| Hay factor común a todos los términos | Factor común |
| Binomio \(a^2 - b^2\) | Diferencia de cuadrados |
| Trinomio \(a^2 \pm 2ab + b^2\) | Trinomio cuadrado perfecto |
| Polinomio de grado 2 | Fórmula de Bhaskara |
| Grado \(\geq 3\) con coef. enteros | Gauss + Ruffini |
| Potencias \(x^4\) y \(x^2\) sin término impar | Cambio de variable \(t = x^2\) |
| 4 o más términos agrupables | Factor común en grupos |
Factor común
Extraer el máximo factor común (MFC) de todos los términos — constante, potencia de \(x\) o ambas. Siempre verificar primero.
Diferencia de cuadrados
Solo funciona con signo negativo. Reconocé \(a\) y \(b\) como raíces cuadradas de cada término.
\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\) ; \(4x^6 - 9 = (2x^3-3)(2x^3+3)\)
Trinomio cuadrado perfecto (TCP)
Calculá \(a\) y \(b\) como raíces cuadradas del 1.º y último término, y verificá que el término del medio sea \(2ab\).
\(x^2 - 14x + 49\): \(a=x, b=7\), chequeo: \(2 \cdot x \cdot 7 = 14x\;\checkmark \Rightarrow (x-7)^2\)
Fórmula de Bhaskara (grado 2)
Para \(P(x) = ax^2 + bx + c\). Luego: \(P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\). Si \(a \neq 1\), ¡no olvidar el coeficiente principal!
Discriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac\). Si \(\Delta < 0\), no hay raíces reales.
Teorema de Gauss + Regla de Ruffini
Gauss: si \(\tfrac{p}{q}\) (fracción irreducible) es raíz racional de \(P(x)\) con coeficientes enteros, entonces \(p \mid\) término independiente y \(q \mid\) coeficiente principal.
Caso mónico: las posibles raíces son los divisores del término independiente (positivos y negativos).
Ruffini: hallada la raíz \(r\), divide \(P(x)\) por \((x-r)\) y obtenés el cociente \(C(x)\). Repetir hasta factorizar completamente.
Cambio de variable \(t = x^2\)
Cuando el polinomio tiene potencias \(x^4\) y \(x^2\) pero no \(x^3\) ni \(x\), la sustitución \(t = x^2\) lo convierte en un cuadrático en \(t\), factorizable con Bhaskara.
Ej.: \(3x^4 - 24x^2 + 48\). Con \(t=x^2\):
$$3t^2 - 24t + 48 = 3(t-4)^2 = 3(x^2-4)^2 = 3(x-2)^2(x+2)^2$$Factor común en grupos
Cuando hay 4 o más términos sin factor común global, agrupar de a pares y extraer factor en cada grupo, buscando un binomio común.
Factorizar \(P(x) = x^3 - x^2 - 14x + 24\)
Posibles raíces: divisores de \(24\): \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm12, \pm24\). Probamos \(x=2\): \(P(2) = 8-4-28+24 = 0\;\checkmark\)
Ruffini con raíz \(x = 2\):
| 2 | 1 | −1 | −14 | 24 |
| 2 | 2 | −24 | ||
| 1 | 1 | −12 | 0 |
Cociente: \(x^2 + x - 12\). Bhaskara: \(x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2}\), entonces \(x_1 = 3\) y \(x_2 = -4\).
Factorizar \(Q(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1\) — Gauss con coef. no mónico
Divisores de \(-1\): \(\pm1\). Divisores de \(2\): \(\pm1, \pm2\). Posibles raíces: \(\pm1,\;\pm\tfrac{1}{2}\).
\(Q(-1) = -2+3-1=0\;\checkmark\) y \(Q\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}-1=0\;\checkmark\)
Ruffini con \(x=-1\): cociente \(2x^2+x-1 = (2x-1)(x+1)\). El factor \((x+1)\) aparece dos veces → raíz doble en \(x=-1\).
Factorizar \(W(x) = 5x^4 - 80\) — factor común + diferencia de cuadrados
Factor común 5: \(W(x) = 5(x^4 - 16)\).
Diferencia de cuadrados: \(x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2-4)(x^2+4)\).
Nueva diferencia: \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\). El factor \((x^2+4)\) no tiene raíces reales — es primo en \(\mathbb{R}\).
