Conocimiento previo: ecuacion de la recta
Recordemos que la ecuacion de una recta que pasa por un punto \( P = (x_0, y_0) \) con pendiente \( m \) es:
Esta es la ecuacion punto-pendiente. Ahora bien, si la recta es tangente a una curva \( f(x) \) en el punto \( P = (x_0, f(x_0)) \), la pendiente de esa recta tangente no es otra cosa que la derivada evaluada en ese punto.
Elvira
Traduccion: la derivada \( f'(x_0) \) te dice exactamente la inclinacion de la curva en ese punto. Es como un "zoom" infinito que convierte la curva en una recta.
La recta tangente
Reemplazamos en la ecuacion punto-pendiente:
Gema
Es simplemente un cambio de nombre. Donde antes decias \( m \), ahora decis \( f'(x_0) \). Donde decias \( y_0 \), ahora decis \( f(x_0) \). Nada mas.
La recta normal
La recta normal es perpendicular a la tangente en el mismo punto. Recordemos que dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es \( -1 \):
La pendiente de la normal es la opuesta e inversa de la pendiente de la tangente.
Elvira
Ojo: si \( f'(x_0) = 0 \), la tangente es horizontal y la normal es vertical (\( x = x_0 \)). No intentes dividir por cero.
Situacion grafica
Ejemplo 1
Enunciado: Sea \( f(x) = \dfrac{2x}{x+1} \). Hallar las rectas tangentes cuya pendiente sea \( m_{tg} = \dfrac{1}{2} \).
Paso 1: Derivamos usando la regla del cociente:
$$ f'(x) = \frac{2(x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2} $$Paso 2: Igualamos a la pendiente pedida:
$$ \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{1}{2} \implies (x+1)^2 = 4 \implies |x+1| = 2 $$ $$ x+1 = 2 \implies x = 1 \qquad \text{o} \qquad x+1 = -2 \implies x = -3 $$Paso 3: Armamos las rectas tangentes:
Para \( x_0 = 1 \): \( f(1) = 1 \), \( f'(1) = \dfrac{1}{2} \)
$$ L_1: \quad y = \frac{1}{2}(x - 1) + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} $$Para \( x_0 = -3 \): \( f(-3) = 3 \), \( f'(-3) = \dfrac{1}{2} \)
$$ L_2: \quad y = \frac{1}{2}(x + 3) + 3 = \frac{1}{2}x + \frac{9}{2} $$Ejemplo 2
Enunciado: Sea \( f(x) = \sqrt{x - 3} \). Hallar la recta tangente y la recta normal en \( x_0 = 4 \).
Paso 1: Calculamos la derivada usando la definicion (como en el PDF):
$$ f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{f(4+h) - f(4)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h+1} - 1}{h} $$Racionalizamos multiplicando por el conjugado:
$$ = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{h+1}-1)(\sqrt{h+1}+1)}{h(\sqrt{h+1}+1)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{h+1}+1)} = \frac{1}{2} $$Paso 2: Con \( f(4) = \sqrt{1} = 1 \) y \( f'(4) = \dfrac{1}{2} \):
$$ L_{tg}: \quad y = \frac{1}{2}(x - 4) + 1 = \frac{1}{2}x - 1 $$ $$ L_N: \quad y = -\frac{1}{f'(4)}(x - 4) + f(4) = -2(x - 4) + 1 = -2x + 9 $$
Gema
Notaste que en ambos ejemplos la pendiente fue \( \frac{1}{2} \)? Coincidencia del PDF, pero el procedimiento es el mismo para cualquier valor de \( m \).
¿Por que la necesitamos?
Cuando derivamos, tenemos reglas claras para dos situaciones:
Caso 1 — Funcion elevada a un numero real:
$$ h(x) = [f(x)]^m \implies h'(x) = m \cdot [f(x)]^{m-1} \cdot f'(x) $$Caso 2 — Numero elevado a una funcion (exponencial):
$$ h(x) = a^{g(x)} \implies h'(x) = a^{g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g'(x) $$Pero... que hacemos si tenemos una funcion elevada a otra funcion?
Aca se nos acaban las herramientas anteriores. Para resolverlo, aplicamos logaritmo natural y usamos la propiedad que permite bajar el exponente:
Elvira
La propiedad clave es: \( \ln(a^n) = n \cdot \ln(a) \). Esto convierte el exponente en un factor, que es mucho mas facil de derivar.
Procedimiento
Gema
No intentes memorizar esta formula. Mejor aprendete el procedimiento: aplicar \( \ln \), bajar el exponente, derivar ambos miembros, despejar \( h'(x) \).
Ejemplo 1
Enunciado: Derivar \( f(x) = x^{\sin x} \).
Paso 1: Aplicamos \( \ln \):
$$ \ln f(x) = \sin(x) \cdot \ln(x) $$Paso 2: Derivamos ambos miembros:
$$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \cos(x) \cdot \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{1}{x} $$Paso 3: Despejamos \( f'(x) \):
$$ \boxed{ f'(x) = \left[ \cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right] \cdot x^{\sin x} } $$Ejemplo 2
Enunciado: Derivar \( f(x) = (x^2 + 1)^{\ln x} \).
