Optimización · Derivadas

01 · Concepto ¿Qué es optimizar? ▼

La palabra optimizar viene del latín optimus: el mejor. En matemática, optimizar una función significa encontrar el valor de la variable que hace que esa función alcance su máximo o su mínimo.

Definición: Dado un problema real, optimizar es hallar el valor de la variable independiente $ x $ (con sus restricciones físicas o geométricas) tal que la función objetivo $ f(x) $ sea máxima o mínima.

Esto no es solo matemática abstracta. Es la herramienta que usa la ingeniería, la economía y las ciencias para tomar las mejores decisiones posibles.

¿Dónde aparece en el mundo real?

Ingeniería: ¿Cuál es el tamaño óptimo de una cañería para minimizar pérdidas de presión? ¿Cuál es la forma de una viga que soporta máxima carga con mínimo material?

Economía: ¿Cuántas unidades producir para maximizar la ganancia? ¿Qué precio minimiza el costo total de almacenamiento y pedido?

Arquitectura y diseño: ¿Cuál es la dimensión de una ventana que maximiza la entrada de luz con un perímetro fijo? ¿Cómo recortar el cartón para armar la caja de mayor volumen?

Geometría analítica: ¿Cuál es el punto de una curva más cercano a un punto dado?

Gema

¡Optimización es el corazón de la ingeniería! Cada vez que alguien dice "el diseño más eficiente" o "el menor costo posible"... están pidiendo exactamente esto. ¡Derivadas al rescate!

La herramienta: La derivada nos dice dónde la función "sube" y dónde "baja". En el punto donde cambia de sentido, la derivada se anula. Eso es exactamente lo que buscamos: el punto crítico.

$$f'(x_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 \text{ es candidato a máximo o mínimo}$$

También hay punto crítico si $ f'(x_0) $ no existe, siempre que $ x_0 \in \text{Dom}(f) $.

Pero cuidado: no todo punto crítico es un extremo. Después hay que clasificarlo con el criterio de la segunda derivada (o el análisis del signo de $ f' $).

02 · Método Estrategia de resolución — La receta ▼

Todos los problemas de optimización siguen la misma secuencia. Si la aplicás ordenadamente, el camino está prácticamente despejado.

Elvira

Antes de derivar cualquier cosa, asegurate de tener el esquema y los datos bien claros. El 80% de los errores vienen de plantear mal la función, no de calcular mal la derivada.

Paso 1

Realizá un esquema de la situación
Dibujá la figura o situación con sus variables. Poné nombres a todas las cantidades relevantes: longitudes, áreas, volúmenes, costos. El esquema es tu mapa; sin mapa, te perdés.

Paso 2

Anotá los datos con sus unidades
Listá todos los valores conocidos con sus unidades correctas. Convertí todo al mismo sistema de unidades si hace falta. Identificá también el dominio de la variable: condiciones de positividad ($ x > 0 $), restricciones geométricas, etc.

Paso 3

Encontrá la Función Objetivo
Es la función que querés maximizar o minimizar. Puede ser un área, un volumen, un costo, una distancia, etc. Llamala $ f $ e intentá expresarla en función de una sola variable.

$$\text{Función objetivo:} \quad f(x) = \ldots \quad \longrightarrow \quad \text{función a OPTIMIZAR}$$

Paso 4

Encontrá la Función Restricción (o Relación)
Si la función objetivo tiene más de una variable, necesitás una ecuación adicional que las vincule. Esa ecuación sale de los datos del problema: el perímetro, el volumen, el área disponible, etc. Usala para despejar una variable y sustituir en la función objetivo.

$$\text{Restricción:} \quad g(x, y) = k \quad \Rightarrow \quad y = h(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) = f(x, h(x))$$

Paso 5

Derivá e igualá a cero
Calculá $ f'(x) $ y resolvé $ f'(x) = 0 $. Los resultados son los puntos críticos. Descartá los que estén fuera del dominio.

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 \text{ es punto crítico}$$

Paso 6

Clasificá el punto crítico
Usá el criterio de la segunda derivada:

$$f''(x_0) > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{MÍNIMO en } x_0$$ $$f''(x_0) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{MÁXIMO en } x_0$$ $$f''(x_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{el criterio no decide, analizá el signo de } f'$$

Paso 7

Calculá el valor óptimo y respondé la pregunta
Sustituí $ x_0 $ en la función objetivo y en la restricción para obtener todos los valores pedidos. Respondé en lenguaje natural con las unidades correctas.

