Apuntes Insight
Este apunte es exclusivo para estudiantes de Profe Seba.
Si ya tomás clases conmigo, pedime el acceso. Si no, escribime y te cuento cómo sumarte.
Continuar con Google
Análisis Matemático I · Límites
⏱ calculando...Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones derivables en un intervalo alrededor de un punto \(a\) (excepto posiblemente en \(a\) mismo), con \(g'(x) \neq 0\) en ese intervalo.
Si \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0\) o \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty\), entonces:
$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$siempre que el límite de la derecha exista (o sea \(\infty\)).
En otras palabras: cuando tenés una indeterminación al evaluar un límite, derivás numerador y denominador por separado (no es regla del cociente) y probás de nuevo.
Gema
Lo importante es que derivás cada pieza por su cuenta, como si fueran funciones independientes. No es \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}\) — acá es más simple: \(\frac{f'}{g'}\).
No todas las indeterminaciones se resuelven directamente con L'Hôpital. Aquí está la hoja de ruta:
| Forma | Ejemplo | Estrategia |
| \(\displaystyle \frac{0}{0}\) | \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) | Aplicar L'Hôpital directamente. |
| \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) | \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}\) | Aplicar L'Hôpital directamente (posiblemente varias veces). |
| \(\displaystyle \infty - \infty\) | \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (\sec x - \tan x)\) | Transformar a un cociente (denominador común u otra álgebra) hasta lograr \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\), luego L'Hôpital. |
| \(\displaystyle 0 \cdot \infty\) | \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \ln x\) | Reescribir como cociente: \(x \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\) (forma \(\frac{\infty}{\infty}\)), luego L'Hôpital. |
| \(\displaystyle 1^{\infty}\) | \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) | Aplicar logaritmo natural: \(\ln L = \lim \infty \cdot \ln(...) = \lim 0 \cdot \infty\), luego transformar a cociente y L'Hôpital. Finalmente \(L = e^{\ln L}\). |
| \(\displaystyle 0^0\), \(\infty^0\) | \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x\) | Aplicar logaritmo natural: \(\ln L = \lim x \ln x = 0 \cdot \infty\), transformar a \(\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\) y L'Hôpital. Finalmente \(L = e^{\ln L}\). |
Es el caso más directo. Derivás numerador y denominador por separado, y evaluás.
Calcular \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\).
Calcular \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}\).
Gema
Si después de derivar sigue siendo indeterminación, derivá de nuevo. No hay límite de "cuántas veces". Lo importante es que en algún momento dejes de tener \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\), o reconozcas que el límite no existe.
Cuando tanto numerador como denominador divergen, L'Hôpital también aplica. Derivás y evaluás, igual que en \(\frac{0}{0}\).
Calcular \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}\).
Calcular \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (\sec x - \tan x)\).
Cuando \(x \to \frac{\pi}{2}^-\):
$$ \sec x = \frac{1}{\cos x} \to \frac{1}{0^+} = +\infty $$ $$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \to \frac{1}{0^+} = +\infty $$Forma \(\infty - \infty\) (no puedo aplicar L'Hôpital directamente).
Numerador: \(1 - \sin\frac{\pi}{2} = 1 - 1 = 0\)
Denominador: \(\cos\frac{\pi}{2} = 0\)
Forma \(\frac{0}{0}\) → ahora sí, aplicá L'Hôpital.
Calcular \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \ln x\).
\(x \to 0^+\) (pequeño)
\(\ln x \to -\infty\)
Forma \(0 \cdot (-\infty) = 0 \cdot \infty\) (indeterminado).
Opción 1: invertir \(x\)
$$ x \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} $$Cuando \(x \to 0^+\): numerador \(\ln x \to -\infty\), denominador \(\frac{1}{x} \to +\infty\). Forma \(\frac{-\infty}{+\infty}\) (podés aplicar L'Hôpital).
Elvira
El truco para \(0 \cdot \infty\) es siempre lo mismo: si tenés \(A \cdot B\) donde uno va a \(0\) y el otro a \(\infty\), invertís uno de los dos para que ambos vayan al infinito. Así obtenés \(\frac{\infty}{\infty}\) o similar, y podés usar L'Hôpital.
