Aproximación Lineal y Polinomio de Taylor

01 · Concepto

Aproximación Lineal

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Antes de hablar de Taylor, necesitamos entender su idea madre: la aproximación lineal. Todo arranca con algo que ya conocés: la recta tangente.

La idea clave: si tenés una función $f(x)$ y la mirás en un entorno muy pequeño alrededor de un punto $x = a$, la recta tangente en ese punto se parece muchísimo a la función. Tanto, que la podés usar como sustituto.

La ecuación de la recta tangente a $f$ en el punto $(a,\, f(a))$ es:

$$ y = f(a) + f'(a)(x - a) $$

Esta recta recibe el nombre de aproximación lineal (o modelo lineal) de $f$ en $a$, y se escribe:

$$ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) \qquad \text{para } x \text{ cerca de } a $$

En la zona cercana a $a$ (fondo amarillo), la recta tangente y la función son casi indistinguibles.

Elvira

La clave es el "cerca de a". Lejos del punto de tangencia la recta y la función se separan bastante. No es una fórmula mágica para todo $x$, sino una buena aproximación local.

Ejemplos de Aproximación Lineal

Ejemplo 1. Aproximar $\sqrt{3{,}98}$ y $\sqrt{4{,}05}$ usando la aproximación lineal de $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$.

1

Calcular f(a) y f'(a) $$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \implies f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ f(4) = 2 \qquad f'(4) = \dfrac{1}{4} $$

2

Escribir la aproximación lineal $$ f(x) \approx 2 + \dfrac{1}{4}(x-4) = \dfrac{x}{4} + 1 $$

3

Aproximar los valores $$ \sqrt{3{,}98} \approx \dfrac{3{,}98}{4} + 1 = 1{,}995 $$ $$ \sqrt{4{,}05} \approx \dfrac{4{,}05}{4} + 1 = 2{,}0125 $$

Calculadora: $\sqrt{3{,}98} \approx 1{,}99499\ldots$ y $\sqrt{4{,}05} \approx 2{,}01246\ldots$ — excelente aproximación.

Ejemplo 2. Aproximar $e^{0{,}1}$ usando la aproximación lineal de $f(x) = e^x$ en $a = 0$.

1

Calcular f(0) y f'(0) $$ f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x $$ $$ f(0) = 1 \qquad f'(0) = 1 $$

2

Aproximación y evaluación $$ e^x \approx 1 + x \implies e^{0{,}1} \approx 1{,}1 $$

Valor exacto: $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517\ldots$ — buena aproximación con poquísimo cálculo.

Ejemplo 3. Aproximar $\ln(1{,}05)$ usando la aproximación lineal de $f(x) = \ln(x)$ en $a = 1$.

1

Calcular f(1) y f'(1) $$ f(x) = \ln(x) \implies f'(x) = \dfrac{1}{x} $$ $$ f(1) = 0 \qquad f'(1) = 1 $$

2

Aproximación y evaluación $$ \ln(x) \approx x - 1 \implies \ln(1{,}05) \approx 0{,}05 $$

Valor exacto: $0{,}04879\ldots$. Esta aproximación $\ln(1+u) \approx u$ para $u$ pequeño es muy usada en física e ingeniería.

Gema

En los 3 ejemplos elegimos un punto $a$ donde la función es fácil de calcular ($a=4$, $a=0$, $a=1$) y el valor que queremos aproximar está cerca de ese punto. Esa es la estrategia.

02 · Teoría

Polinomio de Taylor

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La aproximación lineal es buena, pero ¿podríamos hacerlo mejor? Si una recta (grado 1) aproxima bien la función, ¿qué pasaría si usamos una parábola (grado 2), o un polinomio de grado 3, 4...?

La idea de Taylor: construir un polinomio $P_m(x)$ de grado $m$ que, en el punto $x = a$, tenga el mismo valor y las mismas primeras $m$ derivadas que $f(x)$. Cuanto mayor el grado, mejor la aproximación.

