Análisis Completo de Funciones

01 · Método

Estrategia paso a paso

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El análisis completo de una función consiste en estudiar su comportamiento de forma sistemática usando derivadas. El objetivo es poder trazar un gráfico aproximado y entender qué hace la función en cada zona de su dominio.

Gema

Seguir el orden de los pasos te ahorra tiempo y errores. Una vez que lo automatizas, el análisis completo fluye solo.

Los 9 pasos del análisis completo

Dominio de la función — registrar los Puntos Problema (P.P.)

Determiná el conjunto de valores de $ x $ para los cuales la función está definida. Los puntos que quedan excluidos son los Puntos Problema: denominadores nulos, raíces de negativos, logaritmos de no-positivos, etc.

Ejemplo: si $ f(x) = \dfrac{1}{x^2-1} $, entonces $ x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 $, por lo que $ \text{Dom}f = \mathbb{R} - \{-1, 1\} $.

Intersecciones con los ejes (si es posible)

Con el eje $ y $: evaluar $ f(0) $ si $ 0 \in \text{Dom}f $.

Con el eje $ x $: resolver $ f(x) = 0 $. No siempre es posible hacerlo analíticamente.

Asíntotas (si se piden)

Asíntotas Verticales (A.V.): Se buscan en los Puntos Problema. Para cada P.P. $ x_0 $, calcular $ \lim_{x \to x_0^+} f(x) $ y $ \lim_{x \to x_0^-} f(x) $. Si alguno es $ \pm\infty $, hay A.V. en $ x = x_0 $.

Asíntotas Horizontales (A.H.): Calcular $ \lim_{x \to +\infty} f(x) $ y $ \lim_{x \to -\infty} f(x) $. Si el límite es un número $ L $, entonces $ y = L $ es A.H.

Hallar la primera derivada $ f'(x) $

Derivar usando las reglas que correspondan: producto, cociente, cadena, etc. Simplificar lo más posible antes de continuar.

Buscar los Puntos Críticos (P.C.) — candidatos a extremos relativos

Los Puntos Críticos son aquellos $ x_0 \in \text{Dom}f $ tales que $ f'(x_0) = 0 $ o $ \nexists\, f'(x_0) $ con $ x_0 \in \text{Dom}f $.

$$ f'(x_0) = 0 \quad \lor \quad \nexists\, f'(x_0),\; x_0 \in \text{Dom}f $$

Tabla de crecimiento y decrecimiento (criterio de la 1.ª derivada)

Particioná el $ \text{Dom}f $ con los P.C. y los P.P. como separadores. En cada intervalo, analizar el signo de $ f'(x) $:

$ f'(x) > 0 \;\Rightarrow\; f(x) $ crece.

$ f'(x) < 0 \;\Rightarrow\; f(x) $ decrece.

Si en un P.C. $ f' $ cambia de $ + $ a $ - $: máximo relativo

Si en un P.C. $ f' $ cambia de $ - $ a $ + $: mínimo relativo

Hallar $ f''(x) $ para buscar los Posibles Puntos de Inflexión (P.P.I.)

Derivar $ f'(x) $ para obtener $ f''(x) $. Los P.P.I. son los $ x_0 \in \text{Dom}f $ tales que:

$$ f''(x_0) = 0 \quad \lor \quad \nexists\, f''(x_0),\; x_0 \in \text{Dom}f $$

Un P.P.I. es un Punto de Inflexión real si $ f'' $ efectivamente cambia de signo en ese punto.

Tabla de concavidad (criterio de la 2.ª derivada)

Particioná el $ \text{Dom}f $ con los P.P.I. y los P.P. En cada intervalo, analizar el signo de $ f''(x) $:

$ f''(x) > 0 \;\Rightarrow\; f(x) $ es cóncava hacia arriba $ \cup $ (convexa).

$ f''(x) < 0 \;\Rightarrow\; f(x) $ es cóncava hacia abajo $ \cap $ (cóncava).

Graficar (si se pide)

Con toda la información recabada, trazar un gráfico aproximado ubicando: asíntotas, intersecciones con los ejes, extremos relativos, puntos de inflexión y el comportamiento general de la curva.

Resumen esquematico:

Dom $\to$ Asíntotas $\to$ $f'(x)$ $\to$ Tabla de crecimiento $\to$ $f''(x)$ $\to$ Tabla de concavidad $\to$ Gráfico.

