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Análisis Matemático · Funciones
⏱ calculando...Todo parte del triángulo rectángulo. Dado un ángulo \(\alpha\), las tres razones básicas relacionan sus lados con la hipotenusa:
Triángulo rectángulo
Gema
Memotecnia clásica: SOH-CAH-TOA. Seno = Opuesto sobre Hipotenusa, Coseno = Adyacente sobre Hipotenusa, Tangente = Opuesto sobre Adyacente. Una vez que la tenés, no la olvidás más.
Del teorema de Pitágoras \(H^2 = A^2 + B^2\), dividiendo por \(H^2\):
$$ \frac{H^2}{H^2} = \frac{A^2 + B^2}{H^2} \quad \Rightarrow \quad \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$Esta identidad es fundamental y se usa constantemente para simplificar expresiones.
La idea clave es insertar el triángulo en una circunferencia de radio \(R\) centrada en el origen. El radio funciona como una aguja que puede girar en sentido antihorario, marcando ángulos.
Cuando el extremo del radio toca un punto \((x, y)\) de la circunferencia:
En la circunferencia unitaria (\(R = 1\)): \(\,\sin \alpha = y\) y \(\cos \alpha = x\).
A medida que el radio gira, el ángulo \(\alpha\) varía continuamente y los valores de \(\sin \alpha\) y \(\cos \alpha\) oscilan entre \(1\) y \(-1\). Eso genera las funciones trigonométricas.
El signo de cada razón depende de dónde esté el punto \((x, y)\) sobre la circunferencia:
| Cuadrante I | Cuadrante II | Cuadrante III | Cuadrante IV | |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) y \(y\) | \(x>0,\, y>0\) | \(x<0,\, y>0\) | \(x<0,\, y<0\) | \(x>0,\, y<0\) |
| \(\sin \alpha = y/R\) | + | + | − | − |
| \(\cos \alpha = x/R\) | + | − | − | + |
| \(\tan \alpha = y/x\) | + | − | + | − |
Cuando el radio cae sobre uno de los ejes, los valores son exactos:
| \(0^\circ\) | \(90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\) | \(180^\circ = \pi\) | \(270^\circ = \dfrac{3\pi}{2}\) | \(360^\circ = 2\pi\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin \alpha\) | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \(\cos \alpha\) | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| \(\tan \alpha\) | 0 | \(\not\exists\) | 0 | \(\not\exists\) | 0 |
Elvira
Observá la diferencia clave: el seno arranca desde cero (del centro), el coseno arranca desde su valor máximo (desde arriba). Eso es exactamente lo que vas a usar cuando grafiques la función general.
También escrita como \(f(x) = A \cdot \sin(B \cdot x - C) + D\), donde \(h = C/B\). Los parámetros son:
| \(A\) | Amplitud. Indica cuánto sube y baja la función respecto a su eje de oscilación. La amplitud es \(|A|\). |
| \(B\) | Frecuencia angular. Determina qué tan rápido oscila la función. Cuanto mayor es \(|B|\), más ciclos completa en el mismo intervalo horizonta. |
| \(h\) | Corrimiento horizontal (ángulo de fase). Desplaza la función hacia la derecha si \(h > 0\), hacia la izquierda si \(h < 0\). El punto de inicio del ciclo es \((h,\, k)\). |
| \(k\) | Corrimiento vertical. Desplaza el eje de oscilación hacia arriba o hacia abajo en \(k\) unidades. |
| \(T\) | Período. Es la distancia horizontal que recorre la función en un ciclo completo. No es una coordenada: es una distancia. El período se calcula como \(T = \dfrac{2\pi}{B}\). |
Gema
Imaginá que un periodo de la función "vive" dentro de una caja rectangular. Los siguientes pasos son las instrucciones para dibujar esa caja y después solo queda conectar los puntos.
Una vez identificados todos los parámetros, seguí este orden. El eje siempre en radianes.