Polinomio de Taylor de grado $m$ para $f$ centrado en $a$:

$$ P_m(x) = \sum_{k=0}^{m} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k $$

Desarrollado término a término:

$$ P_m(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \dfrac{f^{(m)}(a)}{m!}(x-a)^m $$

Observá que el término de grado 1 es exactamente la aproximación lineal que ya conocemos. Taylor la extiende agregando correcciones de mayor orden.

A mayor grado del polinomio, mejor se ajusta a $f(x)$ en el entorno de $a$.

Elvira

Traducción del $k$-ésimo término: tomar la derivada $k$-ésima de $f$ evaluada en $a$, dividirla por $k!$, y multiplicarla por $(x-a)^k$. La dificultad está en calcular las derivadas sucesivas.

03 · Ejemplos

Ejemplos Resueltos

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Ejemplo A Básico — Construir P₂

Hallar el polinomio de Taylor de grado $m=2$ de $f(x) = e^{x^{-2}}$ centrado en $a = 1$.

1

Calcular derivadas sucesivas $$ f'(x) = e^{x^{-2}} \cdot (-2x^{-3}) $$ $$ f''(x) = e^{x^{-2}} \cdot (-2x^{-3})^2 + e^{x^{-2}} \cdot 6x^{-4} = e^{x^{-2}}(4x^{-6} + 6x^{-4}) $$

2

Evaluar en $a=1$ $$ f(1) = e^{1} = e $$ $$ f'(1) = e \cdot (-2) = -2e $$ $$ f''(1) = e \cdot (4 + 6) = 10e $$

3

Escribir $P_2$ $$ P_2(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \dfrac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 $$ $$ P_2(x) = e - 2e(x-1) + \dfrac{10e}{2}(x-1)^2 $$ $$ P_2(x) = e - 2e(x-1) + 5e(x-1)^2 $$

4

Simplificar expandiendo $(x-1)^2$ $$ P_2(x) = e - 2ex + 2e + 5e(x^2 - 2x + 1) $$ $$ P_2(x) = e - 2ex + 2e + 5ex^2 - 10ex + 5e $$ $$ P_2(x) = 8e - 12ex + 5ex^2 $$

Ejemplo B Intermedio — P₃ de $\ln(x^2+1)$

Hallar el polinomio de Taylor de grado $m=3$ de $f(x) = \ln(x^2+1)$ centrado en $a = 2$. Luego aproximar $f(1)$.

1

Calcular $f$ y sus derivadas hasta orden 3 $$ f(x) = \ln(x^2+1) \implies f(2) = \ln 5 $$ $$ f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1} \implies f'(2) = \dfrac{4}{5} $$ $$ f''(x) = \dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} \implies f''(2) = \dfrac{-6}{25} $$ $$ f'''(x) = \dfrac{4x^3 - 12x}{(x^2+1)^3} \implies f'''(2) = \dfrac{8}{125} $$

2

Escribir $P_3$ $$ P_3(x) = \ln 5 + \dfrac{4}{5}(x-2) - \dfrac{3}{25}(x-2)^2 + \dfrac{4}{375}(x-2)^3 $$

3

Aproximar $f(1)$ evaluando en $x=1$ $$ P_3(1) = \ln 5 - \dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{375} \approx 0{,}0951 $$

Valor exacto: $\ln 2 \approx 0{,}6931$. La aproximación es menos precisa porque $x=1$ está alejado de $a=2$.

Gema

Tip pro: si ya tenés el polinomio armado, podés leer los valores de $f$, $f'$, $f''$ en $a$ directamente de sus coeficientes. No hace falta derivar desde cero.

Ejemplo C Intermedio — Leer el polinomio

Sea $P(x) = 1 - 3(x-1) + 4(x-1)^2$ el polinomio de Taylor de $p(x)$ en $a=1$. Sea $h(x) = p(x^2 + e^x)$. Probar que $h''(0) = -1$.