Paso 1: Aplicamos \( \ln \):
$$ \ln f(x) = \ln(x) \cdot \ln(x^2 + 1) $$Paso 2: Derivamos (producto de dos funciones):
$$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x} \cdot \ln(x^2 + 1) + \ln(x) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} $$Paso 3: Despejamos:
$$ \boxed{ f'(x) = \left[ \frac{\ln(x^2 + 1)}{x} + \frac{2x \cdot \ln(x)}{x^2 + 1} \right] \cdot (x^2 + 1)^{\ln x} } $$La idea central
Hasta ahora, siempre teniamos \( y = f(x) \) despejada. Pero hay ecuaciones donde no podemos despejar \( y \) en funcion de \( x \), por ejemplo:
$$ 3y + \cos(y) = x^2 $$Aca \( y \) sigue siendo funcion de \( x \) (es decir, \( y = f(x) \)), solo que no podemos escribirla explicitamente. Lo interesante es que a pesar de no conocer \( y = f(x) \), podemos calcular su derivada \( y' \).
Elvira
La clave es recordar que cada vez que derives algo que contenga \( y \), tenes que aplicar la regla de la cadena. Por ejemplo: la derivada de \( y^3 \) no es \( 3y^2 \), sino \( 3y^2 \cdot y' \).
Procedimiento
Al derivar implicitamente, tratamos a \( y \) como una funcion compuesta. Ejemplos utiles:
$$ (y^n)' = n \cdot y^{n-1} \cdot y' \qquad (\sin y)' = \cos(y) \cdot y' \qquad (\cos y)' = -\sin(y) \cdot y' $$
Gema
Es como si \( y \) fuera una "caja negra". No sabes que hay adentro, pero sabes que depende de \( x \). Por eso, cada vez que la derives, le pegas un \( y' \) al final.
Ejemplo 1
Enunciado: Hallar \( y' \) si \( 3y + \cos(y) = x^2 \).
Paso 1: Derivamos ambos miembros:
$$ 3 \cdot y' + [-\sin(y)] \cdot y' = 2x $$Paso 2: Factorizamos \( y' \):
$$ y' \cdot [3 - \sin(y)] = 2x $$Paso 3: Despejamos:
$$ \boxed{ y' = \frac{2x}{3 - \sin(y)} } $$Ejemplo 2
Enunciado: Sea \( y^2 = -8xy + 10x \). Hallar \( y' \) y la recta tangente en \( \left(\frac{1}{2}, 1\right) \).
Paso 1: Derivamos ambos miembros (el segundo termino usa la regla del producto):
$$ 2y \cdot y' = -8y - 8x \cdot y' + 10 $$Paso 2: Agrupamos terminos con \( y' \):
$$ 2y \cdot y' + 8x \cdot y' = -8y + 10 $$Paso 3: Factorizamos y despejamos:
$$ y'(2y + 8x) = 10 - 8y \implies y' = \frac{10 - 8y}{2y + 8x} $$Paso 4: Evaluamos en \( \left(\frac{1}{2}, 1\right) \):
$$ y'\!\left(\tfrac{1}{2}, 1\right) = \frac{10 - 8 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 8 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$Recta tangente:
$$ L_{tg}: \quad y = \frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right) + 1 $$Elvira
Presta atencion a estos errores. Los veo muy seguido en los parciales.
Error 1: Confundir la pendiente de la tangente con la de la normal.
Si \( f'(x_0) = 2 \), la pendiente de la normal es \( m_N = -\frac{1}{2} \), no \( m_N = -2 \) ni \( m_N = 2 \).
Error 2: Olvidar el \( y' \) en derivada implicita.
La derivada de \( y^3 \) es \( 3y^2 \cdot y' \), no simplemente \( 3y^2 \). Siempre que aparezca \( y \) hay que aplicar la regla de la cadena.
Error 3: Usar la regla de la potencia para \( [f(x)]^{g(x)} \).
No se puede derivar \( x^{\sin x} \) como si fuera \( x^n \). Necesitas derivada logaritmica.
Error 4: Olvidar reemplazar \( h(x) \) al final de la derivada logaritmica.
El ultimo paso siempre es multiplicar por \( h(x) = [f(x)]^{g(x)} \) para obtener \( h'(x) \).
Gema
Un truco para verificar: si derivaste implicitamente, tu resultado para \( y' \) puede tener \( x \) e \( y \). Eso es correcto, no te asustes.
Recta tangente y normal
1. Sea \( f(x) = x^2 + bx \) y la recta tangente en \( x = -3 \) tiene pendiente \( m = 2 \). Hallar \( b \) y la ecuacion de dicha recta tangente, sabiendo que pasa por \( (-3, f(-3)) \).
2. Hallar la recta tangente y la recta normal a \( f(x) = 2x^2 - 3x + 6 \) en el punto donde la pendiente de la tangente es \( -1 \).
Derivada logaritmica
3. Derivar \( f(x) = (\cos x)^{x^2} \).
4. Derivar \( f(x) = (e^x)^{\tan x} \). (Pista: simplifica primero usando propiedades de la exponencial.)
Derivada implicita
5. Hallar \( y' \) si \( x^2 + y^2 = 25 \). Luego, encontrar la recta tangente en el punto \( (3, 4) \).
6. Hallar \( y' \) si \( e^y + x \cdot y = x^3 \).
Elvira
Para cada ejercicio, segui siempre el mismo esquema: derivar, igualar o despejar, y armar la recta si se pide. La practica hace al maestro.