Función Compuesta

Definición formal

▼

Sean $f: A \to B$ y $g: C \to D$ dos funciones. La composición de $g$ con $f$, notada $(g \circ f)$, es la función:

$$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $$

definida para todo $x$ tal que $x \in \text{Dom}(f)$ y $f(x) \in \text{Dom}(g)$.

La composición se lee: "g compuesta con f", o bien "g de f de x". El orden importa: primero actúa $f$, luego $g$.

La metáfora de las fábricas 🏭

Pensá cada función como una fábrica que transforma materiales:

Fábrica 1 — $f$: Recibe la materia prima $x$ y produce un producto intermedio $f(x)$.

Fábrica 2 — $g$: Recibe ese producto intermedio y produce el resultado final $g(f(x))$.

La composición es la línea de producción completa: el mismo $x$ que entra por la primera fábrica llega transformado a la segunda.

Dominio de la función compuesta

▼

Definición formal del dominio:

$$ \text{Dom}(g \circ f) = \left\{ x \in \text{Dom}(f) \;\middle|\; f(x) \in \text{Dom}(g) \right\} $$

Desmenucemos cada parte:

🔍 ¿Qué dice cada condición?

$x \in \text{Dom}(f)$ — El valor $x$ tiene que poder entrar a la primera función. Si no pertenece a su dominio, la composición ni empieza.
$f(x) \in \text{Dom}(g)$ — El resultado de la primera función tiene que poder entrar a la segunda. Si $f(x)$ cae fuera del dominio de $g$, la composición falla ahí.

La intuición detrás de la fórmula

El dominio de una composición arranca desde el dominio de la primera función: ahí es donde entran los valores de $x$. Esa primera función los transforma y produce resultados (sus imágenes). Ahora bien, esos resultados tienen que poder entrar a la segunda función, es decir, tienen que pertenecer a su dominio.

Si todas las imágenes de la primera función son bienvenidas en la segunda, no hay problema: el dominio de la composición coincide con el dominio de $f$. Pero si algunas imágenes generan conflicto — por ejemplo, terminan dividiendo por cero o metidas bajo una raíz negativa — entonces hay que restringir el dominio original para que esos valores problemáticos nunca lleguen a aparecer.

Procedimiento general

Calculá $\text{Dom}(f)$ — las $x$ válidas para la primera función.
Armá la composición $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
Imponé la condición $f(x) \in \text{Dom}(g)$ y resolvé la inecuación resultante.
Intersectá: $\text{Dom}(g \circ f) = \text{Dom}(f) \cap \left\{ x : f(x) \in \text{Dom}(g) \right\}$.

Ejemplos sin restricción de dominio

▼

En estos casos, todas las imágenes de $f$ son automáticamente aceptadas por $g$, por lo que el dominio de la composición coincide con el de $f$.

Ejemplo 1 — Composición de polinomios

Sean $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 3x - 2$.

Dom(f): Polinomio $\Rightarrow$ $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$.
Dom(g): Polinomio $\Rightarrow$ $\text{Dom}(g) = \mathbb{R}$.
Composición: $$(g \circ f)(x) = g(x^2+1) = 3(x^2+1) - 2 = 3x^2 + 1$$
Dom(g ∘ f): $\text{Dom}(g) = \mathbb{R}$ acepta cualquier valor. No hay restricción extra. $$\text{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R}$$

Ejemplo 2 — Primera función con raíz, segunda polinómica

Sean $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2 + 5$.

Dom(f): Necesitamos $x \geq 0$. Entonces $\text{Dom}(f) = [0, +\infty)$.
Dom(g): Polinomio $\Rightarrow$ $\text{Dom}(g) = \mathbb{R}$.
Composición: $$(g \circ f)(x) = g(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 + 5 = x + 5$$
Dom(g ∘ f): $\text{Dom}(g) = \mathbb{R}$ acepta toda imagen de $f$. El dominio lo determina solo $f$: $$\text{Dom}(g \circ f) = [0, +\infty)$$

⚠️ Atención: Aunque la expresión simplificada $x + 5$ parece estar definida en todo $\mathbb{R}$, el dominio es $[0, +\infty)$ porque ese es el dominio de $f$. El dominio no se hereda de la expresión final, sino del proceso completo.