02 · Ejemplo

Función polinómica

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Analizar completamente: $ f(x) = x^3 + 3x^2 + 1 $

Dominio

Al ser polinómica, $ f $ está definida para todo $ x \in \mathbb{R} $.

$$ \text{Dom}f = \mathbb{R} \quad \Rightarrow \quad \text{No hay Puntos Problema} $$

No existen asíntotas verticales.

Intersecciones con los ejes

Eje $ y $: $ f(0) = 1 $ → punto $ (0,\, 1) $.

Eje $ x $: $ x^3 + 3x^2 + 1 = 0 $. No tiene solución exacta sencilla, la omitiremos por ahora.

Primera derivada $$ f'(x) = 3x^2 + 6x $$

Puntos Críticos $$ f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; 3x^2 + 6x = 0 \;\Rightarrow\; 3x(x + 2) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \lor \quad x = -2 $$

P.C. = $ \{-2,\; 0\} $ → son posibles extremos relativos.

Tabla de crecimiento y decrecimiento

Intervalos	$ (-\infty,\,-2) $	$ -2 $	$ (-2,\,0) $	$ 0 $	$ (0,\,+\infty) $
$ f'(x) = 3x(x+2) $	+	0	−	0	+
$ f(x) $	↗	$ 5 $	↘	$ 1 $	↗
	Crece	Máx. Rel.	Decrece	Mín. Rel.	Crece

Máximo relativo en $ (-2,\; 5) $

Mínimo relativo en $ (0,\; 1) $

Elvira

Siempre evalua $ f $ en los puntos criticos para saber la altura del extremo. No alcanza con saber donde esta, hay que saber cuanto vale.

Segunda derivada — P.P.I. $$ f''(x) = 6x + 6 $$ $$ f''(x) = 0 \;\Rightarrow\; 6x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; x = -1 \quad \Rightarrow \quad \text{P.P.I.} $$

Tabla de concavidad

Intervalos	$ (-\infty,\,-1) $	$ -1 $	$ (-1,\,+\infty) $
$ f''(x) = 6x+6 $	−	0	+
$ f(x) $	∩	$ 3 $	∪
	Cóncava hacia abajo	Punto Inf.	Cóncava hacia arriba

Punto de Inflexión en $ (-1,\; 3) $.

Gráfico aproximado: $ f(x) = x^3 + 3x^2 + 1 $

03 · Ejemplo

Función racional

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Analizar completamente: $ f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1} $

Dominio

El denominador se anula cuando $ x^2 - 1 = 0 \Rightarrow |x| = 1 $, es decir $ x_1 = 1 $ y $ x_2 = -1 $.

$$ \text{Dom}f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 1 \neq 0 \} = \mathbb{R} - \{-1,\; 1\} $$

P.P. = $ \{-1,\; 1\} $ → posibles A.V.

Intersecciones con los ejes

Eje $ y $: $ f(0) = \dfrac{0+1}{0-1} = -1 $ → punto $ (0,\,-1) $.

Eje $ x $: $ x^2 + 1 = 0 $ no tiene solución real. No hay intersección con el eje $ x $.

Asíntotas verticales

Analizamos los límites en los P.P.:

$$ \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(-2)(0^+)} = -\infty $$ $$ \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{(-2)(0^-)} = +\infty \quad \Rightarrow \quad \textbf{A.V. en } x = -1 $$ $$ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{(0^+)(2)} = +\infty $$ $$ \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{(0^-)(2)} = -\infty \quad \Rightarrow \quad \textbf{A.V. en } x = 1 $$

Asíntotas horizontales:

$$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 - \frac{1}{x^2})} = 1 \quad \Rightarrow \quad \textbf{A.H. } y = 1 $$

Primera derivada $$ f'(x) = \frac{2x\,(x^2-1) - (x^2+1)\,2x}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2} $$

Puntos Críticos $$ f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{-4x}{(x^2-1)^2} = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 $$

P.C. = $ \{0\} $. Los puntos $ x = \pm 1 $ son P.P. y no pertenecen al dominio.

Tabla de crecimiento y decrecimiento

Intervalos	$ (-\infty,\!-1) $	$ -1 $	$ (-1,\,0) $	$ 0 $	$ (0,\,1) $	$ 1 $	$ (1,\!+\infty) $
$ f'(x)=\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2} $	+	P.P.	+	0	−	P.P.	−
$ f(x) $	↗	∄	↗	$ -1 $	↘	∄	↘
	Crece	A.V.	Crece	Máx. Rel.	Decrece	A.V.	Decrece

Máximo relativo en $ (0,\;-1) $.

