Este teorema establece una relacion fundamental entre dos conceptos: la derivabilidad y la continuidad. Nos dice que la derivabilidad es una condicion mas fuerte que la continuidad.
Si \(f(x)\) es derivable en \(x = x_0\), entonces \(f(x)\) es continua en \(x_0\).
\(f(x)\) es derivable en \(x = x_0\).
Es decir, existe el limite \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\) y es finito.
\(f(x)\) es continua en \(x_0\).
Es decir, se cumple: \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
Atencion: la reciproca NO es cierta. Que una funcion sea continua no garantiza que sea derivable. El ejemplo clasico es \(f(x) = |x|\) en \(x = 0\): es continua, pero tiene un "pico" y no es derivable ahi.
Elvira
En criollo: si podes derivar una funcion en un punto, automaticamente es continua ahi. Pero ojo, el camino inverso no funciona: ser continua no te garantiza ser derivable.
Uso practico: la contrarreciproca
En la practica, este teorema se usa mucho por contrarreciproca:
Si \(f(x)\) no es continua en \(x_0\) \(\Rightarrow\) \(f(x)\) no es derivable en \(x_0\).
Esto es muy util en parciales: si demostras que la funcion no es continua, ya podes concluir directamente que no es derivable, sin necesidad de calcular la derivada.
Gema
Tip de parcial: si te piden analizar derivabilidad de una funcion a trozos, siempre empeza verificando continuidad. Si no es continua, ya esta, no es derivable y te ahorraste todo el trabajo de la derivada.
Analizar si la siguiente funcion es derivable en \(x = 0\):
Verificamos continuidad en \(x = 0\)
Evaluamos \(f(0)\): como \(0 \geq 0\), usamos la primera rama:
$$f(0) = e^{2 \cdot 0} + 3 \cdot 0 = e^0 + 0 = 1$$Calculamos los limites laterales
$$\lim_{x \to 0^+} \left(e^{2x} + 3x\right) = e^0 + 0 = 1$$ $$\lim_{x \to 0^-} \operatorname{sen}(2x) = \operatorname{sen}(0) = 0$$Conclusion
Como los limites laterales son distintos (\(1 \neq 0\)), no existe \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).
Por lo tanto, \(f(x)\) no es continua en \(x = 0\).
Aplicando el teorema (por contrarreciproca): \(f(x)\) no es derivable en \(x = 0\).
Sea \(f(x) = |x|\). Analizar derivabilidad en \(x = 0\).
Continuidad: \(f(0) = 0\) y \(\displaystyle\lim_{x \to 0} |x| = 0\). Es continua en \(x=0\).
Derivadas laterales:
$$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$$ $$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$$Conclusion: Como \(f'(0^+) = 1 \neq -1 = f'(0^-)\), la funcion no es derivable en \(x = 0\) a pesar de ser continua. Esto confirma que la reciproca del teorema es falsa.
El Teorema del Valor Medio de Lagrange es uno de los resultados mas importantes del calculo. Nos garantiza que, bajo ciertas condiciones, existe al menos un punto donde la pendiente de la recta tangente es igual a la pendiente de la recta secante que une los extremos.
\(f(x)\) es continua en \([a, b]\).
La funcion no tiene saltos ni agujeros en todo el intervalo cerrado.
\(f(x)\) es derivable en \((a, b)\).
La funcion tiene derivada definida en todo el intervalo abierto (no necesita ser derivable en los extremos).
Existe al menos un \(c \in (a, b)\) tal que:
Es decir, la derivada en \(c\) (pendiente de la tangente, \(m_{tg}\)) coincide con la pendiente de la recta secante que une \((a, f(a))\) con \((b, f(b))\), que llamamos \(m_s\).
Elvira
Traduccion: si la curva es "suave" (continua y derivable), en algun punto intermedio la tangente es paralela a la recta que une los extremos. Pensalo como un viaje en auto: si hiciste 300 km en 3 horas, en algun momento ibas exactamente a 100 km/h.
Sea \(f(x) = -x^3 - x^2 + x\) en \([a, b] = [-1, 2]\). Verificar las hipotesis y hallar el valor de \(c\).
\(f\) es un polinomio, por lo tanto es continua en \(\mathbb{R}\). En particular, es continua en \([-1, 2]\). ✓
\(f\) es un polinomio, por lo tanto es derivable en \(\mathbb{R}\). En particular, es derivable en \((-1, 2)\). ✓
Existe \(c \in (-1, 2)\) tal que \(f'(c) = \frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)}\)
Calculamos los valores:
$$f(2) = -(2)^3 - (2)^2 + 2 = -8 - 4 + 2 = -10$$ $$f(-1) = -(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 - 1 = -1$$ $$m_s = \frac{-10 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$$Ahora planteamos \(f'(c) = -3\):
$$f'(x) = -3x^2 - 2x + 1$$ $$-3c^2 - 2c + 1 = -3$$ $$-3c^2 - 2c + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3c^2 + 2c - 4 = 0$$Aplicando Bhaskara:
$$c = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{6}$$ $$c_1 \approx 0{,}87 \in (-1, 2) \quad \checkmark$$ $$c_2 \approx -1{,}53 \notin (-1, 2) \quad \text{(se descarta)}$$
Gema
Ojo con esto: al resolver la ecuacion te pueden salir varias soluciones, pero solo valen las que caen dentro del intervalo abierto \((a, b)\). Las que estan afuera, se descartan.
