Razón de Cambio · Insight

Sección 01

Conceptos Clave

▼

Razón de cambio es la velocidad con la que una cantidad varía respecto al tiempo. Matemáticamente, si una variable $ y $ depende del tiempo $ t $, su razón de cambio es la derivada: $$ \frac{dy}{dt} $$

En la vida real, muchas magnitudes cambian simultáneamente. Por ejemplo: cuando llenás un tanque, el volumen del líquido y la altura cambian al mismo tiempo. La derivada nos permite conectar esas velocidades de cambio entre sí.

La herramienta clave es la regla de la cadena. Si una variable $ V $ depende de otra variable $ h $, y $ h $ depende del tiempo $ t $, entonces:

$$ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} $$

Es decir: la razón de cambio del volumen respecto al tiempo se descompone en dos factores — la derivada "geométrica" y la razón de cambio de la variable intermedia.

Gema

Pensalo así: la regla de la cadena es como un "árbol de variables". Arriba está lo que querés, abajo el tiempo $ t $, y en el medio la variable que las conecta. Cada rama es una derivada.

Sección 02

Estrategia de Resolución

▼

Seguí estos pasos como si fuera una receta. Si los aplicás en orden, cualquier ejercicio de razón de cambio se vuelve mecánico.

Paso 1 — Graficar la situación
Hacé un dibujo de lo que está pasando. Identificá las magnitudes geométricas (radio, altura, lado, etc.) y señalá cuáles cambian con el tiempo.

Paso 2 — Identificar variables y constantes
Separá claramente qué depende del tiempo $ t $ (variables) y qué permanece fijo (constantes). Suponer que todas las variables dependen de $ t $, incluso si no es obvio.

Paso 3 — Anotar los datos y sus unidades
Escribí todos los datos numéricos que da el problema, incluyendo las unidades. Si hay que convertir unidades, hacelo acá. Identificá qué razón de cambio te dan como dato y cuál te piden hallar.

Paso 4 — Identificar lo que se pide
Generalmente te piden una razón de cambio expresada como derivada: $ \frac{dV}{dt} $, $ \frac{dh}{dt} $, $ \frac{dA}{dt} $, $ \frac{dx}{dt} $, etc.

Paso 5 — Escribir la función que involucra las variables
Encontrá la fórmula geométrica (volumen, área, perímetro, Pitágoras, etc.) que conecte las variables del problema. A veces necesitás más de una ecuación para eliminar variables.

Paso 6 — Derivar respecto a $ t $, evaluar y despejar
Derivá ambos lados de la ecuación respecto al tiempo usando la regla de la cadena. Luego reemplazá los valores numéricos y despejá lo que te piden.

Elvira

Ojo: el error más común es derivar después de reemplazar valores numéricos. Primero derivás la fórmula general, y recién después evaluás en el instante que pide el problema.

Sección 03

Ejemplos Resueltos

▼

Ejemplo 1 — Tanque cilíndrico

¿Con qué rapidez baja el nivel de fluido de un tanque cilíndrico de radio $ 3 \, \text{m} $, si se bombea hacia afuera el fluido a razón de $ 3000 \, \text{L/min} $?

Datos:

$ r = 3 \, \text{m} $ (constante)
$ \frac{dV}{dt} = -3000 \, \text{L/min} = -3 \, \text{m}^3\text{/min} $ (negativo porque sale)
Se pide: $ \frac{dh}{dt} = \, ? $

Fórmula del volumen del cilindro:

$$ V = \pi \, r^2 \, h $$

Como $ r $ es constante, derivamos respecto a $ t $ usando la regla de la cadena:

$$ \frac{dV}{dt} = \pi \, r^2 \cdot \frac{dh}{dt} $$

Evaluamos y despejamos:

$$ \begin{aligned} -3 \; \frac{\text{m}^3}{\text{min}} &= \pi \cdot (3)^2 \cdot \frac{dh}{dt} \\[8pt] \frac{dh}{dt} &= \frac{-3}{9\pi} = -\frac{1}{3\pi} \approx -0{,}106 \; \frac{\text{m}}{\text{min}} \end{aligned} $$

Respuesta: El nivel baja a razón de $ \approx 10{,}6 \; \text{cm/min} $.