Factorizar \(F(x) = 4x^2 + 8x + 4\) — raíz doble (TCP)
Factor común 4: \(F(x) = 4(x^2 + 2x + 1)\).
Reconocemos TCP: \(a=x,\;b=1\), verificamos \(2\cdot x\cdot 1 = 2x\;\checkmark \Rightarrow x^2+2x+1 = (x+1)^2\).
Factorizar \(Q(x) = 3x^5 - 6x^4 - 3x + 6\) — factor común en grupos
Agrupamos: \((3x^5 - 6x^4) + (-3x+6)\).
Factor en cada grupo: \(3x^4(x-2) - 3(x-2) = 3(x-2)(x^4-1)\).
Diferencia de cuadrados: \(x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)\).
Si \(a \neq 1\), la factorización es \(P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\), no \((x-x_1)(x-x_2)\). Sin el \(a\) obtenés un polinomio distinto.
\(a^2 + b^2\) NO factoriza en \(\mathbb{R}\). Solo \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Escribir \(x^2+4 = (x+2)(x-2)\) es incorrecto.
Ruffini necesita todos los coeficientes, incluyendo ceros. Ej.: \(x^3 - 8\) se escribe con coeficientes \(1,\;0,\;0,\;-8\).
No basta que el 1.º y último término sean cuadrados perfectos. Hay que confirmar que el término del medio sea exactamente \(2ab\). Ej.: \(x^2+5x+4\) no es TCP porque \(2 \cdot x \cdot 2 = 4x \neq 5x\).
Después de aplicar Ruffini, el cociente \(C(x)\) también puede factorizarse. El proceso termina solo cuando todos los factores son irreducibles en \(\mathbb{R}\).
Si el polinomio tiene coeficientes no enteros, primero multiplicalo por el mínimo necesario para hacerlos enteros. Las raíces son las mismas. Luego aplicá Gauss al nuevo polinomio.
Antes de cualquier otro método, verificá si hay un factor común. Simplifica muchísimo el trabajo posterior.
Calculá \(a = \sqrt{\text{primer término}}\) y \(b = \sqrt{\text{último término}}\). Si el término del medio es \(\pm 2ab\), ¡es TCP!
Si el coeficiente principal es 1, las posibles raíces racionales son los divisores positivos y negativos del término independiente. Mucho más rápido de listar.
Expandí el resultado o evaluá en un valor sencillo (ej. \(x=0\)) tanto en el original como en la forma factorizada. Tienen que coincidir.
Si agotás todas las posibles raíces racionales y no encontrás ninguna, el polinomio (o el cociente restante) no tiene raíces reales. Es un resultado válido — no es un error.
Al usar \(t = x^2\), factorizás en términos de \(t\). No olvides reemplazar \(t\) por \(x^2\) y volver a factorizar si es posible (ej. diferencia de cuadrados en \(x^2 - k\)).
- Verifiqué si hay factor común en todos los términos y lo extraje.
- Ordené y completé el polinomio (coeficientes 0 incluidos) antes de aplicar Ruffini.
- Si usé Bhaskara, incluí el coeficiente principal \(a\) en la factorización final.
- Si reconocí un TCP, verifiqué que el término del medio sea exactamente \(2ab\).
- Comprobé que el resto de Ruffini es 0 antes de continuar con el cociente.
- Seguí factorizando el cociente \(C(x)\) hasta que todos los factores sean primos.
- Si usé cambio de variable, deshice la sustitución y factorizé en \(x\) hasta el final.
- Expandí (o evalué en un punto) para verificar que la forma factorizada coincide con el original.
Factorizá completamente:
\(P(x) = 10ax^4 - 20ax^2\)
Factorizá:
\(M(x) = 4x^6 - 9\)
Factorizá:
\(P(x) = x^2 - 8x + 16\)
Hallá las raíces y factorizá:
\(Q(x) = 6x^2 - 4x - 16\)
Factorizá completamente:
\(Q(x) = 5x^3 + 20x^2 - 55x - 150\)
Factorizá usando factor común en grupos:
\(P(x) = x^4 - 4x^3 + x - 4\)
Factorizá completamente:
\(V(x) = x^4 - x\)
Usá \(t = x^2\) para factorizar:
\(T(x) = -x^4 + 5x^2 - 6\)
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