Durante el aprendizaje matematico, uno siempre comienza dominando una operacion y luego descubre su "nemesis", su operacion inversa:
Suma \(\leftrightarrow\) Resta
Multiplicacion \(\leftrightarrow\) Division
Potencia \(\leftrightarrow\) Raiz
Exponencial \(\leftrightarrow\) Logaritmo
El problema aparece cuando la variable se esconde en el exponente. Si tenemos \( 2^x = 8 \), no alcanza con "hacer raiz" porque la incognita no esta en la base. Necesitamos una operacion nueva que "baje" esa \(x\) del exponente. Esa operacion es el logaritmo.
Elvira
Traduccion simple: el logaritmo responde a la pregunta "¿a que exponente tengo que elevar la base para obtener este numero?". Nada mas ni nada menos.
En palabras: "el logaritmo de un numero (argumento) es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de dicho numero".
Condiciones de existencia:
Para que \( \log_b a \) exista se necesitan dos condiciones:
1. La base debe ser positiva y distinta de 1: \( b > 0 \), \( b \neq 1 \)
2. El argumento debe ser estrictamente positivo: \( a > 0 \)
Gema
Truco para recordar: en \( \log_b a = x \), la b (base) va abajo, la a (argumento) al costado, y la x (resultado) es el exponente. Si te perdiste, volve a la exponencial: \( b^x = a \).
Ejemplo 1
Calcular \( \log_2 8 \)
Planteamos: \( \log_2 8 = x \Leftrightarrow 2^x = 8 \)
Como \( 2^3 = 8 \), entonces \( \boxed{\log_2 8 = 3} \)
Ejemplo 2
Calcular \( \log_3 \dfrac{1}{9} \)
Planteamos: \( \log_3 \frac{1}{9} = x \Leftrightarrow 3^x = \frac{1}{9} \)
Como \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \), entonces \( \boxed{\log_3 \frac{1}{9} = -2} \)
Ejemplo 3
Calcular \( \log_7 \sqrt[3]{7} \)
Planteamos: \( \log_7 \sqrt[3]{7} = x \Leftrightarrow 7^x = \sqrt[3]{7} = 7^{1/3} \)
Entonces \( \boxed{\log_7 \sqrt[3]{7} = \frac{1}{3}} \)
Notaciones especiales:
Logaritmo decimal (base 10)
Cuando la base es 10, se omite: \( \log_{10} a = \log a \)
Logaritmo natural o neperiano (base \(e\))
Cuando la base es \( e \approx 2{,}718\ldots \), se escribe: \( \log_e a = \ln a \)
Las dos primeras propiedades se deducen directamente de las propiedades de la potenciacion. Veamos por que:
Propiedad 1 — Logaritmo de 1
Demostracion: Sabemos de potencias que todo numero (distinto de cero) elevado a la cero da 1:
Aplicando la definicion de logaritmo: si \( b^0 = 1 \), entonces \( \log_b 1 = 0 \). \(\blacksquare\)
Ejemplo: \( \log_9 1 = 0 \) porque \( 9^0 = 1 \)
Elvira
Ojo: esto funciona porque la base \(b\) nunca es cero (por definicion). Si fuera cero, \(0^0\) seria una indeterminacion y el logaritmo no existiria.
Propiedad 2 — Logaritmo de la base
Demostracion: Otra propiedad basica de potencias dice que todo numero elevado a la 1 da el mismo numero:
Aplicando la definicion de logaritmo: si \( b^1 = b \), entonces \( \log_b b = 1 \). \(\blacksquare\)
Ejemplo: \( \log_4 4 = 1 \) porque \( 4^1 = 4 \)
Propiedad 3 — Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.
Ejemplo: \( \log_2(4 \cdot 2) = \log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3 \)
Propiedad 4 — Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos.
Ejemplo: \( \log_4(16 : 4) = \log_4 16 - \log_4 4 = 2 - 1 = 1 \)
Gema
Fijate el patron: el logaritmo "transforma" multiplicaciones en sumas y divisiones en restas. Por eso fue tan importante historicamente: ¡facilitaba las cuentas antes de que existieran las calculadoras!
