En esta unidad trabajamos con dos teoremas fundamentales que se apoyan en la continuidad de una función en un intervalo cerrado. Ambos nos permiten garantizar la existencia de ciertos valores sin necesidad de calcularlos explícitamente.
Teorema de Bolzano: si una función continua en \([a,b]\) cambia de signo en los extremos, entonces necesariamente cruza el eje \(x\) en algún punto intermedio.
Teorema de Valor Intermedio (TVI): si una función continua en \([a,b]\) toma dos valores distintos, entonces toma todos los valores intermedios entre ellos.
Gema
¡Pensalo así! Bolzano dice: "si arrancás arriba del eje \(x\) y terminás abajo (o al revés), en algún momento lo cruzaste". El TVI generaliza eso a cualquier valor intermedio, no solo el cero.
El Teorema de Bolzano nos permite afirmar la existencia de al menos una raíz de una función en un intervalo dado, sin calcularla.
Enunciado formal
Sea \(f\) una función continua en el intervalo cerrado \([a, b]\).
Esto significa que \(f\) no tiene saltos, agujeros ni asíntotas verticales en todo \([a,b]\). La función se puede dibujar "sin levantar el lápiz".
\(f(a) \cdot f(b) < 0\), es decir, \(\text{signo}(f(a)) \neq \text{signo}(f(b))\).
Un extremo da positivo y el otro negativo. Equivale a decir que la función "está de un lado y del otro" del eje \(x\).
Entonces existe al menos un \(c \in (a, b)\) tal que \(f(c) = 0\).
Es decir, hay al menos una raíz en el intervalo abierto \((a,b)\). El teorema no dice cuántas ni dónde exactamente, solo que existe.
Elvira
Traducido: si la función es continua y "pasa de positivo a negativo" (o al revés), entonces en algún punto del medio vale cero. Ojo: ambas hipótesis son necesarias. Si falta alguna, no podés afirmar nada.
¿Por qué importa cada hipótesis?
Sin H₁ (continuidad): la función podría "saltar" de positivo a negativo sin pasar por cero. Pensá en una función con una discontinuidad de salto en el intervalo.
Sin H₂ (cambio de signo): si \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen el mismo signo, la función puede o no tener raíces, pero el teorema no te lo garantiza.
Determinar si \(f(x) = -\sqrt{5-x} + 2\) tiene raíz en \([-4, 5]\).
Como \(f(-4) \cdot f(5) = (-1)(2) = -2 < 0\), se cumple H₂. ✓
Efectivamente, \(c = 1 \in (-4, 5)\). ✓
Gema
Acordate: para verificar H₂ solo necesitás evaluar en los extremos y ver que tengan distinto signo. No hace falta calcular toda la función.
Demostrar que las funciones \(h_1(x) = x^3 + 5x^2\) y \(h_2(x) = 2^x + x\) se intersectan en el intervalo \((0, 1)\).
Defino: \(f(x) = h_1(x) - h_2(x) = x^3 + 5x^2 - 2^x - x\)
\(f(0) \cdot f(1) = (-1)(3) = -3 < 0\). ✓
Las funciones se intersectan en al menos un punto del intervalo \((0, 1)\).
Elvira
Clave del ejemplo 2: cuando te piden demostrar intersección, el truco es definir \(f = h_1 - h_2\) y buscar una raíz de \(f\). Raíz de \(f\) = punto de intersección de \(h_1\) y \(h_2\).
El TVI es la generalización del Teorema de Bolzano. Ya no buscamos solo raíces (donde \(f = 0\)), sino cualquier valor \(d\) que esté entre las imágenes de los extremos.
Enunciado formal
Sea \(f\) una función continua en el intervalo cerrado \([a, b]\).
\(f(a) \neq f(b)\), lo que genera un intervalo de imágenes \(I = [f(a),\, f(b)]\) (o \([f(b),\, f(a)]\) si \(f(b) < f(a)\)).
Acá no importa el signo: solo que las imágenes en los extremos sean diferentes. Esto define una "franja horizontal" en el plano.
Para todo \(d \in I\), existe al menos un \(c \in (a, b)\) tal que \(f(c) = d\).
Cualquier valor \(d\) que esté en la franja entre \(f(a)\) y \(f(b)\) es alcanzado por la función en algún punto interior del intervalo.
