Derivadas y Reglas de Derivación

01 Derivada por Definición

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Motivación: de la recta secante a la tangente

Imaginá que tenés una curva $ f(x) $ y querés conocer la inclinación exacta de esa curva en un punto $ x = a $. La idea clave es:

1

Tomamos dos puntos sobre la curva: $ (a,\, f(a)) $ y $ (b,\, f(b)) $. La recta que los une se llama recta secante, y su pendiente es:

$$ m_S = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

2

Ahora dejamos $ a $ fijo y usamos $ x $ como punto móvil:

$$ m_S = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

3

Si hacemos $ x = a $, obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$. Para salvar esto, aplicamos límite: hacemos que $ x \to a $ (el punto móvil se acerca al fijo). Así la secante se convierte en la recta tangente.

Gema

¡Mirá! Cuando el punto $x$ se acerca a $a$, la recta secante (roja) se va "acomodando" hasta transformarse en la tangente (verde). ¡La derivada es justamente la pendiente de esa tangente!

Las dos formas de la definición

La derivada de $ f $ en el punto $ x = a $ se puede escribir de dos maneras equivalentes:

Forma 1 — con $x \to a$: $$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

Forma 2 — con $h \to 0$: $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$

⚠️ Conexión entre ambas formas: Si definimos $ h = x - a $, entonces $ x = a + h $. Cuando $ x \to a $, se tiene $ h \to 0 $. Por eso ambas expresiones son equivalentes.

📌 Hipótesis: Para que $ f'(a) $ exista, necesitamos:

$ f $ debe estar definida en un entorno de $ a $.
El límite debe existir y ser finito.
Si $ f'(a) $ existe, decimos que $ f $ es derivable en $ x = a $.

Elvira

Traducción: la derivada en un punto es un número. Representa la pendiente de la recta tangente en ese punto. Palabras clave: pendiente, tangente, límite, valor numérico.

02 Ejemplos — Derivada por Definición en un Punto

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Ejemplo 1 — Función cuadrática

Hallar $ f'(1) $ para $ f(x) = 2x^2 - 8 $ usando la forma con $ h \to 0 $.

$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} $$

Paso 1: Calculamos $ f(1+h) $:

$$ f(1+h) = 2(1+h)^2 - 8 = 2(1 + 2h + h^2) - 8 = 2 + 4h + 2h^2 - 8 = 2h^2 + 4h - 6 $$

Paso 2: Calculamos $ f(1) $:

$$ f(1) = 2 \cdot 1^2 - 8 = -6 $$

Paso 3: Armamos el cociente incremental y resolvemos:

$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(2h^2 + 4h - 6) - (-6)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h^2 + 4h}{h} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{h(2h + 4)}{h} = \lim_{h \to 0} (2h + 4) = \boxed{4} $$

Interpretación: la pendiente de la recta tangente a $ f(x) = 2x^2 - 8 $ en $ x = 1 $ vale $ 4 $.

Ejemplo 2 — Función raíz (conjugado)

Hallar $ f'(4) $ para $ f(x) = \sqrt{x} $ usando la forma con $ h \to 0 $.

$$ f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{f(4+h) - f(4)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h} $$

Truco: Multiplicamos y dividimos por el conjugado $ \sqrt{4+h} + 2 $:

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h} \cdot \frac{\sqrt{4+h} + 2}{\sqrt{4+h} + 2} = \lim_{h \to 0} \frac{(4+h) - 4}{h\,(\sqrt{4+h} + 2)} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h\,(\sqrt{4+h} + 2)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \boxed{\frac{1}{4}} $$

Gema

¡Truco clave! Cada vez que te aparece una resta de raíces en el numerador, multiplicá y dividí por el conjugado. Se usa la identidad $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ y las raíces desaparecen. ¡Funciona siempre!

03 Función Derivada (la "fábrica de derivadas")

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Hasta ahora calculamos la derivada en un punto fijo $ x = a $. Pero si en vez de fijar el punto, dejamos $ x $ como variable, obtenemos una función nueva: la función derivada.

Función Derivada: $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$

Es una función que a cada $ x $ le asigna la pendiente de la tangente en ese punto. Es como una "fábrica": le das un $ x_0 $ y te devuelve $ f'(x_0) $ = pendiente de la tangente en $ x_0 $.