Sea \(f(x) = \dfrac{1 - 2x}{3x - 4}\) en \(I = [1, 2]\).
El dominio de \(f\) es \(\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{4}{3}\right\}\). Como \(\frac{4}{3} \in [1, 2]\), la funcion tiene una asintota vertical dentro del intervalo.
\(f\) no es continua en \([1, 2]\). ✗
Conclusion: No se cumplen las hipotesis del teorema. Por lo tanto, no podemos asegurar nada. El teorema no se aplica.
Error comun: decir "no existe \(c\)" cuando no se cumplen las hipotesis. Lo correcto es decir que no podemos afirmar la existencia de \(c\). El teorema no nos da informacion en este caso.
Relacion con Lagrange: el Teorema de Rolle es un caso particular del Teorema del Valor Medio. Si \(f(a) = f(b)\), entonces la pendiente de la secante es \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0\), y el TVM nos dice que existe \(c\) con \(f'(c) = 0\). Exactamente lo que dice Rolle.
\(f(x)\) es continua en \([a, b]\).
\(f(x)\) es derivable en \((a, b)\).
\(f(a) = f(b)\).
Los valores de la funcion en los extremos del intervalo son iguales.
Existe al menos un \(c \in (a, b)\) tal que:
Es decir, hay al menos un punto donde la recta tangente es horizontal.
Elvira
Pensalo asi: si la funcion "sale y llega a la misma altura", en algun momento tuvo que "darse vuelta" (subir y bajar, o bajar y subir). En ese punto de giro, la tangente es horizontal.
Sea \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) en \([1, 3]\). Verificar hipotesis y hallar \(c\).
\(f\) es polinomio \(\Rightarrow\) continua en \(\mathbb{R}\). En particular, en \([1, 3]\). ✓
\(f\) es polinomio \(\Rightarrow\) derivable en \(\mathbb{R}\). En particular, en \((1, 3)\). ✓
\(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) y \(f(3) = 9 - 12 + 3 = 0\). Entonces \(f(1) = f(3) = 0\). ✓
Existe \(c \in (1, 3)\) tal que \(f'(c) = 0\)
$$f'(x) = 2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$Como \(c = 2 \in (1, 3)\), se verifica la tesis. ✓
Nota: geometricamente, \(x = 2\) es el vertice de la parabola (punto donde \(x_v = -b/2a = 4/2 = 2\)), que es el punto mas bajo de la curva en este intervalo.
Gema
Dato: como \(f(1) = 0\) y \(f(3) = 0\), los puntos \(x=1\) y \(x=3\) son las raices del polinomio. Rolle nos dice que entre dos raices siempre hay un punto critico. Esto se conecta con el estudio de funciones.
Sea \(f(x) = \operatorname{sen}(x)\) en \([0, \pi]\). Verificar hipotesis y hallar \(c\).
\(\operatorname{sen}(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\). En particular, en \([0, \pi]\). ✓
\(\operatorname{sen}(x)\) es derivable en \(\mathbb{R}\). En particular, en \((0, \pi)\). ✓
\(f(0) = \operatorname{sen}(0) = 0\) y \(f(\pi) = \operatorname{sen}(\pi) = 0\). Entonces \(f(0) = f(\pi)\). ✓
Existe \(c \in (0, \pi)\) tal que \(f'(c) = 0\)
$$f'(x) = \cos(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2}$$Como \(c = \frac{\pi}{2} \in (0, \pi)\), se verifica la tesis. ✓
Error 1: Confundir la implicacion. Decir "si es continua, entonces es derivable". La implicacion correcta es al reves: derivable \(\Rightarrow\) continua.
Error 2: No verificar las hipotesis antes de aplicar un teorema. En Lagrange y Rolle, siempre hay que verificar continuidad, derivabilidad y (en Rolle) que \(f(a) = f(b)\) antes de buscar el valor de \(c\).
Error 3: Afirmar "no existe \(c\)" cuando las hipotesis no se cumplen. Lo correcto es: "no se verifican las hipotesis del teorema, por lo tanto no podemos asegurar nada".
Error 4: Olvidar verificar que el \(c\) hallado pertenece al intervalo abierto \((a, b)\). Si \(c \notin (a,b)\), esa solucion se descarta.
Elvira
Consejo para el parcial: leer con atencion si te piden "verificar las hipotesis y hallar c" o solo "determinar si se puede aplicar el teorema". Son consignas distintas y si contestas una por otra perdes puntos.
Para Lagrange
Para Rolle
Gema
A practicar se ha dicho. Estos ejercicios cubren los tres teoremas. Intenta resolverlos en papel antes de buscar ayuda.
Analizar si la siguiente funcion es derivable en \(x = 1\):
$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \leq 1 \\[6pt] 3x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Sea \(f(x) = x^3 - 3x\) en \([0, 2]\). Verificar las hipotesis del TVM y hallar el valor de \(c\).
Sea \(f(x) = \dfrac{1}{x-1}\) en \([0, 3]\). Determinar si se puede aplicar el TVM. Justificar.
Sea \(f(x) = x^3 - 3x\) en \([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\). Verificar las hipotesis del Teorema de Rolle y hallar el valor de \(c\).
Sea \(f(x) = e^x \cdot \operatorname{sen}(x)\) en \([0, \pi]\). Verificar las hipotesis de Rolle y hallar \(c\).