Ejemplos con restricción de dominio

▼

Acá las imágenes de $f$ pueden generar conflicto en $g$, así que hay que imponer una condición extra sobre $x$.

Ejemplo 3 — La segunda función tiene raíz cuadrada

Sean $f(x) = x - 3$ y $g(x) = \sqrt{x}$.

Dom(f): Lineal $\Rightarrow$ $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$.
Dom(g): Raíz cuadrada $\Rightarrow$ necesitamos $x \geq 0$. Entonces $\text{Dom}(g) = [0, +\infty)$.
Composición: $$(g \circ f)(x) = g(x-3) = \sqrt{x-3}$$
Condición extra — $f(x) \in \text{Dom}(g)$: Necesitamos $f(x) \geq 0$: $$x - 3 \geq 0 \implies x \geq 3$$
Dom(g ∘ f): Intersectando con $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$: $$\text{Dom}(g \circ f) = [3, +\infty)$$

Ejemplo 4 — Segunda función con denominador

Sean $f(x) = x^2 - 4$ y $g(x) = \dfrac{1}{x}$.

Dom(f): Polinomio $\Rightarrow$ $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$.
Dom(g): No puede haber denominador nulo $\Rightarrow$ $x \neq 0$. Entonces $\text{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Composición: $$(g \circ f)(x) = g(x^2-4) = \frac{1}{x^2 - 4}$$
Condición extra — $f(x) \in \text{Dom}(g)$: Necesitamos $f(x) \neq 0$: $$x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$$
Dom(g ∘ f): $$\text{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R} \setminus \{-2,\, 2\}$$

❌ Errores típicos

▼

❌ Error 1 — Confundir el orden de la composición

$(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$ en general. La notación $g \circ f$ significa "primero $f$, después $g$". El orden de escritura es inverso al orden de aplicación.

❌ Error 2 — Tomar el dominio de la expresión simplificada

En el Ejemplo 2, $(g \circ f)(x) = x + 5$ pero el dominio no es $\mathbb{R}$. Hay que respetar el dominio de $f$, que impone $x \geq 0$.

❌ Error 3 — Olvidar intersectar con Dom(f)

Al calcular el dominio de $g \circ f$, siempre hay que combinar las restricciones de $f$ y las que impone $g$ sobre las imágenes de $f$. No alcanza con una sola.

❌ Error 4 — "Multiplicar" en lugar de componer

$g(f(x)) \neq g(x) \cdot f(x)$. La composición es una sustitución: se reemplaza el argumento de $g$ por la expresión completa $f(x)$.

💡 Tips y estrategias

▼

💡 Tip 1 — Identificá primero el tipo de función

Antes de calcular, mirá si $g$ tiene raíces, logaritmos o denominadores. Eso te anticipa si vas a tener que imponer condiciones extra.

💡 Tip 2 — Escribí la condición en términos de $f(x)$

Si $g(t) = \sqrt{t}$, la condición es $t \geq 0$. Reemplazá $t = f(x)$ y resolvé la inecuación resultante.

💡 Tip 3 — Dom(g ∘ f) siempre está contenido en Dom(f)

Nunca podés "ganar" dominio al componer. El resultado final es siempre un subconjunto (posiblemente igual) de $\text{Dom}(f)$. Si tu resultado "creció", revisá los cálculos.

✔️ Checklist de verificación

▼

Antes de dar por terminado un ejercicio de función compuesta, verificá:

✓Calculé correctamente el dominio de $f$.
✓Calculé correctamente el dominio de $g$.
✓Sustituí $f(x)$ dentro de $g$ correctamente (sin multiplicar ni simplificar antes de tiempo).
✓Traduje la condición "$f(x) \in \text{Dom}(g)$" a una inecuación en $x$ y la resolví.
✓Intersecté esa condición con $\text{Dom}(f)$.
✓Verifiqué que el dominio obtenido sea subconjunto de $\text{Dom}(f)$.
✓Si la expresión final se simplificó, no amplié el dominio por eso.