Propiedad 5 — Logaritmo de una potencia
El exponente "baja" y multiplica al logaritmo.
Ejemplo: \( \log_4 4^3 = 3 \cdot \log_4 4 = 3 \cdot 1 = 3 \)
Propiedad 6 — Cambio de base
Permite calcular logaritmos en cualquier base usando una base conocida (tipicamente base 10 o \(e\)).
Ejemplo: \( \log_3 5 = \dfrac{\log 5}{\log 3} \approx \dfrac{0{,}699}{0{,}477} \approx 1{,}465 \)
Veamos como aplicar las propiedades para simplificar y calcular expresiones logaritmicas.
Ejercicio resuelto 1
Calcular \( \log_2(16 \cdot 8) \)
Resolucion:
$$ \log_2(16 \cdot 8) = \log_2 16 + \log_2 8 = 4 + 3 = \boxed{7} $$Verificacion: \( 16 \cdot 8 = 128 = 2^7 \) ✓
Ejercicio resuelto 2
Calcular \( \log_5 \sqrt[3]{25} \)
Resolucion: Reescribimos la raiz como potencia:
$$\begin{aligned} \log_5 \sqrt[3]{25} &= \log_5 25^{1/3} \\[6pt] &= \frac{1}{3} \cdot \log_5 25 \\[6pt] &= \frac{1}{3} \cdot 2 = \boxed{\frac{2}{3}} \end{aligned}$$Ejercicio resuelto 3
Resolver \( 3^x = 4 \) (la incognita esta en el exponente)
Resolucion: Aplicamos logaritmo en ambos miembros:
$$\begin{aligned} 3^x &= 4 \\[6pt] \log 3^x &= \log 4 \\[6pt] x \cdot \log 3 &= \log 4 \\[6pt] x &= \frac{\log 4}{\log 3} \approx \boxed{1{,}262} \end{aligned}$$
Elvira
Atencion: en el ejercicio 3 usamos la propiedad 5 "al reves". El exponente \(x\) baja y multiplica al logaritmo. Eso es justamente lo que hace al logaritmo tan util: despeja la variable del exponente.
Ejercicio resuelto 4
Calcular \( \log_6 81 \) usando cambio de base.
Resolucion:
$$ \log_6 81 = \frac{\log 81}{\log 6} = \frac{\log 3^4}{\log 6} = \frac{4 \cdot \log 3}{\log 6} \approx \frac{4 \times 0{,}477}{0{,}778} \approx \boxed{2{,}453} $$Paso fundamental antes de resolver: determinar las condiciones de existencia (tambien llamadas condiciones iniciales o dominio). Todo argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo. Al final, hay que verificar que las soluciones cumplan estas condiciones.
Gema
¡Clave! Siempre, SIEMPRE arranca planteando las condiciones de existencia. Muchos ejercicios de parcial estan disenados para que una de las soluciones "caiga" por no cumplir la condicion. Si no las planteas, te comes el error.
