Se suman los términos semejantes — los que tienen la misma potencia de \(x\).
Concepto clave
\(P(x) + Q(x)\) agrupa y suma los coeficientes de cada grado.
Si falta un grado, su coeficiente es \(\boldsymbol{0}\). Alineá los términos del mismo grado en columna.
Sean \(P(x) = x^3 + 5x^2 - 7\) y \(Q(x) = x^2 - 3x - 2\)
Sean \(A(x) = 2x^4 - x^2 + 4\) y \(B(x) = -x^4 + 3x^3 + x^2 - 5x\)
Regla práctica: alineá los términos en columnas por grado y sumá coeficiente a coeficiente. Si falta un grado, completá con \(0\).
Para restar se suma el primero con el opuesto del segundo.
Fórmula
El opuesto se obtiene cambiando el signo de todos los términos.
Ej.: el opuesto de \(\;x^2 - 3x + 1\;\) es \(\;-x^2 + 3x - 1\).
Sean \(P(x) = x^3 + 5x^2 - 7\) y \(Q(x) = x^2 - 3x - 2\)
Cambiamos todos los signos de \(Q(x)\):
$$P(x) - Q(x) = \bigl(x^3 + 5x^2 - 7\bigr) - \bigl(x^2 - 3x - 2\bigr)$$ $$= x^3 + 5x^2 - 7 \;-\; x^2 + 3x + 2$$ $$= x^3 + (5-1)x^2 + 3x + (-7+2)$$ $$= x^3 + 4x^2 + 3x - 5$$Sean \(P(x) = 4x^3 - 2x + 5\) y \(Q(x) = 4x^3 + x^2 - 2x + 3\)
Cuidado con los signos: si el paréntesis está precedido por \(-\), todos los signos internos se cambian. Si está precedido por \(+\), se conservan.
Se aplica la propiedad distributiva. Hay tres casos según qué multiplicamos.
El número multiplica a cada término del polinomio.
Se distribuye el monomio. Al multiplicar potencias de \(x\) se suman los exponentes: \(\;x^a \cdot x^b = x^{a+b}\).
Cada término de uno se multiplica por todos los del otro; luego se reducen los términos semejantes.
Un caso frecuente: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Conviene aplicar la fórmula directamente para ahorrar pasos.
Verificación distribuyendo:
Truco: usá una tabla de doble entrada para no olvidar ningún producto cruzado cuando los polinomios tienen muchos términos.
Idea central
donde \(C(x)\) es el cociente y \(R \in \mathbb{R}\) es el resto.
Ordenar y completar \(P(x)\): si falta algún grado, su coeficiente es \(0\).
Escribir la raíz del divisor: si es \((x - a)\) usás \(a\); si es \((x + a)\) usás \(-a\).
Bajar el primer coeficiente directamente.
Multiplicar por la raíz y escribir el resultado debajo del siguiente coeficiente.
Sumar los dos valores de la columna y anotar.
Repetir hasta el final. El último número es el resto \(R\); los anteriores son los coeficientes de \(C(x)\).
Dividir \(\;P(x) = 3x^3 + 7x^2 + 6x - 1\;\) por \(\;(x + 2)\)
Como \(x + 2 = x - (-2)\), la raíz es \(a = -2\).
| \(-2\) | \(3\) | \(7\) | \(6\) | \(-1\) |
| \(-6\) | \(-2\) | \(-8\) | ||
| \(3\) | \(1\) | \(4\) | \(-9\) |
Coeficientes del cociente (el grado baja en 1): \(3,\;1,\;4\).
Verificación (Teorema del Resto):
$$3x^3 + 7x^2 + 6x - 1 = (x+2)\,(3x^2 + x + 4) + (-9) \quad\checkmark$$Al dividir \(P(x)\) por \((x - a)\), el resto es igual a \(\boldsymbol{P(a)}\). No hace falta dividir: simplemente evaluá el polinomio en \(x = a\).
Dividir \(\;P(x) = 2x^4 - 3x^2 + 1\;\) por \(\;(x - 1)\)
Falta el término en \(x^3\) y en \(x\): completamos con coeficiente \(0\). La raíz es \(a = 1\).
| \(1\) | \(2\) | \(0\) | \(-3\) | \(0\) | \(1\) |
| \(2\) | \(2\) | \(-1\) | \(-1\) | ||
| \(2\) | \(2\) | \(-1\) | \(-1\) | \(0\) |
Resto \(= 0\) ⟹ \((x-1)\) es factor de \(P(x)\).
Verificación: \(P(1) = 2 - 3 + 1 = 0 \quad\checkmark\)
Checklist antes de Ruffini: ¿El divisor es grado 1 y mónico — de la forma \((x-a)\)? ¿El dividendo está ordenado y completo? ¿Usaste la raíz correcta? (si el divisor es \(x+2\), entonces \(a = -2\)).