Ejemplo 1 — Función derivada de:

$ f(x) = 2x^2 - 8 $

Paso 1: Calculamos $ f(x+h) $:

$$ f(x+h) = 2(x+h)^2 - 8 = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 8 $$

Paso 2: Armamos el cociente:

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(2x^2 + 4xh + 2h^2 - 8) - (2x^2 - 8)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4xh + 2h^2}{h} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{h(4x + 2h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4x + 2h) = \boxed{4x} $$

¡Ahora tenemos una función! $ f'(x) = 4x $. Si queremos la derivada en $ x = 1 $: $ f'(1) = 4 \cdot 1 = 4 $. ✅

Ejemplo 2 — Función derivada de:

$ f(x) = \sqrt{x} $

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h\,(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h\,(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Entonces: $ f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $. Si evaluamos en $ x = 4 $: $ f'(4) = \dfrac{1}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{4} $. ✅

Elvira

Ojo: la derivada en un punto da un número. La función derivada da una función. Es la diferencia entre calcular "la pendiente en $x=1$" vs. "la fórmula de la pendiente para cualquier $x$".

04 Propiedades de Derivadas

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1. Suma/Resta: Si $ h(x) = f(x) \pm g(x) $, entonces: $$ h'(x) = f'(x) \pm g'(x) $$

2. Constante: Si $ f(x) = k $ (constante), entonces: $$ f'(x) = 0 $$

Intuitivamente: la gráfica de una constante es una recta horizontal → pendiente cero.

3. Constante por función: Si $ f(x) = k \cdot g(x) $, entonces: $$ f'(x) = k \cdot g'(x) $$

4. Función lineal: Si $ f(x) = ax + b $, entonces: $$ f'(x) = a $$

Ejemplos rápidos

$ f(x) = 3x + 2 \implies f'(x) = 3 $
$ f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 3 \implies f'(x) = 12x^2 - 10x $
$ f(x) = x \implies f'(x) = 1 $

Gema

Fijate que con estas propiedades ya podés derivar cualquier polinomio sin usar la definición por límite. Se combinan con la regla de la potencia que viene ahora.

05 Tabla de Derivadas Elementales

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Esta es la tabla de referencia con las derivadas de las funciones clásicas. ¡Es fundamental tenerla a mano!

$ f(x) $	$ f'(x) $	Nota
$ x^n $	$ n \cdot x^{n-1} $	Regla de la potencia
$ \operatorname{sen}(x) $	$ \cos(x) $
$ \cos(x) $	$ -\operatorname{sen}(x) $	¡Ojo con el signo!
$ \tan(x) $	$ \sec^2(x) $
$ a^x $	$ a^x \cdot \ln(a) $	$ a > 0,\; a \neq 1 $
$ e^x $	$ e^x $	Caso particular: $\ln(e)=1$
$ \log_a(x) $	$ \dfrac{1}{x \cdot \ln(a)} $	$ x > 0 $
$ \ln(x) $	$ \dfrac{1}{x} $	Caso particular: $\ln(e)=1$

Elvira

Cuidado: para $\cos'(x) = -\operatorname{sen}(x)$ no te olvides del signo negativo. Y recordá que $e^x$ es la única función que es igual a su propia derivada.

💡 Recordatorio útil: Las raíces y fracciones se convierten a potencias antes de derivar: $$ \sqrt[m]{a^n} = a^{n/m} \qquad \frac{1}{a^m} = a^{-m} $$

06 Regla de la Potencia

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Regla de la Potencia: Si $ f(x) = x^n $, entonces: $$ f'(x) = n \cdot x^{n-1} $$

Donde $ n $ puede ser cualquier número real (entero, fraccionario, negativo).

Ejemplo 1 — Potencia entera

$ f(x) = x^7 $

$$ f'(x) = 7 \cdot x^{7-1} = 7x^6 $$

Ejemplo 2 — Con raíz (exponente fraccionario)

$ f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3} $

$$ f'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} $$

Ejemplo 3 — Con exponente negativo

$ f(x) = \dfrac{1}{x^2} = x^{-2} $

$$ f'(x) = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3} $$

Gema

¡El truco es siempre el mismo! Antes de derivar, reescribí todo como potencia de $x$. Raíces → exponentes fraccionarios. Fracciones con $x$ en el denominador → exponentes negativos. Después aplicás la regla normalmente.

07 Regla del Producto

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Regla del Producto: Si $ h(x) = f(x) \cdot g(x) $, entonces: $$ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $$

📌 Hipótesis: Ambas funciones $ f $ y $ g $ deben ser derivables en el punto donde se evalúa.

