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Análisis Matemático · Continuidad en un punto y en los Reales
⏱ calculando...Se dice que \( f \) es continua en \( x = a \) si y solo si se cumplen simultáneamente las tres condiciones siguientes:
El valor de la función en \( x = a \) debe estar definido. Es decir, \( a \) debe pertenecer al dominio de \( f \).
$$ f(a) = M \qquad M \in \mathbb{R} $$Requiere que ambos límites laterales existan y sean iguales:
$$\lim_{x \to a^+} f(x) = L \qquad \text{(por derecha, } x > a\text{)}$$ $$\lim_{x \to a^-} f(x) = L \qquad \text{(por izquierda, } x < a\text{)}$$Como ambos laterales coinciden, existe el límite bilateral:
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$RESUMEN
$$ f \text{ es continua en } x = a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$
Gema
Las tres condiciones son como una cadena: si falla una sola, la función ya no es continua en ese punto. Una forma de recordarlas: existe el valor, existe el límite, coinciden.
Cuando alguna de las tres condiciones falla, \( f \) es discontinua en \( x = a \). El tipo depende de cuál condición falla y cómo.
Ocurre cuando no existe el límite bilateral, porque los límites laterales son distintos:
$$\lim_{x \to a^+} f(x) \neq \lim_{x \to a^-} f(x) \qquad \Longrightarrow \qquad \nexists \lim_{x \to a} f(x)$$La condición II falla. No importa si \( f(a) \) existe o no: sin límite, no hay continuidad posible.
Discontinuidad esencial: límites laterales distintos
Ocurre cuando existe el límite pero no coincide con el valor de la función:
$$\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = L \qquad \text{pero} \qquad f(a) \neq L$$Puede ocurrir que no exista \( f(a) \) (condición I falla) o que \( f(a) \neq L \) (condición III falla). Se llama "evitable" porque podría corregirse redefiniendo \( f(a) = L \).
Discontinuidad evitable: el límite existe pero \( f(a) \neq L \)
| Tipo | Condición que falla | ¿Existe el límite? | ¿Se puede corregir? |
|---|---|---|---|
| Esencial | Condición II: laterales distintos | No | No |
| Evitable | Condición I o III | Sí | Sí (redefiniendo \( f(a) = L \)) |
Elvira
El nombre "evitable" puede confundir. No significa que sea menos importante: la función tal como está definida sigue siendo discontinua. Solo quiere decir que existe la posibilidad matemática de corregirla.
Muchas funciones son continuas por su propia naturaleza. Conocer esto permite determinar continuidad sin analizar cada punto por separado.
Principio de continuidad compuesta: suma, diferencia, producto y cociente (con denominador no nulo) de funciones continuas es continua. Esto permite analizar funciones complejas descomponiéndolas en partes conocidas.
Ejemplo — Función con irracional y racional
$$ f(x) = \frac{\sqrt[3]{x+1}}{x^2 - 1} $$El denominador se anula en \( x = \pm 1 \), entonces:
$$\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{1,\; {-1}\}$$El numerador es irracional de índice impar: continua en \( \mathbb{R} \). El denominador es polinómica. Como es cociente con denominador \( \neq 0 \) en su dominio:
\( f \) es continua en \( \mathbb{R} - \{1,\; {-1}\} \)
Ejemplo — Función con logaritmo
$$ f(x) = \frac{x}{\ln(x) - 1} $$Necesitamos \( x > 0 \) y \( \ln(x) - 1 \neq 0 \):
$$\ln(x) = 1 \iff x = e$$Por lo tanto:
$$\text{Dom}\, f = (0,\; e) \cup (e,\; +\infty)$$\( f \) es continua en su dominio por ser cociente de funciones continuas con denominador \( \neq 0 \) en ese conjunto:
\( f \) es continua en \( (0,\; e) \cup (e,\; +\infty) \)
Gema
Para determinar dónde es continua una función compleja, primero encontrá su dominio y después aplicá el principio de continuidad compuesta. Si el denominador no se anula en el dominio, la función es continua en todo ese conjunto.
Ejemplo 1 — Discontinuidad esencial y evitable en la misma función
Analizá la continuidad de la siguiente función en \( x = -2 \) y en \( x = 4 \):
$$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{(x+3)^2} & \text{si } x < -2 \\[8pt] 2x - 5 & \text{si } {-2} \leq x < 4 \\[8pt] \log_2(x-3) + 3 & \text{si } x \geq 4 \end{cases} $$Análisis en \( x = -2 \):
En \( x = -2 \) aplica el tramo \( 2x-5 \) (condición \( -2 \leq x < 4 \)):
$$ f(-2) = 2(-2) - 5 = -9 $$Existe. \( f(-2) = -9 \).
