Polinomio de Taylor y McLaurin

01 · Concepto Aproximación Lineal ▼

Antes de hablar de Taylor, necesitamos entender su idea madre: la aproximación lineal. Y todo arranca con algo que ya conocés: la recta tangente.

La idea clave: Si tenés una función $ f(x) $ y la mirás en un entorno muy pequeño alrededor de un punto $ x = a $, la recta tangente en ese punto se parece muchísimo a la función. Tanto, que la podés usar como sustituto.

La ecuación de la recta tangente a $ f $ en el punto $ (a, f(a)) $ es:

$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Esta recta tangente recibe el nombre de aproximación lineal (o modelo lineal) de $ f $ en $ a $, y se escribe:

$$f(x) \approx f'(a)(x - a) + f(a) \qquad \text{para } x \text{ cerca de } a$$

En la zona cercana a $a$ (fondo amarillo), la recta tangente y la función son casi indistinguibles.

Elvira

La clave es el "cerca de a". Lejos del punto de tangencia la recta y la función se separan bastante. No es una fórmula mágica para todo $x$, sino una buena aproximación local.

Ejemplos de Aproximación Lineal

Ejemplo 1 Básico — Raíz cuadrada

Aproximar $ \sqrt{3{,}98} $ y $ \sqrt{4{,}05} $ usando la aproximación lineal de $ f(x) = \sqrt{x} $ en $ a = 4 $.

Paso 1 — Calcular f(a) y f'(a)

$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \implies f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $

$ f(4) = 2 \qquad f'(4) = \dfrac{1}{4} $

Paso 2 — Escribir la aproximación lineal

$ f(x) \approx f(4) + f'(4)(x-4) = 2 + \dfrac{1}{4}(x-4) = \dfrac{x}{4} + 1 $

Paso 3 — Aproximar los valores

$ \sqrt{3{,}98} \approx \dfrac{3{,}98}{4} + 1 = 1{,}995 $

$ \sqrt{4{,}05} \approx \dfrac{4{,}05}{4} + 1 = 2{,}0125 $

Calculadora: $\sqrt{3{,}98} \approx 1{,}99499\ldots$ y $\sqrt{4{,}05} \approx 2{,}01246\ldots$ — ¡excelente aproximación!

Ejemplo 2 Básico — Función exponencial

Aproximar $ e^{0{,}1} $ usando la aproximación lineal de $ f(x) = e^x $ en $ a = 0 $.

Desarrollo

$ f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x $

$ f(0) = 1 \qquad f'(0) = 1 $

$ e^x \approx 1 + x \quad \text{para } x \text{ cerca de } 0 $

$ e^{0{,}1} \approx 1 + 0{,}1 = 1{,}1 $

Valor exacto: $ e^{0{,}1} \approx 1{,}10517\ldots $ — la aproximación lineal ya da un buen resultado con poquísimo cálculo.

Ejemplo 3 Intermedio — Logaritmo natural

Aproximar $ \ln(1{,}05) $ usando la aproximación lineal de $ f(x) = \ln(x) $ en $ a = 1 $.

Desarrollo

$ f(x) = \ln(x) \implies f'(x) = \dfrac{1}{x} $

$ f(1) = 0 \qquad f'(1) = 1 $

$ \ln(x) \approx x - 1 \quad \text{para } x \text{ cerca de } 1 $

$ \ln(1{,}05) \approx 1{,}05 - 1 = 0{,}05 $

Valor exacto: $ \ln(1{,}05) \approx 0{,}04879\ldots $ — muy cerca. Esta aproximación $\ln(1+u) \approx u$ para $u$ pequeño es muy usada en física e ingeniería.

Gema

¡Fijate que en los 3 ejemplos elegimos un punto a donde la función es fácil de calcular ($a=4$, $a=0$, $a=1$) y el valor que queremos aproximar está cerca de ese punto. ¡Esa es la estrategia!

02 · Teoría Polinomio de Taylor ▼

La aproximación lineal es buena, pero ¿podríamos hacerlo mejor? Si una recta (grado 1) aproxima bien la función, ¿qué pasaría si usamos una parábola (grado 2), o un polinomio de grado 3, 4, ...?

La idea de Taylor: construir un polinomio $ P_m(x) $ de grado $m$ que, en el punto $x = a$, tenga el mismo valor y las mismas primeras $m$ derivadas que $ f(x) $. Cuanto mayor el grado, mejor la aproximación.

