Función Raíz Cúbica

01 · Punto de partida

Recordamos las funciones base

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Antes de la forma general, vale la pena recordar las dos funciones que nos dan el punto de partida:

Función cúbica base

$$ y = x^3 $$

Dom $ f = \mathbb{R} $ · Im $ f = \mathbb{R} $. Crece en todo $ \mathbb{R} $, punto de inflexión en el origen.

Función raíz cúbica base

$$ y = \sqrt[3]{x} $$

Dom $ f = \mathbb{R} $ · Im $ f = \mathbb{R} $. También crece en todo $ \mathbb{R} $. El punto de inflexión sigue en el origen.

¿Por qué se puede hacer la raíz cúbica de negativos? A diferencia de la raíz cuadrada, la raíz cúbica de un número negativo existe en los reales: $ \sqrt[3]{-8} = -2 $ porque $ (-2)^3 = -8 $. Por eso Dom $ f = \mathbb{R} $.

Gema

Acordate: la raíz cúbica y la potencia cúbica son inversas una de la otra. Si $ y = x^3 $, entonces $ x = \sqrt[3]{y} $. Ese "ida y vuelta" es clave para despejar en los ejercicios.

02 · Definición

Forma general y parámetros

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La forma general de la función raíz cúbica es:

$$ f(x) = a \cdot \sqrt[3]{x - h} + k \qquad a \neq 0 $$

¿Qué hace cada parámetro?

Parámetro	Nombre	Efecto en la gráfica
$ a $	Escalado / Reflexión	Si $ a > 0 $: la función crece en todo $ \mathbb{R} $. Si $ a < 0 $: la función decrece en todo $ \mathbb{R} $ (curva invertida). $ \|a\| $ estira o comprime verticalmente.
$ h $	Desplazamiento horizontal	Mueve el punto de inflexión hacia la derecha $ (h > 0) $ o izquierda $ (h < 0) $.
$ k $	Desplazamiento vertical	Mueve el punto de inflexión hacia arriba $ (k > 0) $ o abajo $ (k < 0) $.

Análisis completo de la función

Para cualquier $ f(x) = a\,\sqrt[3]{x-h}+k $, el análisis es:

Característica	Resultado	Condición
Dom $ f $	$ \mathbb{R} $	Siempre
Im $ f $	$ \mathbb{R} $	Siempre
Crece	$ (-\infty, +\infty) $	Si $ a > 0 $
Crece	$ \emptyset $ (no crece)	Si $ a < 0 $
Decrece	$ \emptyset $ (no decrece)	Si $ a > 0 $
Decrece	$ (-\infty, +\infty) $	Si $ a < 0 $
Concavidad $ \uparrow $ ($ C^+ $)	$ (-\infty,\; h) $	Si $ a > 0 $
Concavidad $ \downarrow $ ($ C^- $)	$ (h,\; +\infty) $	Si $ a > 0 $
Concavidad $ \uparrow $ ($ C^+ $)	$ (h,\; +\infty) $	Si $ a < 0 $
Concavidad $ \downarrow $ ($ C^- $)	$ (-\infty,\; h) $	Si $ a < 0 $
Punto de inflexión	$ (h,\; k) $	Siempre

Elvira

Ojo con el signo de $ h $. En $ f(x) = \sqrt[3]{x - h} $, si la función dice $ \sqrt[3]{x + 1} $, entonces $ h = -1 $, no $ +1 $. El punto de inflexión es $ (-1, k) $.

Raíz de la función

La raíz es el valor de $ x $ tal que $ f(x) = 0 $. Se despeja así:

Igualamos a cero $$ 0 = a \cdot \sqrt[3]{x - h} + k $$

Despejamos la raíz $$ -k = a \cdot \sqrt[3]{x - h} \implies \sqrt[3]{x - h} = \frac{-k}{a} $$

Cubicamos ambos lados $$ x - h = \left(\frac{-k}{a}\right)^3 \implies x = h + \left(\frac{-k}{a}\right)^3 $$

Ordenada al origen

Se evalúa en $ x = 0 $:

$$ f(0) = a \cdot \sqrt[3]{0 - h} + k = a \cdot \sqrt[3]{-h} + k $$

03 · Ejemplos resueltos

Análisis completo paso a paso

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Ejemplo 1. Analizar completamente $ f(x) = -\dfrac{1}{2}\,\sqrt[3]{x+1} - 1 $

Paso 1 — Identificar parámetros

Lectura de la fórmula

Reescribimos en forma general $ f(x) = a\,\sqrt[3]{x-h}+k $:

$$ f(x) = -\frac{1}{2}\,\sqrt[3]{x - (-1)} + (-1) $$

Entonces: $ a = -\dfrac{1}{2} $, $ h = -1 $, $ k = -1 $.

Punto de inflexión $$ \text{P.I.} = (h,\; k) = (-1,\; -1) $$

Comportamiento

Como $ a = -\dfrac{1}{2} < 0 $, la función decrece en todo $ \mathbb{R} $.

