Analisis Matematico

Asintotas
de funciones

Asintotas verticales, horizontales y oblicuas.
Definiciones, limites asociados, reglas practicas y ejemplos resueltos.

calculando...
Conceptos clave A. Vertical A. Horizontal A. Oblicua Ejemplos resueltos Errores tipicos Checklist Practica
Seccion 01 Conceptos clave
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Definicion: Una asintota es una recta a la que la grafica de una funcion se aproxima indefinidamente sin llegar a tocarla (o tocandola en algun punto). Representan el comportamiento limite de la funcion.

Existen tres tipos de asintotas:

  • Asintota Vertical (AV): recta vertical \(x = a\) a la que la funcion se acerca cuando \(x \to a\).
  • Asintota Horizontal (AH): recta horizontal \(y = L\) a la que la funcion se acerca cuando \(x \to \pm\infty\).
  • Asintota Oblicua (AO): recta con pendiente \(y = mx + b\) a la que la funcion se acerca cuando \(x \to \pm\infty\).
Elvira

Elvira

En palabras simples: una asintota es una recta "guia" que le dice a la funcion hacia donde ir cuando \(x\) se va muy lejos o se acerca a un punto problematico. La funcion se pega cada vez mas a esa recta, pero no la alcanza (en general).

Dato importante: Una funcion puede tener asintota horizontal y oblicua, pero no ambas en la misma direccion. Si tiene AH cuando \(x \to +\infty\), no tiene AO en esa misma direccion (y viceversa).
Seccion 02 Asintota Vertical
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Definicion formal: La recta \(x = a\) es asintota vertical de \(f\) si al menos uno de los limites laterales tiende a \(\pm\infty\):
$$ \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{o} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \quad \Rightarrow \quad \text{AV:} \; x = a $$

Como encontrar posibles asintotas verticales

Los candidatos a asintota vertical son los puntos problematicos del dominio: los valores de \(x\) que hacen cero el denominador (en funciones racionales) o generan indeterminaciones.

Procedimiento:
1. Igualar el denominador a cero y resolver.
2. Para cada solucion \(x = a\), calcular los limites laterales \(\lim_{x \to a^+} f(x)\) y \(\lim_{x \to a^-} f(x)\).
3. Si alguno de esos limites da \(\pm\infty\), entonces \(x = a\) es AV.
Gema

Gema

Regla rapida para racionales: si al factorizar se puede cancelar el factor que hace cero el denominador, entonces en ese punto hay un "hueco" (discontinuidad evitable), no una asintota. Si no se puede cancelar, ahi si hay asintota vertical.

Asintota vertical por derecha y por izquierda

Al calcular los limites laterales, hay que analizar el signo del resultado:

  • Si \(x \to a^+\) (por derecha): el factor \((x - a)\) es positivo (\(0^+\)).
  • Si \(x \to a^-\) (por izquierda): el factor \((x - a)\) es negativo (\(0^-\)).

El signo del limite depende de la combinacion de signos del numerador y denominador al acercarse a \(a\).

Seccion 03 Asintota Horizontal
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Definicion formal: La recta \(y = L\) es asintota horizontal de \(f\) si:
$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \Rightarrow \quad \text{AH por derecha:} \; y = L $$ $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = L \quad \Rightarrow \quad \text{AH por izquierda:} \; y = L $$
Elvira

Elvira

Ojo: hay que calcular los dos limites por separado. La asintota horizontal por derecha (\(x \to +\infty\)) puede ser distinta a la de la izquierda (\(x \to -\infty\)). Un ejemplo clasico es \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\) que tiene AH derecha \(y=1\) y AH izquierda \(y=-1\).

Regla de los grados para funciones racionales

Para \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) donde \(P\) y \(Q\) son polinomios:

Si \(\text{grado}(P) < \text{grado}(Q)\)  →  AH: \(y = 0\)

Si \(\text{grado}(P) = \text{grado}(Q)\)  →  AH: \(y = \frac{\text{coef. principal de } P}{\text{coef. principal de } Q}\)

Si \(\text{grado}(P) > \text{grado}(Q)\)  →  No hay AH (buscar AO)

Gema

Gema

Truco express: en un cociente de polinomios, solo tenes que mirar los grados. Si el de arriba es menor, la AH es \(y=0\). Si son iguales, dividis los coeficientes principales. Si el de arriba es mayor, no hay horizontal y tenes que buscar oblicua.

Seccion 04 Asintota Oblicua
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Definicion formal: La recta \(y = mx + b\) es asintota oblicua de \(f\) si:
$$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \qquad \text{(debe existir y ser finito, con } m \neq 0\text{)}$$ $$ b = \lim_{x \to \pm\infty} \left[ f(x) - mx \right] \qquad \text{(debe existir y ser finito)}$$

Si \(m = 0\), no hay asintota oblicua (seria horizontal). Si el limite de \(m\) no existe o es infinito, tampoco hay AO.

Gema

Gema

Tip clave: en funciones racionales \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), si el grado del numerador supera en exactamente uno al grado del denominador, hay asintota oblicua. Igualmente, siempre hay que calcularla con las formulas de \(m\) y \(b\).

Alternativa practica: En funciones racionales, tambien se puede obtener la AO haciendo la division de polinomios. El cociente (sin el resto) da la ecuacion de la asintota oblicua directamente.
Elvira

Elvira

Recordatorio: si la funcion ya tiene asintota horizontal (\(m=0\)), entonces no busques oblicua. Son excluyentes en la misma direccion.