Polinomio de Taylor de grado $m$ para $f$ centrado en $a$:

$$P_m(x) = \sum_{k=0}^{m} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

Desarrollado término a término:

$$P_m(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(m)}(a)}{m!}(x-a)^m$$

Elvira

Traducción del $k$-ésimo término: tomar la derivada $k$-ésima de $f$ evaluada en $a$, dividirla por $k!$, y multiplicarla por $(x-a)^k$. ¡Eso es todo! La dificultad está en calcular las derivadas sucesivas.

03 · Ejemplos Ejemplos Resueltos ▼

Ejemplo A Básico — Construir P₂

Hallar el polinomio de Taylor de grado $m=2$ de $ f(x) = e^{x^{-2}} $ centrado en $ a = 1 $.

Paso 1 — Calcular derivadas

$ f'(x) = e^{x^{-2}} \cdot (-2x^{-3}) $

$ f''(x) = e^{x^{-2}} \cdot (-2x^{-3})^2 + e^{x^{-2}} \cdot (-6x^{-4}) = e^{x^{-2}}(4x^{-6} - 6x^{-4}) $

Paso 2 — Evaluar en $a=1$

$ f(1) = e^{1} = e $

$ f'(1) = e \cdot (-2) = -2e $

$ f''(1) = e \cdot (4 - 6) = -2e $

Paso 3 — Escribir P₂

$$\begin{aligned} P_2(x) &= f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 \\[6pt] &= e - 2e(x-1) - \frac{2e}{2}(x-1)^2 \\[6pt] &= e - 2e(x-1) - e(x-1)^2 \end{aligned}$$

Paso 4 — Simplificar

$$\begin{aligned} P_2(x) &= e - 2ex + 2e - e(x^2 - 2x + 1) \\[6pt] &= 3e - 2ex - ex^2 + 2ex - e \\[6pt] &= \boxed{2e - ex^2} \end{aligned}$$

Ejemplo B Intermedio — Construir P₃

Hallar el polinomio de Taylor de grado $m=3$ de $ f(x) = \ln(x^2+1) $ centrado en $ a = 2 $. Luego aproximar $f(1)$.

Paso 1 — Calcular f y sus derivadas hasta orden 3

$ f(x) = \ln(x^2+1) \implies f(2) = \ln 5 $

$ f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1} \implies f'(2) = \dfrac{4}{5} $

$ f''(x) = \dfrac{2(x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} \implies f''(2) = \dfrac{-6}{25} $

$ f'''(x) = \dfrac{4x^3 - 12x}{(x^2+1)^3} \implies f'''(2) = \dfrac{8}{125} $

Paso 2 — Escribir P₃

$$P_3(x) = \ln 5 + \frac{4}{5}(x-2) - \frac{6/25}{2}(x-2)^2 + \frac{8/125}{6}(x-2)^3$$ $$P_3(x) = \ln 5 + \frac{4}{5}(x-2) - \frac{3}{25}(x-2)^2 + \frac{4}{375}(x-2)^3$$

Paso 3 — Aproximar f(1) evaluando en x=1

$$P_3(1) = \ln 5 + \frac{4}{5}(-1) - \frac{3}{25}(-1)^2 + \frac{4}{375}(-1)^3$$ $$P_3(1) = \ln 5 - \frac{4}{5} - \frac{3}{25} - \frac{4}{375} \approx 0{,}0951$$

Valor exacto: $\ln(1^2+1) = \ln 2 \approx 0{,}6931$. Aquí la aproximación es menos precisa porque $x=1$ está relativamente alejado de $a=2$.

Gema

¡Tip pro! Si ya tenés el polinomio de Taylor armado, podés leer los valores de $f$, $f'$, $f''$, etc. en el punto $a$ directamente de sus coeficientes. No hace falta derivar desde cero. ¡Los siguientes 2 ejemplos van sobre esto!

Ejemplo C Intermedio — Leer el polinomio

Sea $ P(x) = 1 - 3(x-1) + 4(x-1)^2 $ el polinomio de Taylor de $ p(x) $ en $ a=1 $. Y sea $ h(x) = p(x^2 + e^x) $. Probar que $ h''(0) = -1 $.

