Gema
Pensalo como un impuesto que el Estado cobra a todos los negocios por igual. Para saber cuánto cobrar, te fijás en el negocio más pobre (el que menos puede pagar) y ese es el valor del impuesto. Los términos son los negocios; el factor común es el impuesto.
Procedimiento
- Calcular el MCD de los coeficientes.
- Tomar la menor potencia de cada variable que aparezca en todos los términos.
- El Factor Común (FC) es el producto de ambos.
- Dividir cada término por el FC para obtener el polinomio interior.
- Verificar aplicando distributiva: debe reproducir el polinomio original.
Elvira
Siempre verificá el resultado: aplicá la distributiva y comprobá que obtenés exactamente el polinomio de partida. Es el único modo de estar seguro de que no te equivocaste.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
\( P(x) = 4x^5 + 3x^2 - 5x^3 \)
Todos los términos tienen \(x^2\). MCD(4,3,5) = 1. FC = \(x^2\).
Verif.: \(x^2 \cdot 4x^3 + x^2 \cdot(-5x) + x^2 \cdot 3 = 4x^5 - 5x^3 + 3x^2\) ✓
Ejemplo 2
\( Q(x) = 6x^4 - 9x^3 + 15x^2 \)
MCD(6,9,15) = 3. Menor potencia de \(x\): \(x^2\). FC = \(3x^2\).
Ejemplo 3
\( R(x) = 4x^2y - 6xy^2 + 2xy \)
MCD(4,6,2) = 2. Menor potencia de \(x\): \(x\). Menor potencia de \(y\): \(y\). FC = \(2xy\).
El término \(2xy\) dividido por \(2xy\) da 1 (aparece explícito en el paréntesis).
Demostración
Expandiendo el producto de conjugados:
Los términos medios \(+ab\) y \(-ab\) se cancelan exactamente. Por eso en la diferencia de cuadrados no aparece término central.
Gema
El truco es simple: calculás \(a = \sqrt{\text{primer término}}\) y \(b = \sqrt{\text{segundo término}}\), y armás directamente \((a-b)(a+b)\). ¡Eso es todo!
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
\( P(x) = x^2 - 9 \)
\(a = x\), \(b = 3\) (porque \(3^2 = 9\)).
Ejemplo 2
\( Q(x) = 4x^6 - 25 \)
\(a = 2x^3\) (porque \((2x^3)^2 = 4x^6\)), \(b = 5\).
Ejemplo 3
\( R(x) = 9x^4 - 16x^2 \)
Primero factor común \(x^2\), luego diferencia de cuadrados:
Ejemplo de factorización encadenada: FC primero, DC después.
Demostración
Elvira
A diferencia de la diferencia de cuadrados, acá los términos medios suman en lugar de cancelarse: \(ab + ab = 2ab\). Por eso aparece ese término del medio en el trinomio.
¿Cómo identificarlo?
- Calculá \(a = \sqrt{\text{primer término}}\) y \(b = \sqrt{\text{último término}}\).
- Verificá que el término del medio sea exactamente \(\pm\, 2ab\).
- Si se cumple, el resultado es \((a+b)^2\) o \((a-b)^2\) según el signo.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
\( P(x) = x^2 + 8x + 16 \)
\(a = x\), \(b = 4\). Verificación: \(2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x\) ✓
Ejemplo 2
\( Q(x) = x^4 - 10x^2 + 25 \)
\(a = x^2\), \(b = 5\). Verif.: \(2 \cdot x^2 \cdot 5 = 10x^2\) ✓
Ejemplo 3
\( R(x) = 9x^6 + 30x^3 + 25 \)
\(a = 3x^3\), \(b = 5\). Verif.: \(2 \cdot 3x^3 \cdot 5 = 30x^3\) ✓
Fórmula de Bhaskara
Una vez halladas las raíces, la factorización completa es:
- Olvidar el coeficiente \(a\) adelante. Si \(a \neq 1\), debe aparecer explícito en la factorización.
- No cambiar el signo de las raíces. La factorización usa \((x - x_i)\): si \(x_1 = 3\), el factor es \((x-3)\), no \((x+3)\).
Gema
El signo siempre cambia porque la fórmula tiene \((x - x_i)\). Si la raíz es positiva, el factor lleva menos. Si la raíz es negativa, \(x - (-\text{número}) = x + \text{número}\), así que lleva más. ¡Siempre opuesto al signo de la raíz!
Casos incompletos
- \(c = 0\): una raíz es cero → usar factor común: \(P(x) = ax(x - r)\).
- \(b = 0\): las raíces son simétricas → diferencia de cuadrados.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
\( P(x) = 2x^2 + 6x - 8 \) (\(a=2,\,b=6,\,c=-8\))
\(x_1 = 1\) \(x_2 = -4\)
Notar el \(2\) adelante (coeficiente principal).
Ejemplo 2
\( Q(x) = x^2 - 5x + 6 \) (\(a=1,\,b=-5,\,c=6\))
\(x_1 = 3\) \(x_2 = 2\)
Ejemplo 3 (caso \(c = 0\))
\( R(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x-4) \)
Raíces: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = 4\). Factorización por FC, sin necesidad de Bhaskara.
Procedimiento
- Agrupar los términos (usualmente de a pares).
- Sacar factor común dentro de cada grupo por separado.
- Identificar el factor binomial que aparece en todos los grupos.
- Factorizarlo hacia afuera.