Gema

El signo negativo indica que $ h $ está disminuyendo. Siempre prestá atención al signo: si algo se vacía, la razón de cambio del volumen es negativa.

Ejemplo 2 — Cubo que crece

Cada arista de un cubo está aumentando a razón de $ 3 \, \text{cm/s} $. ¿Qué tan rápido está aumentando el volumen del cubo cuando la arista mide $ 12 \, \text{cm} $?

Datos: $ \frac{dx}{dt} = 3 \, \text{cm/s} $, hallar $ \frac{dV}{dt} $ cuando $ x = 12 \, \text{cm} $

$$ V(x) = x^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{dV}{dx} = 3x^2 $$

Por regla de la cadena:

$$ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt} $$

Evaluamos en $ x = 12 $:

$$ \frac{dV}{dt} = 3 \cdot (12)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 144 \cdot 3 = 1296 \; \frac{\text{cm}^3}{\text{s}} $$

Respuesta: El volumen aumenta a $ 1296 \; \text{cm}^3\text{/s} $.

Ejemplo 3 — Ondas circulares

Una roca arrojada a un estanque tranquilo provoca una onda circular. El radio de la onda se expande a razón constante de $ 2 \, \text{pies/s} $. Hallar:

¿Con qué rapidez crece el diámetro?
¿Con qué rapidez crece la circunferencia?
$ \frac{dA}{dt} $ cuando $ r = 3 \, \text{pies} $

Dato: $ \frac{dr}{dt} = 2 \, \text{pies/s} $

a) Diámetro: $ D = 2r \Rightarrow \frac{dD}{dt} = 2 \cdot \frac{dr}{dt} = 2 \cdot 2 = 4 \; \text{pies/s} $

b) Circunferencia: $ P = 2\pi r \Rightarrow \frac{dP}{dt} = 2\pi \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi \; \text{pies/s} $

c) Área cuando $ r = 3 $:

$$ A = \pi r^2 \Rightarrow \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi \cdot 3 \cdot 2 = 12\pi \; \frac{\text{pies}^2}{\text{s}} $$

Elvira

Observá que $ \frac{dA}{dt} $ depende de $ r $, así que necesitás saber el valor de $ r $ en el instante que te preguntan. En cambio, $ \frac{dD}{dt} $ y $ \frac{dP}{dt} $ son constantes porque solo dependen de $ \frac{dr}{dt} $.

Ejemplo 4 — Recipiente cónico

Se vierte líquido en un recipiente cónico a razón de $ 0{,}85 \, \text{cm}^3\text{/s} $. El cono tiene la propiedad de que el diámetro siempre es igual a la altura ($ D = h $, o sea $ r = \frac{h}{2} $). ¿Con qué rapidez sube el nivel cuando $ h = 1 \, \text{cm} $?

Datos: $ \frac{dV}{dt} = 0{,}85 \, \text{cm}^3\text{/s} $, $ r = \frac{h}{2} $

Eliminamos $ r $ para tener $ V $ solo en función de $ h $:

$$ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi}{12} h^3 $$

Derivamos respecto a $ t $:

$$ \frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \cdot \frac{dh}{dt} $$

Evaluamos en $ h = 1 $:

$$ \begin{aligned} 0{,}85 &= \frac{\pi \cdot 1}{4} \cdot \frac{dh}{dt} \\[8pt] \frac{dh}{dt} &= \frac{0{,}85 \times 4}{\pi} \approx 1{,}08 \; \frac{\text{cm}}{\text{s}} \end{aligned} $$

Respuesta: El nivel sube a $ \approx 1{,}08 \; \text{cm/s} $.

Gema

Clave en el cono: usamos la relación $ D = h $ para eliminar una variable antes de derivar. Si no lo hacés, te queda todo más complicado con dos incógnitas.

Sección 04

Errores Típicos

▼

Error 1 — Reemplazar valores antes de derivar
Si reemplazás $ r = 3 $ antes de derivar, perdés la variable y la derivada da $ 0 $. Siempre derivá la fórmula general y luego evaluá.

Error 2 — Olvidar el signo negativo
Si algo se vacía o disminuye, la razón de cambio correspondiente es negativa. Olvidar esto invierte el resultado.