Ejemplo 1

$ h(x) = \operatorname{sen}(x) \cdot (x^3 - 5x) $

Identificamos: $ f(x) = \operatorname{sen}(x) $, $ g(x) = x^3 - 5x $.

$$ h'(x) = \cos(x) \cdot (x^3 - 5x) + \operatorname{sen}(x) \cdot (3x^2 - 5) $$

Ejemplo 2

$ f(x) = 2^x \cdot \ln(x) $

Identificamos: $ f = 2^x $, $ g = \ln(x) $.

$$ f'(x) = 2^x \cdot \ln(2) \cdot \ln(x) + 2^x \cdot \frac{1}{x} $$

Elvira

Traducción de la fórmula: "derivada de la primera por la segunda como está, más la primera como está por derivada de la segunda". No te olvides que es una suma de dos términos.

08 Regla del Cociente

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Regla del Cociente: Si $ h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} $, entonces: $$ h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} $$

📌 Hipótesis:

Ambas funciones $ f $ y $ g $ deben ser derivables.
$ g(x) \neq 0 $ en el punto de evaluación (no dividir por cero).

Ejemplo 1

$ h(x) = \dfrac{3\cos(x)}{\sqrt[3]{x}} $

Identificamos: $ f(x) = 3\cos(x) $, $ g(x) = x^{1/3} $.

Derivadas: $ f'(x) = -3\operatorname{sen}(x) $, $ g'(x) = \tfrac{1}{3}x^{-2/3} $.

$$ h'(x) = \frac{-3\operatorname{sen}(x) \cdot x^{1/3} \;-\; 3\cos(x) \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3}}{\left(x^{1/3}\right)^2} $$

Ejemplo 2

$ h(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1} $

$$ h'(x) = \frac{e^x \cdot (x^2 + 1) - e^x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2} $$

Gema

¡Cuidado! En el cociente el orden importa: es "derivada del numerador por denominador" menos "numerador por derivada del denominador". Si invertís el orden, ¡te da mal el signo!

09 Regla de la Cadena

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Regla de la Cadena: Si $ h(x) = f\!\big(g(x)\big) $ (función compuesta), entonces: $$ h'(x) = f'\!\big(g(x)\big) \cdot g'(x) $$

📌 Hipótesis:

$ g $ debe ser derivable en $ x $.
$ f $ debe ser derivable en $ g(x) $.

Visualmente, es como una mamushka de funciones: derivás de afuera hacia adentro, multiplicando cada "capa".

Ejemplo 1

$ h(x) = \operatorname{sen}(x^2 + 3x) $

Función externa: $\operatorname{sen}(\bullet)$. Función interna: $x^2 + 3x$.

$$ h'(x) = \cos(x^2 + 3x) \cdot (2x + 3) $$

Ejemplo 2

$ h(x) = \ln\!\big(\tan(2x^3)\big) $

Tres capas: $\ln(\bullet)$, $\tan(\bullet)$, $2x^3$.

$$ h'(x) = \frac{1}{\tan(2x^3)} \cdot \sec^2(2x^3) \cdot 6x^2 $$

Ejemplo 3 — Cadena triple

$ f(x) = \operatorname{sen}^3\!\Big[\ln(3x^5 - 4x^2 + 3)\Big] $

Capas: $(\bullet)^3$, $\operatorname{sen}(\bullet)$, $\ln(\bullet)$, $3x^5-4x^2+3$.

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 3\operatorname{sen}^2\!\Big[\ln(3x^5-4x^2+3)\Big] \cdot \cos\!\Big[\ln(3x^5-4x^2+3)\Big] \cdot \frac{1}{3x^5-4x^2+3} \cdot (15x^4-8x) \end{aligned} $$

Gema

¡La cadena es como pelar una cebolla! Derivás la capa de afuera, dejás el interior como está, multiplicás por la derivada de la siguiente capa, y así hasta llegar al centro. Cada "capa" genera un factor más en el producto.

Elvira

Ojo: la cadena se usa siempre que la función "de adentro" no sea simplemente $x$. Si tenés $\operatorname{sen}(x)$ no hace falta cadena, pero si tenés $\operatorname{sen}(3x+1)$, ¡sí! Multiplicás por la derivada del argumento.

10 Errores Típicos

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❌ Olvidar la regla de la cadena:

Escribir $ [\operatorname{sen}(3x)]' = \cos(3x) $ en vez de $ \cos(3x) \cdot 3 $. ¡Siempre hay que multiplicar por la derivada interna!

❌ Confundir signos en la regla del cociente:

Es $ f' \cdot g - f \cdot g' $ (en ese orden). Si invertís los términos, el signo del resultado cambia.

❌ Derivar la constante como si no fuera cero:

En $ f(x) = 5x^2 + 3 $, la derivada del $3$ es $0$, no $3$.