Paso 1 — Leer p(1), p'(1), p''(1) del polinomio

Comparando con $ P(x) = p(a) + p'(a)(x-a) + \dfrac{p''(a)}{2!}(x-a)^2 $:

$ p(1) = 1 \qquad p'(1) = -3 \qquad \dfrac{p''(1)}{2!} = 4 \implies p''(1) = 8 $

Paso 2 — Calcular h(0) para saber dónde evalúa

$ h(0) = p(0^2 + e^0) = p(0 + 1) = p(1) = 1 $

Paso 3 — Calcular h'(x) por regla de la cadena

$ h'(x) = p'(x^2 + e^x) \cdot (2x + e^x) $

$ h'(0) = p'(0+1) \cdot (0 + 1) = p'(1) \cdot 1 = -3 $

Paso 4 — Calcular h''(x)

$$h''(x) = p''(x^2+e^x) \cdot (2x+e^x)^2 + p'(x^2+e^x) \cdot (2+e^x)$$ $$h''(0) = p''(1) \cdot (1)^2 + p'(1) \cdot (2+1)$$ $$h''(0) = 8 \cdot 1 + (-3) \cdot 3 = 8 - 9 = \boxed{-1}$$

Ejemplo D Avanzado — Extremos de una función compuesta

Sea $ P(x) = 5 - 2(x+2) + 3(x+2)^2 $ el polinomio de Taylor de $ f(x) $ en $ a=-2 $. Sea:

$ g(x) = f(x^2-3x-2) + \sqrt[3]{4x-4} + \dfrac{17}{3}x $

Determinar si $ x=3 $ es un punto crítico de $ g $ y clasificarlo.

Paso 1 — Leer f(-2), f'(-2), f''(-2) del polinomio

$ f(-2) = 5 \qquad f'(-2) = -2 \qquad \dfrac{f''(-2)}{2!} = 3 \implies f''(-2) = 6 $

Paso 2 — Calcular g'(x)

$$g'(x) = f'(x^2-3x-2) \cdot (2x-3) + (4x-4)^{-2/3} \cdot \frac{4}{3} + \frac{17}{3}$$

Paso 3 — Evaluar g'(3): notar que $3^2-3\cdot3-2 = -2$

$$g'(3) = f'(-2) \cdot (6-3) + (8)^{-2/3} \cdot \frac{4}{3} + \frac{17}{3}$$ $$g'(3) = (-2)(3) + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} + \frac{17}{3} = -6 + \frac{1}{3} + \frac{17}{3} = -6 + 6 = 0$$

$ \implies x=3 $ es punto crítico. ✓

Paso 4 — Calcular g''(3) para clasificar

$$g''(x) = f''(x^2-3x-2)(2x-3)^2 + f'(x^2-3x-2) \cdot 2 + \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)(4x-4)^{-5/3} \cdot 4$$ $$g''(3) = f''(-2)(3)^2 + f'(-2) \cdot 2 - \frac{32}{9}(8)^{-5/3}$$ $$g''(3) = 6 \cdot 9 + (-2) \cdot 2 - \frac{32}{9} \cdot \frac{1}{32} = 54 - 4 - \frac{1}{9} \approx 49{,}89 > 0$$

$ g''(3) > 0 \implies $ Mínimo relativo de $ g $ en $ x=3 $. ✓

Elvira

Ojo con los Ejemplos C y D: la clave es que los coeficientes del polinomio ya tienen el $k!$ absorbido. Entonces $ p''(1) = 2! \times 4 = 8 $, no 4. ¡Ese es el error más común!

04 · Caso especial Polinomio de McLaurin ▼

Definición: Cuando el polinomio de Taylor está centrado en $ a = 0 $, se lo llama Polinomio de McLaurin: $$P_m(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \cdots + \frac{f^{(m)}(0)}{m!}\,x^m = \sum_{k=0}^{m} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k$$

No es un concepto nuevo: es exactamente Taylor con $a=0$. El nombre "McLaurin" simplemente recuerda que el centro de expansión es el origen.

Gema

McLaurin es como Taylor pero con $a=0$. Es más cómodo de calcular porque todos los $(x-a)^k$ se convierten en simplemente $x^k$. ¡Menos cuentas!

Ejemplo — McLaurin de grado 3

Construir $ P_3(x) $ centrado en $a=0$ de $ f(x) = \dfrac{1}{1-x} $:

Calcular derivadas y evaluar en 0

$ f(x) = (1-x)^{-1} \implies f(0) = 1 $

$ f'(x) = (1-x)^{-2} \implies f'(0) = 1 $

$ f''(x) = 2(1-x)^{-3} \implies f''(0) = 2 $

$ f'''(x) = 6(1-x)^{-4} \implies f'''(0) = 6 $

Armar P₃

$$P_3(x) = 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{6}{3!}x^3 = 1 + x + x^2 + x^3$$

¡Reconocés este resultado? Es la suma parcial de la serie geométrica: $ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $ para $|x| < 1$. McLaurin muestra de dónde viene esa fórmula.

Bonus: derivando el polinomio obtenemos directamente una aproximación de $ f'(x) = \dfrac{1}{(1-x)^2} $:

$$P_3'(x) = 1 + 2x + 3x^2 \approx \frac{1}{(1-x)^2}$$

05 · Cuidado Errores Típicos ▼

Elvira

Estos son los errores que más veo en los exámenes. Leélos con calma antes de ponerte a resolver.