1

Leer $p(1)$, $p'(1)$, $p''(1)$ del polinomio

Comparando con $P(x) = p(a) + p'(a)(x-a) + \dfrac{p''(a)}{2!}(x-a)^2$:

$$ p(1) = 1 \qquad p'(1) = -3 \qquad \dfrac{p''(1)}{2!} = 4 \implies p''(1) = 8 $$

2

Calcular $h'(x)$ por regla de la cadena $$ h'(x) = p'(x^2 + e^x) \cdot (2x + e^x) $$ $$ h'(0) = p'(1) \cdot 1 = -3 $$

3

Calcular $h''(x)$ y evaluar en $x=0$ $$ h''(x) = p''(x^2+e^x) \cdot (2x+e^x)^2 + p'(x^2+e^x) \cdot (2+e^x) $$ $$ h''(0) = p''(1) \cdot 1 + p'(1) \cdot 3 = 8 - 9 = -1 \quad \checkmark $$

Ejemplo D Avanzado — Extremos de una función compuesta

Sea $P(x) = 5 - 2(x+2) + 3(x+2)^2$ el polinomio de Taylor de $f(x)$ en $a=-2$. Sea $g(x) = f(x^2-3x-2) + \sqrt[3]{4x-4} + \dfrac{17}{3}x$. Determinar si $x=3$ es un punto crítico de $g$ y clasificarlo.

1

Leer $f(-2)$, $f'(-2)$, $f''(-2)$ del polinomio $$ f(-2) = 5 \qquad f'(-2) = -2 \qquad \dfrac{f''(-2)}{2!} = 3 \implies f''(-2) = 6 $$

2

Calcular $g'(x)$ $$ g'(x) = f'(x^2-3x-2) \cdot (2x-3) + (4x-4)^{-2/3} \cdot \dfrac{4}{3} + \dfrac{17}{3} $$

3

Evaluar $g'(3)$: notar que $3^2-3\cdot3-2 = -2$ $$ g'(3) = (-2)(3) + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{3} + \dfrac{17}{3} = -6 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{17}{3} = 0 $$

$\implies x=3$ es punto crítico. $\checkmark$

4

Calcular $g''(3)$ para clasificar $$ g''(3) = f''(-2)(3)^2 + f'(-2) \cdot 2 - \dfrac{32}{9}(8)^{-5/3} = 54 - 4 - \dfrac{1}{9} \approx 49{,}89 > 0 $$

$g''(3) > 0 \implies$ mínimo relativo de $g$ en $x=3$. $\checkmark$

Elvira

Ojo con los Ejemplos C y D: la clave es que los coeficientes del polinomio ya tienen el $k!$ absorbido. Entonces $p''(1) = 2! \times 4 = 8$, no 4. Ese es el error más común.

04 · Caso especial

Polinomio de McLaurin

▼

Definición: cuando el polinomio de Taylor está centrado en $a = 0$, se lo llama Polinomio de McLaurin: $$ P_m(x) = f(0) + f'(0)\,x + \dfrac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \cdots + \dfrac{f^{(m)}(0)}{m!}\,x^m $$

No es un concepto nuevo: es exactamente Taylor con $a=0$.

McLaurines clásicos:

$e^x$	$1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$
$\sin x$	$x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$
$\cos x$	$1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots$
$\ln(1+x)$	$x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$
$(1+x)^n$	$1 + nx + \dfrac{n(n-1)}{2!}x^2 + \cdots$

Gema y Elvira

Los McLaurines de $e^x$, $\sin x$ y $\cos x$ son los más usados en todo el cursado. Vale la pena saberlos de memoria; aparecen en integrales, límites y ecuaciones diferenciales.

05 · Cuidado

Errores Típicos

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Error 1 — Olvidar el factorial en el denominador.

El coeficiente del término de grado $k$ es $\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$, no $f^{(k)}(a)$.