Calcular \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\).
\(\left(1 + \frac{1}{x}\right) \to 1\)
Potencia \(x \to \infty\)
Forma \(1^\infty\) (indeterminada).
Cuando \(x \to \infty\):
\(x \to \infty\)
\(\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \to \ln(1) = 0\)
Forma \(\infty \cdot 0\) → reescribir como cociente.
Ahora cuando \(x \to \infty\): numerador \(\to 0\), denominador \(\to 0\). Forma \(\frac{0}{0}\).
Derivada del numerador (con regla de la cadena):
$$ \frac{d}{dx}\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{-\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{-1}{x^2 + x} $$Derivada del denominador:
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} $$Aplicando L'Hôpital:
$$ \ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-1}{x^2 + x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{x^2 + x} \cdot \frac{x^2}{-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 + x} $$Divide numerador y denominador por \(x^2\):
$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{1} = 1 $$Entonces \(\ln L = 1\).
Calcular \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x\).
Base \(x \to 0^+\)
Exponente \(x \to 0^+\)
Forma \(0^0\) (indeterminada).
Ya sabemos que:
$$ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 $$Por lo tanto \(\ln L = 0\).
Calcular \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}\).
Numerador: \(\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x} - 1) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\)
Denominador: \(\frac{d}{dx}(x) = 1\)
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{1} $$Calcular \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\sin x}\).
¡NO APLIQUES L'HÔPITAL DIRECTAMENTE! Evaluá primero:
Numerador: \(e^0 = 1\)
Denominador: \(\sin 0 = 0\)
Cociente: \(\frac{1}{0}\) → esto es \(\infty\), no una indeterminación. El límite no existe (o diverge a \(\infty\)).
No derivés sin verificar primero que hay indeterminación \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\).
Elvira
Una falta clásica: aplicar L'Hôpital cuando no hay indeterminación. Siempre, siempre, primero evaluá. Si obtenés un número dividido por cero, o infinito menos una constante, no es indeterminación. L'Hôpital no aplica.
Resolvé los siguientes límites. Los primeros son directos (ya en forma \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\)); los últimos requieren transformación.
Verificar: \(\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}\) ✓
Derivar:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x}{1} = 2\cos 0 = 2 $$Respuesta: \(\boxed{2}\)
Verificar: \(\frac{e^0 - 1}{\sin 0} = \frac{0}{0}\) ✓
Derivar:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\cos x} = \frac{e^0}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1 $$Respuesta: \(\boxed{1}\)
Verificar: \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) ✓
Derivar:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - x} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to \infty} \frac{6x + 2}{10x - 1} $$Sigue siendo \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) → derivar nuevamente:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{6x + 2}{10x - 1} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to \infty} \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$Respuesta: \(\boxed{\frac{3}{5}}\)
Verificar: \(0^+ \cdot (-\infty) = 0 \cdot \infty\) (indeterminado)
Transformar a cociente:
$$ x^2 \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x^2}} $$Cuando \(x \to 0^+\): numerador \(\to -\infty\), denominador \(\to \infty\). Forma \(\frac{-\infty}{\infty}\).
Derivar:
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x^2}} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^3}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^3}{-2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{-2} = 0 $$Respuesta: \(\boxed{0}\)
Verificar: \(\frac{\tan 0 - 0}{0^3} = \frac{0}{0}\) ✓
Primera derivada:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} $$Sigue siendo \(\frac{0}{0}\) → derivar nuevamente:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2 x \tan x}{6x} $$Sigue siendo \(\frac{0}{0}\) → derivar nuevamente:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2 x \tan x}{6x} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0} \frac{2(\sec^2 x)(\sec^2 x) + 2(\sec x)(\sec x \tan x)(\tan x)}{6} $$Simplificando en \(x = 0\):
$$ = \frac{2(1)(1) + 0}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$Respuesta: \(\boxed{\frac{1}{3}}\)
📲 Compartí este apunte