❌ Derivar el producto como "derivada por derivada":

$ (f \cdot g)' \neq f' \cdot g' $. ¡Hay que aplicar la regla del producto! $ f' \cdot g + f \cdot g' $

❌ Olvidar el signo en $\cos'(x)$:

$ [\cos(x)]' = -\operatorname{sen}(x) $, no $+\operatorname{sen}(x)$.

❌ No reescribir raíces/fracciones antes de derivar:

$ \sqrt{x} = x^{1/2} $ y $ \frac{1}{x^3} = x^{-3} $. Si no convertís, no podés aplicar la regla de potencia.

11 Checklist de Verificación

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✓ ¿Identifiqué correctamente si necesito derivar por definición o por regla?

✓ ¿Reescribí raíces y fracciones como potencias antes de derivar?

✓ ¿Apliqué la regla de la cadena cuando el argumento no es simplemente $x$?

✓ ¿Usé la regla del producto/cociente cuando hay multiplicación/división de funciones?

✓ ¿Verifiqué el signo en la regla del cociente ($f'g - fg'$, no al revés)?

✓ ¿La derivada de toda constante me dio 0?

✓ ¿Puedo verificar con la función derivada evaluando en un punto conocido?

12 Ejercicios para Practicar

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Por definición

Ejercicio 1

Hallar $ f'(2) $ por definición para $ f(x) = x^2 + 3x $.

Ejercicio 2

Hallar $ f'(9) $ por definición para $ f(x) = \sqrt{x} $. (Usar conjugado)

Ejercicio 3

Obtener la función derivada $ f'(x) $ por definición para $ f(x) = 3x^2 - x + 1 $.

Usando reglas de derivación

Ejercicio 4 — Potencia

Derivar: $ f(x) = 5x^4 - \dfrac{2}{x^3} + \sqrt[4]{x} $

Ejercicio 5 — Producto

Derivar: $ h(x) = e^x \cdot \cos(x) $

Ejercicio 6 — Cociente

Derivar: $ h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{\operatorname{sen}(x)} $

Ejercicio 7 — Cadena

Derivar: $ f(x) = \ln(x^3 + 2x) $

Ejercicio 8 — Cadena + Producto

Derivar: $ g(x) = x^2 \cdot \operatorname{sen}(3x+1) $

Ejercicio 9 — Combinado

Derivar: $ f(x) = \dfrac{e^{2x}}{\sqrt{x+1}} $

Ejercicio 10 — Cadena triple

Derivar: $ h(x) = \cos^2\!\big(\ln(5x)\big) $

Respuestas rápidas para verificar:

$ f'(2) = 7 $
$ f'(9) = \frac{1}{6} $
$ f'(x) = 6x - 1 $
$ f'(x) = 20x^3 + 6x^{-4} + \frac{1}{4}x^{-3/4} $
$ h'(x) = e^x\cos(x) - e^x\operatorname{sen}(x) $
$ h'(x) = \dfrac{2x\,\operatorname{sen}(x) - (x^2+1)\cos(x)}{\operatorname{sen}^2(x)} $
$ f'(x) = \dfrac{3x^2+2}{x^3+2x} $
$ g'(x) = 2x\,\operatorname{sen}(3x+1) + 3x^2\cos(3x+1) $
$ f'(x) = \dfrac{e^{2x}(4x+3)}{2(x+1)^{3/2}} $
$ h'(x) = \dfrac{-2\cos(\ln(5x))\,\operatorname{sen}(\ln(5x))}{x} $

\( f(x) \)	\( f'(x) \)	Nota
\( x^n \)	\( n \cdot x^{n-1} \)	Regla de la potencia
\( \operatorname{sen}(x) \)	\( \cos(x) \)
\( \cos(x) \)	\( -\operatorname{sen}(x) \)	¡Ojo con el signo!
\( \tan(x) \)	\( \sec^2(x) \)
\( a^x \)	\( a^x \cdot \ln(a) \)	\( a > 0,\; a \neq 1 \)
\( e^x \)	\( e^x \)	Caso particular: \(\ln(e)=1\)
\( \log_a(x) \)	\( \dfrac{1}{x \cdot \ln(a)} \)	\( x > 0 \)
\( \ln(x) \)	\( \dfrac{1}{x} \)	Caso particular: \(\ln(e)=1\)

Derivadas y Reglasde Derivación

Motivación: de la recta secante a la tangente

Las dos formas de la definición

Por definición

Usando reglas de derivación

Derivadas y Reglas
de Derivación