Gema

En funciones racionales, los Puntos Problema separan la recta real en ramas independientes. Cada rama se analiza por separado en las tablas.

Segunda derivada — P.P.I. $$ f''(x) = \frac{-4\,(x^2-1)^2 - (-4x)\,\cdot\,2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4} $$ $$ f''(x) = \frac{(x^2-1)[-4(x^2-1) + 16x^2]}{(x^2-1)^4} = \frac{-4x^2+4+16x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3} $$

El numerador $ 12x^2 + 4 > 0 $ para todo $ x $. Por lo tanto $ f''(x) \neq 0 $ para todo $ x \in \text{Dom}f $.

No hay Puntos de Inflexión.

Tabla de concavidad

Intervalos	$ (-\infty,\,-1) $	$ -1 $	$ (-1,\,1) $	$ 1 $	$ (1,\,+\infty) $
$ f''(x)=\dfrac{12x^2+4}{(x^2-1)^3} $	+	P.P.	−	P.P.	+
$ f(x) $	∪	∄	∩	∄	∪
	Cóncava arriba	A.V.	Cóncava abajo	A.V.	Cóncava arriba

Gráfico aproximado: $ f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1} $

04 · Ejemplo

Exponencial por polinomio

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Analizar completamente: $ f(x) = (x^2 - 2x + 1)\,e^x $

Dominio

El polinomio y la exponencial están definidos para todo $ x \in \mathbb{R} $. No hay P.P.

$$ \text{Dom}f = \mathbb{R} \quad \Rightarrow \quad \text{No hay A.V.} $$

Intersecciones con los ejes y asíntotas horizontales

Eje $ y $: $ f(0) = (0-0+1)\,e^0 = 1 $ → punto $ (0,\,1) $.

Eje $ x $: $ (x-1)^2 e^x = 0 \Rightarrow x = 1 $ (doble).

Asíntotas horizontales:

$$ \lim_{x \to +\infty} (x^2-2x+1)\,e^x = +\infty \quad \text{(no hay A.H. a la derecha)} $$ $$ \lim_{x \to -\infty} (x^2-2x+1)\,e^x = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-2x+1}{e^{-x}} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{2x-2}{-e^{-x}} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{e^{-x}} = 0 $$ $$ \Rightarrow \quad \textbf{A.H.I.:}\; y = 0 $$

Primera derivada $$ f'(x) = (2x-2)\,e^x + (x^2-2x+1)\,e^x = e^x\,[(2x-2)+(x^2-2x+1)] $$ $$ f'(x) = e^x\,(x^2-1) = e^x\,(x-1)(x+1) $$

Puntos Críticos $$ f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; e^x(x-1)(x+1) = 0 $$

Como $ e^x > 0 $ para todo $ x $:

$$ (x-1)(x+1) = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \quad \lor \quad x = -1 $$

P.C. = $ \{-1,\; 1\} $

Tabla de crecimiento y decrecimiento

Intervalos	$ (-\infty,\,-1) $	$ -1 $	$ (-1,\,1) $	$ 1 $	$ (1,\,+\infty) $
$ f'(x)=e^x(x^2-1) $	+	0	−	0	+
$ f(x) $	↗	$ \frac{4}{e} $	↘	$ 0 $	↗
	Crece	Máx. Rel.	Decrece	Mín. Rel.	Crece

Máximo relativo en $ (-1,\;\dfrac{4}{e}) $

Mínimo relativo en $ (1,\; 0) $

Segunda derivada — P.P.I. $$ f''(x) = e^x(x^2-1) + e^x \cdot 2x = e^x(x^2+2x-1) $$ $$ f''(x) = 0 \;\Rightarrow\; x^2 + 2x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$ $$ x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0{,}41 \qquad x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2{,}41 $$

Ambos son P.P.I. → verificar cambio de signo de $ f'' $.