Gema
Pensalo como un ascensor: si subiste del piso 2 al 32 sin teletransportarte (= continuidad), entonces pasaste por todos los pisos intermedios. Si alguien te pregunta "¿pasaste por el piso 15?", la respuesta es sí seguro.
Atención con H₂
En el TVI, la hipótesis H₂ pide \(f(a) \neq f(b)\). Esto genera el intervalo \(I = [\min\{f(a), f(b)\},\; \max\{f(a), f(b)\}]\).
El valor \(d\) que buscás debe pertenecer a ese intervalo. Si \(d \notin I\), el teorema no te permite concluir nada.
Elvira
Ojo: si \(d \notin [f(a), f(b)]\), no significa que \(f\) no alcance ese valor. Solo significa que el teorema no te lo garantiza. No podés afirmar nada con el TVI en ese caso.
Sea \(f(x) = x^5 - x^2 + 4\). Determinar si existen \(c\) tales que \(f(c) = -1\) y \(f(c) = 4\) en \([-1, 2]\).
Como \(f(-1) = 2 \neq 32 = f(2)\), se genera \(I = [2,\, 32]\). ✓
Gema
¡Mirá la diferencia! Para \(d = -1\) no se puede concluir (está fuera del rango), pero para \(d = 4\) sí. Todo depende de que \(d\) caiga dentro del intervalo \(I\) de imágenes.
Demostrar que la ecuación \(x \cdot \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + 15 \cdot \sin(x) = 15\) tiene al menos una solución.
Busco \(c\) tal que \(f(c) = 15\) (es decir, \(d = 15\)).
\(f(0) \neq f(\pi/2)\), así que \(I = [0;\, 16{,}11]\). ✓
La ecuación tiene al menos una solución en \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\).
Elvira
Patrón clave: cuando te dan una ecuación del tipo "\(g(x) = k\)" y te piden demostrar que tiene solución, definí \(f(x) = g(x)\), buscá un intervalo \([a,b]\) donde \(k \in [f(a), f(b)]\) y aplicá TVI. Es la misma idea que Bolzano pero con \(d = k\) en vez de \(d = 0\).
❌ Olvidar verificar continuidad.
Muchos alumnos saltan directo a evaluar \(f(a)\) y \(f(b)\) sin verificar que la función sea continua en \([a,b]\). Si la función tiene una discontinuidad (por ej. una asíntota vertical), el teorema no aplica.
❌ Confundir "no puedo afirmar" con "no existe".
Si en Bolzano \(f(a) \cdot f(b) > 0\), o en TVI \(d \notin I\), eso no significa que no haya raíz o que \(f\) no alcance \(d\). Solo significa que con este teorema no podés demostrarlo.
❌ Aplicar Bolzano/TVI en intervalo abierto.
Los teoremas exigen continuidad en \([a,b]\) cerrado. Si la función no está definida o no es continua en los extremos, no podés aplicar el teorema en ese intervalo.
❌ En TVI: no verificar que \(d \in I\).
El valor \(d\) debe estar entre \(f(a)\) y \(f(b)\). Si escribís la conclusión sin verificar esto, la demostración es incorrecta.
❌ Decir que Bolzano "encuentra" la raíz.
Bolzano y TVI son teoremas de existencia: garantizan que existe un \(c\), pero no te dicen cuál es ni cómo calcularlo.
Gema
El error más común en exámenes: verificar H₂ correctamente pero olvidarse de H₁. Siempre empezá por la continuidad. Es lo primero que tu profe va a mirar. 😉
Para el Teorema de Bolzano
Para el Teorema de Valor Intermedio
Demostrar que \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) tiene al menos una raíz en \([0, 1]\).
Probar que las funciones \(g(x) = e^x\) y \(h(x) = 3 - x^2\) se intersectan en \((0,1)\).
Sea \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\). ¿Puede asegurarse que existe \(c \in (-1, 2)\) tal que \(f(c) = 5\)?
Demostrar que la ecuación \(\cos(x) + x = 2\) tiene al menos una solución en \((0, \pi)\).
Sea \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\). Un alumno intenta aplicar Bolzano en \([1, 3]\) argumentando que \(f(1) = -1\) y \(f(3) = 1\), con lo cual \(f(1) \cdot f(3) < 0\). ¿Es correcto su razonamiento? Justificá.