Error 2 — Confundir coeficiente con derivada al leer el polinomio.

Si $P(x) = \cdots + 4(x-a)^2 + \cdots$, entonces $\dfrac{f''(a)}{2!} = 4 \implies f''(a) = 8$. El coeficiente 4 no es $f''(a)$.

Error 3 — Usar la aproximación lejos del centro.

El polinomio de Taylor aproxima bien solo cerca de $a$. Si el punto evaluado está lejos, el error puede ser grande.

Verificación rápida: evaluá $P_m(a)$. Debe darte $f(a)$. Luego derivá $P_m$ y evaluá en $a$; debe dar $f'(a)$. Si no coincide, hay un error en algún coeficiente.

06 · Práctica

Ejercicios para Practicar

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Intentá resolver cada ejercicio antes de ver la solución.

1. Hallar la aproximación lineal de $f(x) = \cos(x)$ en $a = 0$ y aproximar $\cos(0{,}1)$. ▼

1

Calcular derivada y evaluar $$ f'(x) = -\sin(x) \implies f(0) = 1,\quad f'(0) = 0 $$

2

Aproximación y evaluación $$ \cos(x) \approx 1 \implies \cos(0{,}1) \approx 1 $$

Valor exacto: $0{,}99500\ldots$. La aproximación lineal no es muy precisa aquí porque $f'(0)=0$. Para esto conviene usar $P_2$.

2. Hallar el polinomio de McLaurin de grado 3 de $f(x) = \sin(x)$. ▼

1

Derivadas y valores en $a=0$ $$ f(0)=0,\ f'(0)=1,\ f''(0)=0,\ f'''(0)=-1 $$

2

Escribir $P_3$ $$ P_3(x) = x - \dfrac{x^3}{6} $$

3. Hallar el polinomio de Taylor de grado 2 de $f(x) = \sqrt{x}$ centrado en $a = 9$ y aproximar $\sqrt{9{,}3}$. ▼

1

Derivadas y valores en $a=9$ $$ f(9) = 3,\ f'(9) = \dfrac{1}{6},\ f''(9) = -\dfrac{1}{108} $$

2

Escribir $P_2$ y aproximar $$ P_2(x) = 3 + \dfrac{1}{6}(x-9) - \dfrac{1}{216}(x-9)^2 $$ $$ P_2(9{,}3) \approx 3{,}0499 $$

4. Sea $Q(x) = 2 + 5(x-3) - (x-3)^2$ el polinomio de Taylor de $h(x)$ en $a=3$. Encontrá $h(3)$, $h'(3)$ y $h''(3)$. ▼

$$ h(3) = 2 \qquad h'(3) = 5 \qquad \dfrac{h''(3)}{2!} = -1 \implies h''(3) = -2 $$

5. Con los datos del ejercicio anterior, sea $k(x) = h(x^2)$. Hallar $k''(\sqrt{3})$. ▼

1

Calcular $k''(x)$ $$ k'(x) = h'(x^2) \cdot 2x $$ $$ k''(x) = h''(x^2)(2x)^2 + h'(x^2) \cdot 2 $$

2

Evaluar en $x = \sqrt{3}$ $$ k''(\sqrt{3}) = h''(3) \cdot 12 + h'(3) \cdot 2 = (-2)(12) + (5)(2) = -14 $$

\(e^x\)	\(1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots\)
\(\sin x\)	\(x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots\)
\(\cos x\)	\(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots\)
\(\ln(1+x)\)	\(x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots\)
\((1+x)^n\)	\(1 + nx + \dfrac{n(n-1)}{2!}x^2 + \cdots\)

Aproximación Lineal y Polinomio de Taylor

Ejemplos de Aproximación Lineal

Ejemplo A Básico — Construir P₂

Ejemplo B Intermedio — P₃ de \(\ln(x^2+1)\)

Ejemplo C Intermedio — Leer el polinomio

Ejemplo D Avanzado — Extremos de una función compuesta

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