Error 3 — No convertir unidades
Si te dan $ 3000 \, \text{L/min} $ y las dimensiones están en metros, tenés que convertir a $ \text{m}^3\text{/min} $ antes de operar. $ 1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L} $.

Error 4 — Confundir constantes con variables
Si el radio es fijo (como en un cilindro), es constante. Pero si algo crece (como una esfera inflándose), el radio es variable y hay que derivarlo respecto a $ t $.

Error 5 — Olvidar la regla de la cadena
Al derivar $ h^3 $ respecto a $ t $, el resultado no es $ 3h^2 $ sino $ 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt} $. Cada variable que depende de $ t $ aporta su propia razón de cambio.

Elvira

Regla de oro: si ves una variable que depende de $ t $ y la derivás, siempre multiplicá por su razón de cambio $ \frac{d(\cdot)}{dt} $. Es como una "etiqueta" que no podés olvidar.

Sección 05

Checklist de Verificación

▼

Antes de dar la respuesta final, verificá cada uno de estos puntos:

1. ¿Hiciste un dibujo de la situación?

2. ¿Identificaste correctamente qué es constante y qué es variable?

3. ¿Convertiste todas las unidades al mismo sistema?

4. ¿Derivaste antes de reemplazar valores numéricos?

5. ¿Aplicaste la regla de la cadena a cada variable que depende de $ t $?

6. ¿El signo de la respuesta tiene sentido? (¿sube o baja?)

7. ¿Las unidades de la respuesta son coherentes?

Gema

Si la respuesta dice que el nivel de un tanque que se vacía está subiendo... algo salió mal. Siempre chequeá que el resultado tenga sentido físico.

Sección 06

Ejercicios de Práctica

▼

Ejercicio 1

El área de un cuadrado aumenta a razón de $ 2 \, \text{cm}^2\text{/s} $. ¿Con qué rapidez crece el lado cuando el área vale $ 16 \, \text{cm}^2 $?

Ver respuesta

$$ A = x^2 \Rightarrow x = 4 \text{ cm} $$ $$ \frac{dA}{dt} = 2x \cdot \frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4} \; \text{cm/s} $$

Ejercicio 2

Se bombea agua hacia un recipiente esférico elástico, de modo que su volumen aumenta a razón de $ 20 \, \text{m}^3\text{/s} $. ¿Con qué rapidez crece el radio cuando el diámetro es $ 1{,}8 \, \text{m} $?

Ver respuesta

$$ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow \frac{dV}{dt} = 4\pi R^2 \cdot \frac{dR}{dt} $$ $$ D = 1{,}8 \, \text{m} \Rightarrow R = 0{,}9 \, \text{m} $$ $$ \frac{dR}{dt} = \frac{20}{4\pi (0{,}9)^2} \approx 1{,}96 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} $$

Ejercicio 3

Una escalera de $ 3 \, \text{m} $ está apoyada contra una pared. El pie de la escalera se aleja de la pared a razón de $ 0{,}12 \, \text{m/s} $. ¿Con qué rapidez baja la parte superior cuando está a $ 2{,}5 \, \text{m} $ del suelo?

Ver respuesta

$$ x^2 + y^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 $$ $$ y = 2{,}5 \Rightarrow x = \sqrt{9 - 6{,}25} \approx 1{,}66 \, \text{m} $$ $$ \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \cdot \frac{dx}{dt} = -\frac{1{,}66}{2{,}5} \cdot 0{,}12 \approx -0{,}08 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} $$

Ejercicio 4

El lado de un cuadrado crece a razón de $ 0{,}1 \, \text{m/s} $. ¿Con qué rapidez aumenta el área cuando el lado mide $ 3 \, \text{m} $?

Ver respuesta

$$ A = x^2 \Rightarrow \frac{dA}{dt} = 2x \cdot \frac{dx}{dt} = 2 \cdot 3 \cdot 0{,}1 = 0{,}6 \; \frac{\text{m}^2}{\text{s}} $$

Elvira

Intentá resolver cada ejercicio sin mirar la respuesta primero. Seguí los 6 pasos de la receta y después comparás. Así se aprende de verdad.