Seccion 05 Ejemplos resueltos
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Ejemplo 1

Hallar todas las asintotas de \(f(x) = \dfrac{-2x^2}{3x - 9}\)

Dominio y posibles AV

El denominador se anula cuando \(3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 3\).

Dominio: \(\mathbb{R} - \{3\}\). El valor \(x=3\) es candidato a AV.

Analisis de AV en \(x = 3\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \frac{\overbrace{-2x^2}^{-18}}{3\underbrace{(x-3)}_{0^+}} = -\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{\overbrace{-2x^2}^{-18}}{3\underbrace{(x-3)}_{0^-}} = +\infty\)

Analisis de AH

Grado del numerador: 2. Grado del denominador: 1. Como \(2 > 1\), no hay AH.

Analisis de AO

Como el grado del numerador supera en 1 al del denominador, buscamos AO:

\(\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2}{x(3x-9)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2}{3x^2 - 9x}\)
\(\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2}{x^2(3 - 9/x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2}{3 - \underbrace{(9/x)}_{0}} = -\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{-2x^2}{3x-9} + \frac{2}{3}x \right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 2x(x-3)}{3(x-3)}\)
\(\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \frac{-6x}{3x-9} =\lim_{x \to +\infty} \frac{-6x}{x(3-9/x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-6}{3-\underbrace{(9/x)}_{0}} = -2\)
AO: \(y = -\dfrac{2}{3}x - 2\)
Ejemplo 2

Hallar las asintotas de \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\)

Dominio

Necesitamos \(x^2 - 1 > 0\), es decir \(x > 1\) o \(x < -1\). Dominio: \((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).

Asintotas verticales

Los puntos problematicos son \(x = 1\) y \(x = -1\):

\(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\underbrace{\sqrt{x^2-1}}_{0^+}} = +\infty \quad \Rightarrow \quad x = 1\) es AVD
\(\displaystyle \lim_{x \to -1^-} \frac{x}{\underbrace{\sqrt{x^2-1}}_{0^+}} =-\infty \quad \Rightarrow \quad x = -1\) es AVI

Asintotas horizontales

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1-1/x^2}} = \frac{1}{1} = 1\)
(Como \(x \to +\infty\), \(x > 0\), entonces \(\sqrt{x^2} = |x| = x\))
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x\sqrt{1-1/x^2}} = -1\)
(Como \(x \to -\infty\), \(x < 0\), entonces \(\sqrt{x^2} = |x| = -x\))
AH por derecha: \(y = 1\)   |   AH por izquierda: \(y = -1\)
Elvira y Gema

Elvira y Gema

Este ejemplo muestra que las AH por derecha e izquierda pueden ser distintas. Como tiene AH en ambas direcciones, no tiene AO.

Seccion 06 Errores tipicos
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Error 1: Asumir que todo valor que anula el denominador es AV. Si al factorizar se cancela el factor, hay un hueco (discontinuidad evitable), no una asintota.
Error 2: Calcular solo un limite (\(x \to +\infty\)) para la AH y olvidar el otro (\(x \to -\infty\)). Pueden dar resultados distintos, como en \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\).
Error 3: Al sacar \(\sqrt{x^2}\) fuera de la raiz, olvidar que \(\sqrt{x^2} = |x|\). Cuando \(x \to -\infty\), \(|x| = -x\), lo cual cambia el signo.
Error 4: Buscar asintota oblicua cuando ya existe asintota horizontal. Si \(m = 0\), no hay AO.
Error 5: Usar la regla de grados como unica herramienta sin verificar con limites. La regla solo aplica a cocientes de polinomios, no a funciones con raices, exponenciales, etc.
Elvira

Elvira

Consejo: siempre que factoricen numerador y denominador, revisen si hay factores comunes. Un factor que se cancela = hueco. Un factor que no se cancela = asintota vertical. Esa distincion es clave.

Seccion 07 Checklist de verificacion
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Paso 1: Encontrar el dominio. Identificar los puntos donde el denominador es cero (candidatos a AV).
Paso 2: Para cada candidato \(x = a\), factorizar y verificar si el factor se cancela (hueco) o no (AV). Calcular limites laterales para confirmar.
Paso 3: Calcular \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) y \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\). Si alguno es finito \(= L\), hay AH \(y = L\).
Paso 4: Si no hay AH (o el limite es \(\pm\infty\)), buscar AO calculando \(m\) y \(b\). Tip: si el grado del numerador supera en 1 al del denominador, hay AO.
Paso 5: Verificar coherencia: no puede haber AH y AO en la misma direccion.
Seccion 08 Practica
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Encontra todas las asintotas de las siguientes funciones:

Ejercicio 1

\(f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}\)

Ejercicio 2

\(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}\)

(Pista: factoriza numerador y denominador. Uno de los candidatos a AV es un hueco.)

Ejercicio 3

\(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 1}\)

(Pista: el grado del numerador supera en 1 al del denominador.)

Ejercicio 4

\(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\)

(Pista: no tiene AV. Calcula las AH por derecha y por izquierda.)

Desafio

Sabiendo que \(f(x) = \dfrac{ax^3 + bx^2 + 1}{3x^2 + 5}\) tiene asintota oblicua \(y = 2x + 7\), encontra los valores de \(a\) y \(b\).

Gema

Gema

Para el desafio, usa que \(m = 2\) y \(b = 7\) son los limites de las formulas de AO. Eso te da un sistema de ecuaciones para encontrar \(a\) y \(b\). Dale, que se puede.

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