Como \( 1 \neq -9 \), los laterales son distintos:
$$\nexists \lim_{x \to -2} f(x)$$La condición II falla. \( f \) es discontinua esencial en \( x = -2 \).
Análisis en \( x = 4 \):
En \( x = 4 \) aplica el tramo \( \log_2(x-3)+3 \) (condición \( x \geq 4 \)):
$$ f(4) = \log_2(4-3) + 3 = \log_2(1) + 3 = 3 $$Existe. \( f(4) = 3 \).
Los laterales coinciden:
$$\lim_{x \to 4} f(x) = 3$$Conclusión: \( f \) es discontinua esencial en \( x = -2 \) y continua en \( x = 4 \).
Ejemplo 2 — Función racional con múltiples discontinuidades
Analizá la continuidad de:
$$ f(x) = \frac{x-1}{x(x^2-1)} $$El denominador se anula cuando \( x(x^2-1) = 0 \):
$$ x(x-1)(x+1) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 $$ $$\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{0,\; 1,\; {-1}\}$$En esos tres valores la condición I falla: \( f \) es discontinua en cada uno.
El límite es infinito: discontinuidad esencial en \( x = 0 \).
El límite es infinito: discontinuidad esencial en \( x = -1 \)
Factorizamos y simplificamos:
$$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$El límite existe y es finito: discontinuidad evitable en \( x = 1 \)
Conclusión: discontinuidades esenciales en \( x = 0 \) y \( x = -1 \); evitable en \( x = 1 \) (límite \( = \tfrac{1}{2} \), pero \( f(1) \) no existe).
Elvira
Cuando el límite da forma \( \tfrac{0}{0} \), siempre intentá factorizar y simplificar. Si después de simplificar el límite existe y es finito, la discontinuidad es evitable. Si el denominador sigue siendo cero, es esencial.
Estrategia: para que \( f \) sea continua en \( x = c \), igualamos los límites laterales (condición II) y al valor de la función (condición III). Eso genera una ecuación en el parámetro que se resuelve.
Ejemplo 1 — Hallar \( a \) para que \( f \) sea continua en \( x = -1 \)
$$ f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{si } x < -1 \\[8pt] 2 - \dfrac{9}{x - a} & \text{si } x \geq -1 \end{cases} $$Para \( x = -1 \) aplica el tramo inferior, con \( a \neq -1 \):
$$ f(-1) = 2 - \frac{9}{-1 - a} $$Para que exista el límite, los laterales deben coincidir:
$$2 - \frac{9}{-1-a} = 3$$Ejemplo 2 — Límite notable con parámetro
$$ f(x) = \begin{cases} (1+3x)^{1/x} & \text{si } x < 0 \\[8pt] e^{x+a} & \text{si } x \geq 0 \end{cases} $$Hallá \( a \) para que \( f \) sea continua en \( x = 0 \).
Cambio de variable: sea \( t = 3x \). Cuando \( x \to 0 \), \( t \to 0 \) y \( x = t/3 \):
$$\lim_{x \to 0^-} (1+3x)^{1/x} = \lim_{t \to 0^-} (1+t)^{3/t} = \lim_{t \to 0^-} \left[(1+t)^{1/t}\right]^3 = e^3$$Usamos el límite fundamental \( \lim_{t \to 0} (1+t)^{1/t} = e \).
Elvira y Gema
En los problemas con parámetros, el objetivo es siempre el mismo: igualás los límites laterales y usás eso para encontrar el valor buscado. Después verificás que la condición III también se cumpla. No olvides chequear que el parámetro encontrado no genere un denominador nulo u otro problema en la función.
El denominador \( 2 - 2 = 0 \). No existe \( f(2) \). La condición I falla.
El límite existe y es finito.
Conclusión: discontinuidad evitable en \( x = 2 \). El límite existe (\( = 4 \)) pero \( f(2) \) no está definido.
Conclusión: \( f \) es continua en \( x = 1 \).
Factorizamos \( x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) \) y \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \):
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{\operatorname{sen}(3(x-1))}{(x-1)(x+3)} + \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}$$ $$= \lim_{x \to 1^+} \frac{3\operatorname{sen}(3(x-1))}{3(x-1)(x+3)} + \lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x+3} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$$\( \sqrt{x+2} \) es irracional de índice par: requiere \( x+2 \geq 0 \), es decir \( x \geq -2 \).
\( x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0 \) en \( x = 3 \) y \( x = -2 \). Se excluyen ambos.
Conclusión: \( f \) es continua en \( (-2,\; 3) \cup (3,\; +\infty) \), por ser cociente de funciones continuas con denominador no nulo en ese conjunto.
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