Error 1 — Olvidar el $k!$ en el denominador

El coeficiente del término $(x-a)^k$ es $ \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!} $, NO $ f^{(k)}(a) $ solo. El factorial es obligatorio.

Error 2 — Leer mal los coeficientes al revés (dado el polinomio)

Si el polinomio dice $ \ldots + 4(x-a)^2 + \ldots $, entonces $ \dfrac{f''(a)}{2!} = 4 $, por lo que $ f''(a) = 8 $. Muchos calculan $ f''(a) = 4 $. ¡Multiplicá siempre por $k!$!

Error 3 — Usar la aproximación lejos del punto centro

Cuanto más alejado esté $x$ de $a$, peor es la aproximación. Siempre hay que elegir un $a$ cercano al valor que querés aproximar.

Error 4 — Confundir Taylor con McLaurin

McLaurin es solo un caso de Taylor con $a=0$. No son fórmulas distintas. En los exámenes, si no se especifica el centro, se asume $a=0$ (McLaurin).

Error 5 — No verificar si la función tiene todas las derivadas pedidas

Para construir $P_m$ la función debe ser $m$ veces derivable en $a$. Si no, el polinomio no existe.

Gema

Truco rápido para verificar: evaluá $P_m(a)$, debería darte $f(a)$. Luego derivá $P_m$ y evaluá en $a$, debería darte $f'(a)$. Si no coincide, hay un error en algún coeficiente.

06 · Práctica Ejercicios para Practicar ▼

Intentá resolver cada ejercicio antes de ver la respuesta. Tocá el botón para revelarla.

1. Hallar la aproximación lineal de $ f(x) = \cos(x) $ en $ a = 0 $ y usarla para aproximar $ \cos(0{,}1) $.

$ f'(x) = -\sin(x) \implies f(0)=1,\; f'(0)=0 $

$ \cos(x) \approx 1 $ para $x$ cerca de 0. Entonces $ \cos(0{,}1) \approx 1 $.

(Valor exacto: $0{,}99500\ldots$ — la apox. lineal no es muy precisa aquí porque $f'(0)=0$. Para esto conviene usar P₂.)

2. Hallar el polinomio de McLaurin de grado 3 de $ f(x) = \sin(x) $.

$ f'=\cos x,\; f''=-\sin x,\; f'''=-\cos x $

$ f(0)=0,\; f'(0)=1,\; f''(0)=0,\; f'''(0)=-1 $

$$P_3(x) = 0 + x + 0 - \frac{1}{6}x^3 = x - \frac{x^3}{6}$$

3. Hallar el polinomio de Taylor de grado 2 de $ f(x) = \sqrt{x} $ centrado en $ a = 9 $ y aproximar $ \sqrt{9{,}3} $.

$ f'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\; f''=-\frac{1}{4x^{3/2}} $

$ f(9)=3,\; f'(9)=\frac{1}{6},\; f''(9)=-\frac{1}{108} $

$$P_2(x) = 3 + \frac{1}{6}(x-9) - \frac{1}{216}(x-9)^2$$

$ \sqrt{9{,}3} \approx P_2(9{,}3) = 3 + \frac{0{,}3}{6} - \frac{0{,}09}{216} \approx 3{,}0499 $

4. Sea $ Q(x) = 2 + 5(x-3) - (x-3)^2 $ el polinomio de Taylor de $ h(x) $ en $ a=3 $. Encontrá $ h(3) $, $ h'(3) $ y $ h''(3) $.

Comparando con la forma estándar:

$ h(3) = 2 \qquad h'(3) = 5 \qquad \dfrac{h''(3)}{2!} = -1 \implies h''(3) = -2 $

5. Sea $ Q(x) = 2 + 5(x-3) - (x-3)^2 $ el polinomio de Taylor de $ h(x) $ en $ a=3 $. Sea $ k(x) = h(x^2) $. Hallar $ k''(\sqrt{3}) $.

Se usa $ h(3)=2,\; h'(3)=5,\; h''(3)=-2 $ del ejercicio anterior.

$ k'(x) = h'(x^2) \cdot 2x $

$ k''(x) = h''(x^2)(2x)^2 + h'(x^2) \cdot 2 $

Evaluar en $x = \sqrt{3}$ (donde $x^2 = 3$):

$$k''(\sqrt{3}) = h''(3) \cdot 12 + h'(3) \cdot 2 = (-2)(12) + (5)(2) = -24 + 10 = -14$$