Paso 2 — Raíz

Igualamos $ f(x) = 0 $ $$ 0 = -\frac{1}{2}\,\sqrt[3]{x+1} - 1 $$ $$ 1 = -\frac{1}{2}\,\sqrt[3]{x+1} $$ $$ -2 = \sqrt[3]{x+1} $$ $$ (-2)^3 = x + 1 $$ $$ -8 = x + 1 \implies \boxed{x = -9} $$

Paso 3 — Ordenada al origen

Evaluamos en $ x = 0 $ $$ f(0) = -\frac{1}{2}\,\sqrt[3]{0+1} - 1 = -\frac{1}{2}\cdot 1 - 1 = -\frac{3}{2} $$

Ordenada al origen: $ \left(0,\; -\dfrac{3}{2}\right) $.

Paso 4 — Análisis y gráfico

Dom $ f $	Im $ f $	Crece	Decrece	$ C^+ $	$ C^- $
$ \mathbb{R} $	$ \mathbb{R} $	$ \emptyset $	$ (-\infty, +\infty) $	$ (-1, +\infty) $	$ (-\infty, -1) $

Gema y Elvira

Para graficar, siempre ubicamos primero el P.I. y luego uno o dos puntos auxiliares a cada lado. No hace falta construir una tabla entera: con 3 puntos bien elegidos ya tenés la curva.

Ejemplo 2. Hallar la función raíz cúbica con $ \text{P.I.} = (3,\; -2) $ que pasa por el punto $ (1,\; -4) $.

Planteamos la forma general con los datos del P.I.

Sabemos que $ h = 3 $ y $ k = -2 $. Entonces:

$$ f(x) = a \cdot \sqrt[3]{x - 3} - 2 $$

Usamos el punto $ (1, -4) $ para encontrar $ a $ $$ -4 = a \cdot \sqrt[3]{1 - 3} - 2 $$ $$ -4 + 2 = a \cdot \sqrt[3]{-2} $$ $$ -2 = a \cdot (-\sqrt[3]{2}) $$ $$ a = \frac{-2}{-\sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2}{2^{1/3}} = 2^{1 - 1/3} = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4} $$

Escribimos la función $$ \boxed{f(x) = \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{x-3} - 2} $$

Como $ a = \sqrt[3]{4} > 0 $, la función crece en todo $ \mathbb{R} $.

Verificación con el punto (1, -4) $$ f(1) = \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{-2} - 2 = \sqrt[3]{-8} - 2 = -2 - 2 = -4 \ \checkmark $$

Análisis completo del Ejemplo 2

Dom $ f $	Im $ f $	Crece	Decrece	$ C^+ $	$ C^- $
$ \mathbb{R} $	$ \mathbb{R} $	$ (-\infty, +\infty) $	$ \emptyset $	$ (-\infty, 3) $	$ (3, +\infty) $

Gema

Fijate el truco de la verificación: reemplazamos el punto en la función que encontramos y chequeamos que dé el valor correcto. Si da, estamos bien. Si no, revisamos el signo de $ a $.

04 · Errores típicos

Los más frecuentes en clase

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Error 1 — Confundir el signo de $ h $.

Si la función es $ f(x) = \sqrt[3]{x + 3} $, reescribís como $ \sqrt[3]{x - (-3)} $, entonces $ h = -3 $. El P.I. es $ (-3, k) $, no $ (3, k) $.

Error 2 — Olvidar cubicar al despejar la raíz.

Al despejar $ \sqrt[3]{x-h} = c $, hay que elevar al cubo ambos lados: $ x - h = c^3 $. No se eleva al cuadrado.

Error 3 — Suponer que la raíz cúbica siempre crece.

La raíz cúbica base $ \sqrt[3]{x} $ siempre crece, pero si $ a < 0 $, la función completa $ f(x) = a\,\sqrt[3]{x-h}+k $ decrece en todo $ \mathbb{R} $. El signo de $ a $ invierte la curva.

Error 4 — Confundir Dom $ f $ con Dom de la raíz cuadrada.

Para la raíz cuadrada necesitamos radicando $ \geq 0 $. Para la raíz cúbica el radicando puede ser cualquier real. Dom $ f = \mathbb{R} $ siempre.

Elvira

El error más común en los parciales es restringir el dominio como si fuera raíz cuadrada. Acordate: raíz cúbica, dominio $ \mathbb{R} $ sí o sí.

05 · Verificación

Checklist antes de entregar

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Identificaste $ a $, $ h $ y $ k $ correctamente (cuidado con los signos).

Escribiste el P.I. como $ (h, k) $.

Analizaste el signo de $ a $ para determinar si crece o decrece.

Declaraste Dom $ f = \mathbb{R} $ e Im $ f = \mathbb{R} $.

Al hallar la raíz despejaste cubeando (no elevando al cuadrado) y verificaste el resultado.

El gráfico pasa por el P.I. y por la raíz y la ordenada al origen calculadas.