Resumen:

1 Esquema dibujá la situación

→

2 Datos y dominio con unidades

→

3 Función objetivo ¿qué optimizás?

→

4 Restricción despejá e igualá

→

5 Derivar e igualar f′(x) = 0

→

6 Clasificar criterio de f″

→

7 Responder con unidades

03 · Ejemplos Ejemplos resueltos ▼

Ejemplo 1 Fácil — Rectángulo inscripto en recta

Problema: Se tienen dos números positivos $ x $ e $ y $ tales que $ 2x + y = 100 $. Hallá los valores que maximizan el producto $ A = x \cdot y $.

Datos

Restricción: $ 2x + y = 100 $, con $ x > 0 $, $ y > 0 $.

Función a maximizar: $ A(x,y) = x \cdot y $.

Función relación → Función objetivo en una variable

De la restricción despejamos $ y $:

$$y = 100 - 2x$$

Sustituimos en $ A $:

$$A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$$

Derivar e igualar a cero

$$A'(x) = 100 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 25$$

Clasificar con la 2ª derivada

$$A''(x) = -4 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Hay un MÁXIMO en } x = 25$$

Resultado

$$y = 100 - 2(25) = 50 \qquad A_{\max} = 25 \cdot 50 = 1250$$

Respuesta: Los valores que maximizan el producto son $ x = 25 $ e $ y = 50 $, con un producto máximo de $ 1250 $.

Gema

¡Notá el truco central! Siempre tenés dos ecuaciones: la función objetivo (la que optimizás) y la restricción (la que vincula las variables). Con la segunda eliminás una variable de la primera. ¡Ese es el corazón del método!

Ejemplo 2 Fácil — Caja de cartón sin tapa

Problema: De un cuadrado de cartón de $ 40\,\text{cm} $ de lado se recortan cuadraditos de lado $ x $ en las cuatro esquinas y se doblan los bordes hacia arriba para formar una caja abierta. Hallá el valor de $ x $ que maximiza el volumen de la caja.

Datos y dominio

Lado del cuadrado: $ 40\,\text{cm} $. Recorte: $ x\,\text{cm} $. Condición: $ 0 < x < 20 $.

Función objetivo

La base de la caja es $ (40 - 2x) \times (40 - 2x) $ y la altura es $ x $:

$$V(x) = (40-2x)^2 \cdot x = (1600 - 160x + 4x^2)\cdot x$$

$$V(x) = 4x^3 - 160x^2 + 1600x$$

Derivar e igualar a cero

$$V'(x) = 12x^2 - 320x + 1600 = 0$$

Dividiendo por 4: $ 3x^2 - 80x + 400 = 0 $

$$x = \frac{80 \pm \sqrt{6400 - 4800}}{6} = \frac{80 \pm 40}{6}$$

$$x_1 = \frac{80 - 40}{6} \approx 6{,}67\,\text{cm} \qquad x_2 = 20\,\text{cm (descartado: nos da} \, V(20)=0\,\text{cm}^3$$

Clasificar

$$V''(x) = 24x - 320 \qquad V''(6{,}67) = 24(6{,}67)-320 \approx -160 < 0 \quad \Rightarrow \text{ MÁXIMO}$$

Resultado

$$V_{\max} = V(6{,}67) \approx (40 - 2 \cdot 6{,}67)^2 \cdot 6{,}67 \approx (26{,}67)^2 \cdot 6{,}67 \approx 4741\,\text{cm}^3$$

Respuesta: El recorte óptimo es $ x \approx 6{,}67\,\text{cm} $, con volumen máximo $ \approx 4741\,\text{cm}^3 $.

Elvira

Cuando aparecen dos puntos críticos, verificá el dominio antes de evaluar. En este problema, $ x = 20 $ produce una caja con altura = 20 y base = 0 cm, lo que no tiene sentido físico. ¡Descartalo sin culpa!

Ejemplo 3 Medio — Rectángulo inscripto en parábola

Problema: Encontrá las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse bajo la parábola $ y = 12 - x^2 $, con la base sobre el eje $ x $.