Ecuacion 1 — Tipo clasico
Resolver: \( \log_3(5-x) - \log_3(2+x) = 1 \)
Condiciones de existencia:
$$ 5 - x > 0 \implies x < 5 \qquad \text{y} \qquad 2 + x > 0 \implies x > -2 $$Entonces: \( x \in (-2,\; 5) \)
Resolucion: Aplicamos propiedad del cociente:
$$\begin{aligned} \log_3\left(\frac{5-x}{2+x}\right) &= 1 \\[6pt] \frac{5-x}{2+x} &= 3^1 = 3 \\[6pt] 5 - x &= 3(2+x) \\[6pt] 5 - x &= 6 + 3x \\[6pt] -1 &= 4x \\[6pt] x &= -\frac{1}{4} \end{aligned}$$Verificamos: \( x = -\frac{1}{4} \in (-2,\;5) \) ✓
\( \boxed{S = \left\{-\frac{1}{4}\right\}} \)
Ecuacion 2 — Con Bhaskara y descarte de raiz
Resolver: \( \log_2(x) + \log_2(x - 2) = 3 \)
Condiciones de existencia:
$$ x > 0 \qquad \text{y} \qquad x - 2 > 0 \implies x > 2 $$Entonces: \( x > 2 \)
Resolucion:
$$\begin{aligned} \log_2\bigl(x(x-2)\bigr) &= 3 \\[6pt] x(x-2) &= 2^3 = 8 \\[6pt] x^2 - 2x - 8 &= 0 \end{aligned}$$Aplicamos Bhaskara:
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} $$ $$ x_1 = 4 \qquad x_2 = -2 $$Verificacion de condiciones:
• \( x_1 = 4 > 2 \) ✓ cumple la condicion
• \( x_2 = -2 \) ✗ NO cumple \( x > 2 \). Ademas, si reemplazamos: \( \log_2(-2) \) no existe (argumento negativo).
Elvira
Aca esta la trampa: Bhaskara nos da dos raices, pero \(x = -2\) genera \(\log_2(-2)\), que no pertenece a los reales. Por eso siempre hay que volver a las condiciones iniciales.
\( \boxed{S = \{4\}} \)
Ecuacion 3 — Conjunto solucion vacio
Resolver: \( \log_5(x+1) + \log_5(x-3) = 1 \)
Condiciones de existencia:
$$ x + 1 > 0 \implies x > -1 \qquad \text{y} \qquad x - 3 > 0 \implies x > 3 $$Entonces: \( x > 3 \)
Resolucion:
$$\begin{aligned} \log_5\bigl((x+1)(x-3)\bigr) &= 1 \\[6pt] (x+1)(x-3) &= 5 \\[6pt] x^2 - 2x - 3 &= 5 \\[6pt] x^2 - 2x - 8 &= 0 \end{aligned}$$Bhaskara:
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} $$ $$ x_1 = 4 \qquad x_2 = -2 $$Verificacion de condiciones (\(x > 3\)):
• \( x_1 = 4 > 3 \) ✓ Verificamos reemplazando: \( \log_5(5) + \log_5(1) = 1 + 0 = 1 \) ✓
• \( x_2 = -2 \not> 3 \) ✗ Descartada. \( \log_5(-1) \) no existe.
\( \boxed{S = \{4\}} \)
Nota: si hubiese ocurrido que ambas raices fueran menores o iguales a 3, el conjunto solucion seria vacio: \( S = \emptyset \). Ese es exactamente el caso que hay que saber reconocer en un parcial.
Error 1: Creer que \( \log_b(r + s) = \log_b r + \log_b s \)
El logaritmo de una suma NO se puede separar. La propiedad vale para el producto, no para la suma.
Error 2: Olvidar las condiciones de existencia en ecuaciones logaritmicas.
El argumento siempre debe ser positivo. Si encontras una solucion que genera un logaritmo de un numero negativo o cero, hay que descartarla.
Error 3: Confundir \( \log_b a^n \) con \( (\log_b a)^n \)
\( \log_b a^n = n \cdot \log_b a \), pero \( (\log_b a)^n \) es el logaritmo elevado a la \(n\). Son cosas muy distintas.
Error 4: Pensar que \( \frac{\log_b r}{\log_b s} = \log_b(r - s) \)
La division de logaritmos no tiene una "propiedad linda". El cociente de logs aparece solo en el cambio de base.
Gema
Regla de oro: las propiedades de log convierten multiplicacion en suma y division en resta, nunca al reves. Si en tu cuenta estas sumando dentro del log y queres "separar", ¡para! Eso no se puede.
Grupo A — Aplicar definicion:
Grupo B — Aplicar propiedades:
Grupo C — Ecuaciones logaritmicas:
Elvira
Consejo: en cada ecuacion del Grupo C, lo primero que deberias escribir en tu hoja son las condiciones de existencia. Hacelo antes de tocar la ecuacion. Es lo que marca la diferencia en un parcial.