Sobre el eje \(y\), ubicar el valor \(k\). Trazar una línea horizontal punteada en \(y = k\). Alrededor de esa línea va a "vibrar" toda la función.
$$ \text{Eje de oscilación:} \quad y = k $$Desde la línea \(y = k\), subir y bajar el valor \(|A|\). Esas dos marcas determinan el techo y el piso de la función, es decir, su cota superior e inferior:
$$ \text{Cota superior:} \quad y = k + |A| $$ $$ \text{Cota inferior:} \quad y = k - |A| $$Ubicar el valor \(h\) sobre el eje \(x\). Ese es el punto de partida del ciclo. Trazar una línea vertical punteada en \(x = h\).
$$ \text{Inicio del ciclo:} \quad x = h $$El punto de inicio de la función (su "cresta" o su "centro", según sea coseno o seno) es el punto \(P_0 = (h,\, k)\).
Recordá que en estas funciones el eje \(x\) se mide en radianes, lo cual es recomendable usar unidades de \( \pi \) .
El período mide la distancia horizontal de un ciclo completo:
$$ T = \frac{2\pi}{B} $$Sumar ese valor al punto de partida \(h\) para obtener el final del ciclo:
$$ x_{\text{final}} = h + T = h + \frac{2\pi}{B} $$Trazar una segunda línea vertical punteada en \(x_{\text{final}}\). La función completa un ciclo entre esas dos verticales. Recorda que el período es una distancia, no una coordenada.
La franja horizontal entre \(x = h\) y \(x = h + T\) se divide en 4 partes iguales (como los 4 cuadrantes del ciclo). Cada separación es \(T/4\).
Los 5 puntos de la "caja" son:
$$ x_0 = h, \quad x_1 = h + \frac{T}{4}, \quad x_2 = h + \frac{T}{2}, \quad x_3 = h + \frac{3T}{4}, \quad x_4 = h + T $$Según la función:
Ejemplo 1 — Graficar \(f(x) = 2\,\sin\left[\dfrac{1}{2}(x - \dfrac{\pi}{2})\right] - 1\)
La función oscila alrededor de:
$$ y = k = -1 $$Punto de inicio: \(P_0 = \left(\dfrac{\pi}{2},\, -1\right)\).
Cada cuarto del ciclo mide \(T/4 = \pi\):
$$ x_0 = \frac{\pi}{2}, \quad x_1 = \frac{3\pi}{2}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{2}, \quad x_3 = \frac{7\pi}{2}, \quad x_4 = \frac{9\pi}{2} $$Como es seno con \(A > 0\) el recorrido de los puntos es:
$$ \left(\frac{\pi}{2},\, -1\right) \to \left(\frac{3\pi}{2},\, 1\right) \to \left(\frac{5\pi}{2},\, -1\right) \to \left(\frac{7\pi}{2},\, -3\right) \to \left(\frac{9\pi}{2},\, -1\right) $$Ejemplo 2 — Graficar \(f(x) = -3\,\sin\left[2\left(x - \dfrac{\pi}{8}\right)\right] + 1\)
Como \(A = -3 < 0\), la amplitud es \(|A| = 3\) y el seno arranca invertido: en vez de subir primero, baja primero.
Punto inicial: \(P_0 = \left(\dfrac{\pi}{8},\, 1\right)\).
Cada cuarto mide \(T/4 = \pi/4\):
$$ x_0 = \frac{\pi}{8}, \quad x_1 = \frac{3\pi}{8}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{8}, \quad x_3 = \frac{7\pi}{8}, \quad x_4 = \frac{9\pi}{8} $$Como \(A < 0\), el seno arranca al revés (hacia abajo primero):
$$ \left(\frac{\pi}{8},\, 1\right) \to \left(\frac{3\pi}{8},\, -2\right) \to \left(\frac{5\pi}{8},\, 1\right) \to \left(\frac{7\pi}{8},\, 4\right) \to \left(\frac{9\pi}{8},\, 1\right) $$Ejemplo 3 — Graficar \(f(x) = \dfrac{1}{2}\,\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) + 2\)
La función oscila alrededor de:
$$ y = k = 2 $$Punto de inicio: \(P_0 = \left(\dfrac{\pi}{4},\, \dfrac{5}{2}\right)\). Como es coseno con \(A > 0\), arranca desde la cota superior.