Variables y función objetivo

La base del rectángulo es $ 2x_0 $ (simétrico respecto al eje $ y $) y su altura es $ y_0 = 12 - x_0^2 $.

$$A(x) = 2x \cdot (12 - x^2) = 24x - 2x^3 \qquad (x > 0)$$

Derivar e igualar a cero

$$A'(x) = 24 - 6x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \;\text{(tomamos } x > 0\text{)}$$

Clasificar

$$A''(x) = -12x \qquad A''(2) = -24 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{MÁXIMO en } x = 2$$

Resultado

$$y_0 = 12 - 2^2 = 8 \qquad A_{\max} = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 32\,\text{u}^2$$

Respuesta: El rectángulo óptimo tiene base $ 4\,\text{u} $ y altura $ 8\,\text{u} $, con área máxima $ 32\,\text{u}^2 $.

Gema

En los rectángulos inscriptos en curvas simétricas, ¡conviene usar la simetría a tu favor! Si la curva es par, el rectángulo óptimo tiene su centro en el origen y la base es $2x_0$. ¡Menos trabajo!

Ejemplo 4 Medio — Ventana normanda (rectángulo + semicírculo)

Problema: Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo de radio $ x $. El perímetro total de la ventana es $ 4\,\text{m} $. Hallá las dimensiones que maximizan el área de la ventana.

Datos

Radio del semicírculo: $ x $. Altura del rectángulo: $ y $. Perímetro: $ P = 2x + 2y + \pi x = 4 $.

Función restricción → despejar y

$$2x + 2y + \pi x = 4 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{4 - (2+\pi)x}{2}$$

Función objetivo en una variable

$$\begin{aligned} A(x) &= 2x \cdot y + \frac{\pi x^2}{2} = 2x \cdot \frac{4 - (2+\pi)x}{2} + \frac{\pi x^2}{2} \\[6pt] &= x\left[4 - (2+\pi)x\right] + \frac{\pi x^2}{2} \\[6pt] &= 4x - 2x^2 - \pi x^2 + \frac{\pi x^2}{2} = 4x - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)x^2 \end{aligned}$$

Derivar e igualar a cero

$$A'(x) = 4 - (4+\pi)x = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = \frac{4}{4+\pi}$$

Clasificar

$$A''(x) = -(4+\pi) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{MÁXIMO en } x_0 = \frac{4}{4+\pi} \approx 0{,}56\,\text{m}$$

Como es el único punto crítico y $ A $ es continua en su dominio, hay un máximo absoluto.

Resultado

$$x_0 = \frac{4}{4+\pi} \approx 0{,}56\,\text{m} \qquad y_0 = \frac{4-(2+\pi)\cdot x_0}{2} \approx 0{,}56\,\text{m}$$

Respuesta: El radio del semicírculo y la altura del rectángulo son iguales: $ x_0 = y_0 \approx 0{,}56\,\text{m} $, maximizando el área.

Elvira

Cuando la segunda derivada es una constante negativa, como en este caso, no necesitás ni evaluarla en el punto crítico: sabés de entrada que cualquier punto crítico es un máximo. ¡Ahorrás tiempo!

Ejemplo 5 Difícil — Depósito de costo mínimo

Problema: Se va a revestir un depósito de forma de prisma rectangular (sin tapa). El material para las paredes laterales cuesta U$S 30/m² y el piso U$S 40/m². La profundidad es constante $ h = 1{,}25\,\text{m} $ y el volumen es $ 25\,\text{m}^3 $. Hallá las dimensiones de la base que minimizan el costo.

Datos

$ h = 1{,}25\,\text{m} $, $ V = 25\,\text{m}^3 $, costo paredes = 30 U$S/m², costo piso = 40 U$S/m².