Elvira
Si después de sacar FC de cada grupo los factores binomiales no coinciden, probá con otro orden de agrupación. A veces hay que reordenar los términos antes de empezar.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
\( P(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2 \)
Ejemplo 2
\( Q(x) = ax + ay + bx + by \)
Ejemplo 3 (con factorización en cadena)
\( R(x) = 3x^5 - 6x^4 - 3x + 6 \)
El tercer paso aplica diferencia de cuadrados a \(x^4-1\), y el cuarto también a \(x^2-1\).
Teorema de Gauss (versión simplificada)
Si el coeficiente principal es 1 y el término independiente es \(c\), las posibles raíces enteras son los divisores enteros de \(c\).
División sintética (Ruffini)
- Escribir los coeficientes del polinomio en orden descendente (completar con 0 si falta alguna potencia).
- Colocar el candidato \(r\) a la izquierda.
- Bajar el primer coeficiente. Multiplicar por \(r\), sumar al siguiente. Repetir.
- Si el resto es 0, \(r\) es raíz y el cociente es el polinomio reducido.
- Continuar con el cociente hasta factorizar completamente.
Gema
Empezá siempre por \(\pm 1\): son los divisores de cualquier número y los más fáciles de verificar mentalmente. Si no sirven, seguí con \(\pm 2\), \(\pm 3\), etc.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
\( P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \)
Divisores de \(-6\): \(\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}\). Probamos \(r=2\):
| 2 | 1 | 2 | -5 | -6 |
| +2 | +8 | +6 | ||
| 1 | 4 | 3 | 0 ✓ |
Cociente: \(x^2 + 4x + 3\). Factorizamos con Bhaskara o inspección:
Verif.: raíces \(x=2,\,-1,\,-3\).
Ejemplo 2
\( Q(x) = x^3 - 8 = x^3 + 0x^2 + 0x - 8 \)
Divisores de \(-8\): probamos \(r=2\):
| 2 | 1 | 0 | 0 | -8 |
| +2 | +4 | +8 | ||
| 1 | 2 | 4 | 0 ✓ |
El trinomio \(x^2+2x+4\) tiene discriminante \(\Delta = 4-16 = -12 < 0\): no factoriza en los reales.
Ejemplo 3 (dos raíces consecutivas)
\( R(x) = x^4 - 5x^2 + 4 = x^4 + 0x^3 - 5x^2 + 0x + 4 \)
Divisores de 4. Probamos \(r = 1\):
| 1 | 1 | 0 | -5 | 0 | 4 |
| +1 | +1 | -4 | -4 | ||
| 1 | 1 | -4 | -4 | 0 ✓ |
Cociente \(x^3+x^2-4x-4\). Probamos \(r=-1\) en el cociente (divisor de 4):
¿Cuál técnica uso? Seguí este orden de decisión:
| Técnica | Cuándo usarla | Resultado |
|---|---|---|
| Factor Común | Siempre intentar primero. Todos los términos comparten factor. | \(k \cdot Q(x)\) |
| Dif. de Cuadrados | Dos términos, resta, ambos cuadrados perfectos. | \((a-b)(a+b)\) |
| Trinomio Cuadrado | Tres términos, extremos cuadrados, medio = \(\pm 2ab\). | \((a\pm b)^2\) |
| Bhaskara | Grado exactamente 2. | \(a(x-x_1)(x-x_2)\) |
| Factor en Grupo | 4+ términos sin FC total; se agrupan de a pares. | \((\cdots)(\cdots)\) |
| Gauss + Ruffini | Grado ≥ 3, coef. principal = 1, coef. enteros. | \((x-r)\cdot Q(x)\) |
Elvira
El orden importa: Factor Común primero, siempre. Después analizás lo que quedó adentro del paréntesis y aplicás la técnica que corresponda. Las factorizaciones se encadenan.
Estos ejercicios requieren aplicar varias técnicas en cadena.
Combinado 1 — Factor Común + Diferencia de Cuadrados
\( P(x) = 28x^5 - 7x^3 \)
Paso 1: FC \(7x^3\). Paso 2: \(4x^2-1 = (2x)^2 - 1^2\) → DC.
Combinado 2 — Factor Común + Trinomio Cuadrado Perfecto
\( Q(x) = 3x^4 + 30x^3 + 75x^2 \)
Paso 1: FC \(3x^2\). Paso 2: TCP con \(a=x,\,b=5,\,2ab=10x\) ✓
Combinado 3 — Factor Común + Bhaskara
\( R(x) = 2x^3 - 10x^2 + 12x \)
Paso 1: FC \(2x\). Paso 2: Bhaskara con \(a=1,b=-5,c=6\) → raíces 2 y 3.
Combinado 4 — Factor Común + Gauss + Ruffini + Diferencia de Cuadrados
\( S(x) = 2x^5 - 2x^3 \)
Paso 1: FC \(2x^3\). Paso 2: DC sobre \(x^2 - 1\).
Combinado 5 — Factor en Grupo + Diferencia de Cuadrados
\( T(x) = x^3 - x^2 - x + 1 \)
Paso 1: Factor en grupo. Paso 2: DC sobre \(x^2-1\).
Gema
👉 El patrón siempre es el mismo: FC primero, después mirás lo que quedó dentro del paréntesis y seguís aplicando técnicas hasta que no puedas seguir. Las factorizaciones pueden tener 2, 3 o más etapas.