Tabla de concavidad

Intervalos	$ (-\infty,\,x_2) $	$ x_2 $	$ (x_2,\,x_1) $	$ x_1 $	$ (x_1,\,+\infty) $
$ f''(x)=e^x(x^2+2x-1) $	+	0	−	0	+
$ f(x) $	∪	P.I.	∩	P.I.	∪
	Convexa	Punto Inf.	Cóncava	Punto Inf.	Convexa

Elvira

Cuando resolvés $ f''(x) = 0 $ y obtenés raices irracionales, no olvides que igual tenes que verificar el cambio de signo en la tabla. El P.P.I. es candidato, pero el Punto de Inflexion real solo se confirma si el signo cambia efectivamente.

Gráfico aproximado: $ f(x) = (x^2 - 2x + 1)\,e^x $

05 · Práctica

Ejercicios para resolver

▼

Gema y Elvira

En cada ejercicio, las soluciones muestran solo el dominio y las tablas de primera y segunda derivada. Intentalo completo vos primero.

En cada ejercicio se incluye en la solucion: dominio, tabla de 1.ª derivada y tabla de 2.ª derivada.

1. Realizar el analisis completo de $ f(x) = (x-2)\,e^x $ ▼

Dominio: $ \text{Dom}f = \mathbb{R} $ (no hay P.P. ni A.V.)

Asintota horizontal: $ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x-2)e^x = 0 \Rightarrow $ A.H.I.: $ y = 0 $

Tabla de crecimiento $ f'(x) = (x-1)\,e^x $

Intervalos	$ (-\infty,\,1) $	$ 1 $	$ (1,\,+\infty) $
$ f'(x) $	−	0	+
$ f(x) $	↘	$ -e $	↗
	Decrece	Mín. Rel.	Crece

Tabla de concavidad $ f''(x) = x\,e^x $

Intervalos	$ (-\infty,\,0) $	$ 0 $	$ (0,\,+\infty) $
$ f''(x) $	−	0	+
$ f(x) $	∩	$ -2 $	∪
	Cóncava abajo	Punto Inf.	Cóncava arriba

2. Realizar el analisis completo de $ \displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1} $ ▼

Dominio: $ x^2 + 1 > 0 $ para todo $ x \Rightarrow \text{Dom}f = \mathbb{R} $. No hay P.P. ni A.V.

Asintota horizontal: $ \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2+1} = 0 \Rightarrow $ A.H.: $ y = 0 $

Tabla de crecimiento

$ f'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2} $, P.C.: $ x = \pm 1 $

Intervalos	$ (-\infty,\,-1) $	$ -1 $	$ (-1,\,1) $	$ 1 $	$ (1,\,+\infty) $
$ f'(x) $	−	0	+	0	−
$ f(x) $	↘	$ - frac{1}{2} $	↗	$ frac{1}{2} $	↘
	Decrece	Mín. Rel.	Crece	Máx. Rel.	Decrece

Tabla de concavidad

$ f''(x) = \dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} $, P.P.I.: $ x = 0,\; x = \pm\sqrt{3} $

Intervalos	$ (-\infty,\!-\!\sqrt{3}) $	$ {-\sqrt{3}} $	$ (-\!\sqrt{3},\,0) $	$ 0 $	$ (0,\,\sqrt{3}) $	$ \sqrt{3} $	$ (\sqrt{3},\!+\!\infty) $
$ f''(x) $	−	0	+	0	−	0	+
$ f(x) $	∩	P.I.	∪	P.I.	∩	P.I.	∪

3. Realizar el analisis completo de $ f(x) = x^4 - 8x^2 + 3 $ ▼

Dominio: $ \text{Dom}f = \mathbb{R} $ (polinómica). No hay A.V. ni A.H.

Tabla de crecimiento

$ f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2-4) = 4x(x-2)(x+2) $, P.C.: $ x \in \{-2,\,0,\,2\} $

Intervalos	$ (-\infty,\!-2) $	$ -2 $	$ (-2,\,0) $	$ 0 $	$ (0,\,2) $	$ 2 $	$ (2,\!+\infty) $
$ f'(x) $	−	0	+	0	−	0	+
$ f(x) $	↘	$ -13 $	↗	$ 3 $	↘	$ -13 $	↗
	Decrece	Mín. Rel.	Crece	Máx. Rel.	Decrece	Mín. Rel.	Crece

Tabla de concavidad

$ f''(x) = 12x^2 - 16 $, P.P.I.: $ x = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $

Intervalos	$ \bigl(-\infty,\,-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr) $	$ -\dfrac{2}{\sqrt{3}} $	$ \bigl(-\dfrac{2}{\sqrt{3}},\,\dfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr) $	$ \dfrac{2}{\sqrt{3}} $	$ \bigl(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\,+\infty\bigr) $
$ f''(x) $	+	0	−	0	+
$ f(x) $	∪	P.I.	∩	P.I.	∪
	Convexa	Punto Inf.	Cóncava	Punto Inf.	Convexa

Intervalos	\( (-\infty,\,-2) \)	\( -2 \)	\( (-2,\,0) \)	\( 0 \)	\( (0,\,+\infty) \)
\( f'(x) = 3x(x+2) \)	+	0	−	0	+
\( f(x) \)	↗	\( 5 \)	↘	\( 1 \)	↗
	Crece	Máx. Rel.	Decrece	Mín. Rel.	Crece

Intervalos	\( (-\infty,\,-1) \)	\( -1 \)	\( (-1,\,+\infty) \)
\( f''(x) = 6x+6 \)	−	0	+
\( f(x) \)	∩	\( 3 \)	∪
	Cóncava hacia abajo	Punto Inf.	Cóncava hacia arriba

Intervalos	\( (-\infty,\!-1) \)	\( -1 \)	\( (-1,\,0) \)	\( 0 \)	\( (0,\,1) \)	\( 1 \)	\( (1,\!+\infty) \)
\( f'(x)=\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2} \)	+	P.P.	+	0	−	P.P.	−
\( f(x) \)	↗	∄	↗	\( -1 \)	↘	∄	↘
	Crece	A.V.	Crece	Máx. Rel.	Decrece	A.V.	Decrece

Intervalos	\( (-\infty,\,-1) \)	\( -1 \)	\( (-1,\,1) \)	\( 1 \)	\( (1,\,+\infty) \)
\( f''(x)=\dfrac{12x^2+4}{(x^2-1)^3} \)	+	P.P.	−	P.P.	+
\( f(x) \)	∪	∄	∩	∄	∪
	Cóncava arriba	A.V.	Cóncava abajo	A.V.	Cóncava arriba

Intervalos	\( (-\infty,\,-1) \)	\( -1 \)	\( (-1,\,1) \)	\( 1 \)	\( (1,\,+\infty) \)
\( f'(x)=e^x(x^2-1) \)	+	0	−	0	+
\( f(x) \)	↗	\( \frac{4}{e} \)	↘	\( 0 \)	↗
	Crece	Máx. Rel.	Decrece	Mín. Rel.	Crece

Intervalos	\( (-\infty,\,x_2) \)	\( x_2 \)	\( (x_2,\,x_1) \)	\( x_1 \)	\( (x_1,\,+\infty) \)
\( f''(x)=e^x(x^2+2x-1) \)	+	0	−	0	+
\( f(x) \)	∪	P.I.	∩	P.I.	∪
	Convexa	Punto Inf.	Cóncava	Punto Inf.	Convexa

Intervalos	\( (-\infty,\,1) \)	\( 1 \)	\( (1,\,+\infty) \)
\( f'(x) \)	−	0	+
\( f(x) \)	↘	\( -e \)	↗
	Decrece	Mín. Rel.	Crece

Intervalos	\( (-\infty,\,0) \)	\( 0 \)	\( (0,\,+\infty) \)
\( f''(x) \)	−	0	+
\( f(x) \)	∩	\( -2 \)	∪
	Cóncava abajo	Punto Inf.	Cóncava arriba

Intervalos	\( (-\infty,\,-1) \)	\( -1 \)	\( (-1,\,1) \)	\( 1 \)	\( (1,\,+\infty) \)
\( f'(x) \)	−	0	+	0	−
\( f(x) \)	↘	\( - frac{1}{2} \)	↗	\( frac{1}{2} \)	↘
	Decrece	Mín. Rel.	Crece	Máx. Rel.	Decrece

Intervalos	\( (-\infty,\!-2) \)	\( -2 \)	\( (-2,\,0) \)	\( 0 \)	\( (0,\,2) \)	\( 2 \)	\( (2,\!+\infty) \)
\( f'(x) \)	−	0	+	0	−	0	+
\( f(x) \)	↘	\( -13 \)	↗	\( 3 \)	↘	\( -13 \)	↗
	Decrece	Mín. Rel.	Crece	Máx. Rel.	Decrece	Mín. Rel.	Crece

Análisis Completo de Funciones

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