Función restricción

$$V = x \cdot y \cdot h \quad \Rightarrow \quad 25 = x \cdot y \cdot 1{,}25 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{20}{x}$$

Función objetivo: Costo total

Área de las 4 paredes: $ 2xh + 2yh $. Área del piso: $ xy $.

$$C(x,y) = 30(2xh + 2yh) + 40xy$$

Sustituimos $ h = 1{,}25 $ e $ y = 20/x $:

$$\begin{aligned} C(x) &= 30\!\left(2x\cdot1{,}25 + 2\cdot\tfrac{20}{x}\cdot1{,}25\right) + 40\cdot x \cdot \tfrac{20}{x} \\[6pt] &= 30(2{,}5x + \tfrac{50}{x}) + 800 = 75x + \frac{1500}{x} + 800 \end{aligned}$$

Derivar e igualar a cero

$$C'(x) = 75 - \frac{1500}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1500}{75} = 20 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\,\text{m}$$

Clasificar

$$C''(x) = \frac{3000}{x^3} > 0 \;\forall x > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{MÍNIMO en } x = \sqrt{20}$$

Resultado

$$x = \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\text{m} \qquad y = \frac{20}{\sqrt{20}} = \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\text{m}$$ $$C_{\min} = 75\sqrt{20} + \frac{1500}{\sqrt{20}} + 800 = 75\sqrt{20} + 75\sqrt{20} + 800 = 150\sqrt{20} + 800 \approx 1470\,\text{U\$S}$$

Respuesta: La base óptima es un cuadrado de lado $ \approx 4{,}47\,\text{m} $, con costo mínimo $ \approx 1470\,\text{U\$S} $.

04 · Errores Errores típicos ▼

❌ Olvidar el dominio de la variable
Si el problema dice "longitud de un lado", la variable debe ser positiva. Un punto crítico negativo no tiene sentido físico y debe descartarse. Siempre escribí el dominio al inicio.

❌ Confundir función objetivo con función restricción
La función objetivo es la que querés optimizar (área, costo, volumen). La restricción es la ecuación adicional que vincula las variables (perímetro fijo, volumen dado). Son distintas y cumplen roles distintos.

❌ No sustituir la restricción antes de derivar
Si la función objetivo tiene dos variables ($ A = x \cdot y $), no podés derivarla directamente. Primero usá la restricción para eliminar una variable. Solo después derivás.

❌ Encontrar el punto crítico y no clasificarlo
Un punto donde $ f'(x_0) = 0 $ puede ser un máximo, un mínimo, o un punto de inflexión. Siempre confirmá con $ f'' $ o con el análisis del signo de $ f' $.

❌ No verificar unidades ni responder la pregunta
Si el problema pide el "tamaño mínimo de un pedido en unidades" y vos respondés con el costo, estás mal. Siempre leé qué pide el enunciado y respondé en las unidades correctas.

❌ Tomar el máximo cuando pedían el mínimo (o viceversa)
Parece obvio, pero ocurre. Releé el enunciado: ¿minimizás o maximizás? El criterio de la segunda derivada te dice si es máximo o mínimo, pero vos tenés que saber qué buscabas.

05 · Checklist Checklist de verificación ▼

Antes de dar por terminado el ejercicio, revisá punto por punto:

✦

¿Hice un esquema con todas las variables etiquetadas? El dibujo evita confundir qué es qué.

✦

¿Anoté los datos con sus unidades y establecí el dominio? ($ x > 0 $, $ y > 0 $, etc.)

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¿La función objetivo está expresada en UNA sola variable? Usando la restricción si era necesario.

✦

¿Derivé correctamente y resolví $ f'(x) = 0 $? Revisá álgebra y factorizaciones.

✦

¿Descarté puntos críticos fuera del dominio? Un lado negativo no existe.

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¿Clasifiqué el punto crítico con $ f'' $? ¿Es máximo o mínimo?

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¿Calculé el valor óptimo de la función objetivo? No solo el valor de $ x $ sino el de $ f(x_0) $.

✦

¿Respondí exactamente lo que pedía el enunciado con sus unidades?

06 · Práctica Ejercicios de práctica ▼

Resolvé los siguientes problemas aplicando la estrategia de los 7 pasos. Cuando creas que terminaste, desplegá la respuesta para verificar.

P.1 Se tiene un alambre de $ 274\,\text{cm} $ que se dobla para formar una caja sin tapa con base cuadrada de lado $ x $ y altura $ y $. El perímetro de los aristas es $ 4x + y = 274 $. Encontrá las dimensiones que maximizan el volumen.