Si el ejercicio pide hallar la función, verificaste reemplazando el punto dado en la función obtenida.

06 · Ejercitación

Práctica

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1. Para $ f(x) = 2\,\sqrt[3]{x - 4} + 3 $: identificá los parámetros, hallá el P.I., la raíz y la ordenada al origen. Indicá si crece o decrece. ▼

$ a = 2 $, $ h = 4 $, $ k = 3 $. P.I. $ = (4, 3) $. Como $ a > 0 $, crece en $ \mathbb{R} $.

Raíz: $ 0 = 2\,\sqrt[3]{x-4}+3 \implies \sqrt[3]{x-4} = -\dfrac{3}{2} \implies x - 4 = -\dfrac{27}{8} \implies x = 4 - \dfrac{27}{8} = \dfrac{5}{8} $.

Ordenada al origen: $ f(0) = 2\,\sqrt[3]{-4}+3 = 2(-\sqrt[3]{4})+3 = 3 - 2\sqrt[3]{4} \approx 3 - 3.17 \approx -0.17 $.

2. Analizá completamente $ f(x) = -3\,\sqrt[3]{x + 2} + 6 $. Completá la tabla de análisis (Dom, Im, Crece, Decrece, $ C^+ $, $ C^- $) y graficá. ▼

$ a = -3 $, $ h = -2 $, $ k = 6 $. P.I. $ = (-2, 6) $. Como $ a < 0 $, decrece en $ \mathbb{R} $.

Dom	Im	Crece	Decrece	$ C^+ $	$ C^- $
$ \mathbb{R} $	$ \mathbb{R} $	$ \emptyset $	$ (-\infty,+\infty) $	$ (-2,+\infty) $	$ (-\infty,-2) $

Raíz: $ 0 = -3\,\sqrt[3]{x+2}+6 \implies \sqrt[3]{x+2}=2 \implies x+2=8 \implies x=6 $.

Ord. al origen: $ f(0)=-3\,\sqrt[3]{2}+6 \approx -3(1.26)+6 \approx 2.22 $.

3. Hallá la función raíz cúbica con $ \text{P.I.} = (-1, 2) $ que pasa por el punto $ (0, 5) $. ▼

Planteamos $ f(x) = a\,\sqrt[3]{x+1}+2 $. Usamos $ (0,5) $:

$ 5 = a\,\sqrt[3]{0+1}+2 = a \cdot 1 + 2 \implies a = 3 $.

$ \boxed{f(x) = 3\,\sqrt[3]{x+1}+2} $. Como $ a = 3 > 0 $, crece en $ \mathbb{R} $.

Verificación: $ f(0) = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \; \checkmark $.

4. ¿Para qué valores de $ a $ la función $ f(x) = a\,\sqrt[3]{x-5}+1 $ pasa por el punto $ (13, -1) $? ▼

Reemplazamos $ x = 13 $, $ f(13) = -1 $:

$ -1 = a\,\sqrt[3]{13-5}+1 = a\,\sqrt[3]{8}+1 = 2a+1 $.

$ -1 - 1 = 2a \implies a = -1 $.

La función es $ f(x) = -\sqrt[3]{x-5}+1 $. Como $ a = -1 < 0 $, decrece en $ \mathbb{R} $.

Característica	Resultado	Condición
Dom \( f \)	\( \mathbb{R} \)	Siempre
Im \( f \)	\( \mathbb{R} \)	Siempre
Crece	\( (-\infty, +\infty) \)	Si \( a > 0 \)
Crece	\( \emptyset \) (no crece)	Si \( a < 0 \)
Decrece	\( \emptyset \) (no decrece)	Si \( a > 0 \)
Decrece	\( (-\infty, +\infty) \)	Si \( a < 0 \)
Concavidad \( \uparrow \) (\( C^+ \))	\( (-\infty,\; h) \)	Si \( a > 0 \)
Concavidad \( \downarrow \) (\( C^- \))	\( (h,\; +\infty) \)	Si \( a > 0 \)
Concavidad \( \uparrow \) (\( C^+ \))	\( (h,\; +\infty) \)	Si \( a < 0 \)
Concavidad \( \downarrow \) (\( C^- \))	\( (-\infty,\; h) \)	Si \( a < 0 \)
Punto de inflexión	\( (h,\; k) \)	Siempre

Parámetro	Nombre	Efecto en la gráfica
\( a \)	Escalado / Reflexión	Si \( a > 0 \): la función crece en todo \( \mathbb{R} \). Si \( a < 0 \): la función decrece en todo \( \mathbb{R} \) (curva invertida). \( \|a\| \) estira o comprime verticalmente.
\( h \)	Desplazamiento horizontal	Mueve el punto de inflexión hacia la derecha \( (h > 0) \) o izquierda \( (h < 0) \).
\( k \)	Desplazamiento vertical	Mueve el punto de inflexión hacia arriba \( (k > 0) \) o abajo \( (k < 0) \).