Cada cuarto del ciclo mide \(T/4 = \pi/2\):
$$ x_0 = \frac{\pi}{4}, \quad x_1 = \frac{3\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{4}, \quad x_3 = \frac{7\pi}{4}, \quad x_4 = \frac{9\pi}{4} $$Como es coseno con \(A > 0\): arranca desde arriba, baja al centro, llega al mínimo, vuelve al centro, regresa a la cresta:
$$ \left(\frac{\pi}{4},\, \frac{5}{2}\right) \to \left(\frac{3\pi}{4},\, 2\right) \to \left(\frac{5\pi}{4},\, \frac{3}{2}\right) \to \left(\frac{7\pi}{4},\, 2\right) \to \left(\frac{9\pi}{4},\, \frac{5}{2}\right) $$
Elvira
Fijate en el Ejemplo 2: el signo negativo de \(A\) hace que la curva empiece bajando en vez de subir. Eso es todo. Los pasos son exactamente los mismos, lo único que cambia es en qué dirección arranca el ciclo.
Gema y Elvira
Para cada ejercicio, primero identificá los 4 parámetros, después seguí los 5 pasos en orden. No te saltes ninguno aunque parezca obvio.
Parámetros:
$$ A = 3, \quad B = \pi, \quad h = \frac{1}{2}, \quad k = 2 $$Período:
$$ T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 $$Cotas:
$$ y_{\text{sup}} = 2 + 3 = 5, \quad y_{\text{inf}} = 2 - 3 = -1 $$Puntos clave (cada cuarto mide \(T/4 = 0{,}5\)):
$$ x_0 = \frac{1}{2}, \quad x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{3}{2}, \quad x_3 = 2, \quad x_4 = \frac{5}{2} $$Como \(A > 0\), el seno arranca desde el centro y sube primero:
$$ \left(\frac{1}{2},\, 2\right) \to (1,\, 5) \to \left(\frac{3}{2},\, 2\right) \to (2,\, -1) \to \left(\frac{5}{2},\, 2\right) $$Parámetros:
$$ A = -1, \quad B = 2, \quad h = -\frac{\pi}{4}, \quad k = -1 $$Como \(h = -\pi/4\), el ciclo comienza a la izquierda del origen.
Período:
$$ T = \frac{2\pi}{2} = \pi $$Cotas:
$$ y_{\text{sup}} = -1 + 1 = 0, \quad y_{\text{inf}} = -1 - 1 = -2 $$Puntos clave (cada cuarto mide \(\pi/4\)):
$$ x_0 = -\frac{\pi}{4}, \quad x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{\pi}{4}, \quad x_3 = \frac{\pi}{2}, \quad x_4 = \frac{3\pi}{4} $$Es coseno con \(A < 0\): arranca desde la cota inferior (invertido).
$$ \left(-\frac{\pi}{4},\, -2\right) \to (0,\, -1) \to \left(\frac{\pi}{4},\, 0\right) \to \left(\frac{\pi}{2},\, -1\right) \to \left(\frac{3\pi}{4},\, -2\right) $$Factorizamos el argumento para separar \(B\):
$$ f(x) = \frac{1}{2}\,\sin(4x - \pi) + 3 = \frac{1}{2}\,\sin\left[4\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right] + 3 $$Parámetros:
$$ A = \frac{1}{2}, \quad B = 4, \quad h = \frac{\pi}{4}, \quad k = 3 $$Período:
$$ T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$Cotas:
$$ y_{\text{sup}} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}, \quad y_{\text{inf}} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$Extraemos los parámetros del enunciado:
$$ A = 4 \quad (\text{amplitud}) $$ $$ k = -2 \quad (\text{eje de oscilación}) $$ $$ h = \pi \quad (\text{inicio del ciclo}) $$Calculamos \(B\) a partir del período:
$$ T = \frac{2\pi}{B} = 6\pi \quad \Rightarrow \quad B = \frac{2\pi}{6\pi} = \frac{1}{3} $$Ecuación:
$$ f(x) = 4\,\sin\left[\frac{1}{3}(x - \pi)\right] - 2 $$📲 Compartí este apunte