Función restricción: $ y = 274 - 4x $.
Función objetivo: $ V(x) = x^2 \cdot y = x^2(274 - 4x) = 274x^2 - 4x^3 $.
Punto crítico: $ V'(x) = 548x - 12x^2 = 0 \Rightarrow x(548 - 12x) = 0 \Rightarrow x = 45{,}6\,\text{cm} $ (descartamos $ x=0 $).
Clasificación: $ V''(x) = 548 - 24x \Rightarrow V''(45{,}6) \approx -547 < 0 $ → MÁXIMO.
Respuesta: $ x \approx 45{,}6\,\text{cm} $, $ y = 274 - 4(45{,}6) \approx 91{,}3\,\text{cm} $, $ V_{\max} \approx 190\,470\,\text{cm}^3 $.

P.2 Un empresario calcula que el costo de pedido y almacenamiento de $ x $ unidades es $ C(x) = 2x + \dfrac{30000}{x} $, con la restricción $ x \leq 300 $. Hallá el tamaño de pedido que minimiza el costo.

Derivada: $ C'(x) = 2 - \dfrac{30000}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 15000 \Rightarrow x = 50\sqrt{6} \approx 122{,}5 $.
Verificación de restricción: $ 122{,}5 \leq 300 $ ✓.
Clasificación: $ C''(x) = \dfrac{60000}{x^3} > 0 $ → MÍNIMO.
Respuesta: El pedido óptimo es $ \approx 122{,}5 $ unidades, con costo mínimo $ C(122{,}5) \approx 490\,\text{U\$S} $.

P.3 Se dispone de $ 200\,\text{m} $ de valla para cercar un corral rectangular dividido en dos partes iguales por una valla interior paralela a uno de los lados. Encontrá las dimensiones que maximizan el área total.

Restricción: $ 2x + 3y = 200 \Rightarrow y = \dfrac{200 - 2x}{3} $.
Función objetivo: $ A(x) = x \cdot y = x \cdot \dfrac{200 - 2x}{3} = \dfrac{200x - 2x^2}{3} $.
Punto crítico: $ A'(x) = \dfrac{200 - 4x}{3} = 0 \Rightarrow x = 50\,\text{m} $.
Clasificación: $ A''(x) = -\dfrac{4}{3} < 0 $ → MÁXIMO.
Respuesta: $ x = 50\,\text{m} $, $ y = \dfrac{200 - 100}{3} \approx 33{,}3\,\text{m} $, $ A_{\max} = 50 \cdot 33{,}3 \approx 1666{,}7\,\text{m}^2 $.

P.4 Encontrá el punto de la curva $ f(x) = \sqrt{x} + 3 $ más cercano al punto $ P = (1,\,3) $.

Función distancia al cuadrado: $ D^2(x) = (1-x)^2 + (3 - \sqrt{x} - 3)^2 = (1-x)^2 + x $.
Derivada: $ \dfrac{d(D^2)}{dx} = 2(1-x)(-1) + 1 = -2 + 2x + 1 = 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} $.
Clasificación: $ \dfrac{d^2(D^2)}{dx^2} = 2 > 0 $ → MÍNIMO de distancia.
Respuesta: El punto más cercano es $ \left(\dfrac{1}{2},\, \sqrt{\dfrac{1}{2}} + 3\right) \approx (0{,}5;\,3{,}71) $.

P.5 El papel impreso de una página ocupa un área de $ 200\,\text{cm}^2 $. La página tiene márgenes de $ 3\,\text{cm} $ a los lados y $ 6\,\text{cm} $ arriba y abajo. Encontrá las dimensiones de la página que minimizan el área total de papel.

Variables: $ x $ = ancho de la página, $ y $ = alto. Área impresa: $ (x-6)(y-12) = 200 $.
Restricción → despejar y: $ y = \dfrac{200}{x-6} + 12 $.
Función objetivo: $ A(x) = x \cdot y = x \left(\dfrac{200}{x-6} + 12\right) $.
Derivar, igualar a 0 y resolver: Se obtiene $ x = 16\,\text{cm} $ (el otro punto es negativo, descartado).
Respuesta: $ x = 16\,\text{cm} $, $ y = \dfrac{200}{10} + 12 = 32\,\text{cm} $. Área mínima de la página: $ 16 \times 32 = 512\,\text{cm}^2 $.