Definición
Una función \(f\) es inyectiva (o uno a uno) si nunca toma el mismo valor dos veces. Formalmente:
Equivalentemente, la contrarrecíproca (más útil para demostraciones): si \(f(x_1) = f(x_2)\), entonces \(x_1 = x_2\).
Verificación por definición (método algebraico)
Para probar que \(f\) es inyectiva, se parte de \(f(x_1) = f(x_2)\) y se demuestra que necesariamente \(x_1 = x_2\).
Para probar que no es inyectiva, alcanza con un contraejemplo: encontrar \(x_1 \neq x_2\) con \(f(x_1) = f(x_2)\).
Ejemplo: \(f(x) = x^2 + 1,\quad f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)
Sea \(x_1 = 2\) y \(x_2 = -2\). Claramente \(x_1 \neq x_2\) con \(x_1, x_2 \in \text{Dom}(f) = \mathbb{R}\).
Como \(f(2) = f(-2)\) pero \(2 \neq -2\), \(f\) no es inyectiva.
Prueba de la recta horizontal (método gráfico)
Teorema: Una función es inyectiva si y solo si ninguna recta horizontal intersecta su gráfica en más de un punto.
Intuición: si una recta horizontal \(y = c\) corta la gráfica en dos puntos \((x_1, c)\) y \((x_2, c)\), entonces \(f(x_1) = f(x_2) = c\) con \(x_1 \neq x_2\), lo que viola la inyectividad.
✅ ES inyectiva
❌ NO es inyectiva
Diferencia clave: Codominio vs. Imagen
Codominio
Conjunto de llegada declarado al definir la función. Es el conjunto donde podrían caer los valores.
En \(f: A \to B\), el codominio es \(B\).
Imagen (Rango)
Conjunto de valores que la función efectivamente toma. Es un subconjunto del codominio.
\(\text{Im}(f) = \{f(x) : x \in \text{Dom}(f)\} \subseteq B\)
Pensá en una bolsa de papas fritas. El codominio es la bolsa entera: el espacio disponible para llenarse. La imagen son las papas reales que hay adentro. Como la bolsa viene con aire, las papas no ocupan todo el espacio. La bolsa no está llena, igual que una función no sobreyectiva no llena su codominio.
Definición: Sobreyectividad
Una función \(f: A \to B\) es sobreyectiva (o suryectiva) si su imagen coincide con todo el codominio:
Es decir, para todo \(y \in B\) existe al menos un \(x \in A\) tal que \(f(x) = y\).
Ejemplo matemático — conjunto finito
Sea \(f: \{a, b, c\} \to \{1,2,3,4,5\}\) con:
Entonces:
• \(\text{Cod}(f) = \{1,2,3,4,5\}\)
• \(\text{Im}(f) = \{1,2,3\}\)
Como \(\text{Im}(f) \subsetneq \text{Cod}(f)\) (los valores \(4\) y \(5\) no son alcanzados por ningún valor del dominio), \(f\) no es sobreyectiva.
Ejemplo matemático — función real
No sobreyectiva: \(f(x) = x^2 + 1, \quad f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
El codominio declarado es \(\mathbb{R}\). Pero como \(x^2 \geq 0\), resulta \(f(x) = x^2 + 1 \geq 1\) para todo \(x\).
Los valores negativos y el intervalo \((-\infty, 1)\) no son alcanzados. La bolsa tiene "aire".
Sobreyectiva: \(g(x) = 2x + 3, \quad g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Dado cualquier \(y \in \mathbb{R}\), puedo encontrar \(x = \dfrac{y-3}{2} \in \mathbb{R}\) tal que \(g(x) = y\).
Definición
Una función \(f: A \to B\) es biyectiva si es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva:
Esto equivale a que cada elemento del codominio tiene exactamente un valor del dominio que lo genera.
La biyectividad es la condición necesaria y suficiente para que \(f\) admita función inversa, definida en todo el codominio y con imagen igual al dominio.
❌ No inyectiva
Dos valores del dominio producen el mismo valor
❌ No sobreyectiva
Hay valores del codominio sin valor del dominio asociado
✅ Biyectiva
Cada valor del codominio tiene exactamente un valor del dominio asociado
Definición
Sea \(f: A \to B\) una función biyectiva. La función inversa de \(f\), denotada \(f^{-1}: B \to A\), se define mediante:
Equivalentemente, \(f^{-1}\) deshace lo que hace \(f\).
Se observa que:
El \(-1\) en \(f^{-1}\) no es un exponente. En particular:
La notación \([f(x)]^{-1} = \dfrac{1}{f(x)}\) es el recíproco de la imagen, no la función inversa.
Propiedad de cancelación
Esta propiedad es el criterio de verificación más directo: si computás \(f^{-1}(f(x))\) y obtenés \(x\), la inversa está bien calculada.
Simetría gráfica
La gráfica de \(f^{-1}\) se obtiene reflejando la gráfica de \(f\) respecto a la recta \(y = x\). Esto se debe a que el punto \((a, b)\) está en la gráfica de \(f\) si y solo si \((b, a)\) está en la gráfica de \(f^{-1}\).
El procedimiento requiere que la función sea biyectiva (o que se la restrinja para que lo sea).
Algoritmo para hallar \(f^{-1}\)
Restricción de dominio y codominio
Cuando una función no es biyectiva en su dominio natural, puede restringirse para que lo sea. El criterio recomendado es elegir la restricción que preserve la imagen original.
✅ No requiere restricción
Ejemplo: \(f(x) = \ln(x)\), \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\)
Ya es biyectiva en su dominio natural. Su inversa es \(f^{-1}(x) = e^x\).
⚠️ Requiere restricción
Ejemplo: \(f(x) = x^2\), \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)
No es inyectiva en \(\mathbb{R}\). Se restringe a \([0,+\infty)\) para obtener la inversa \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\).
Ejemplo 1 — Función logarítmica (sin restricción de dominio ni codominio)
Hallar la función inversa de \(f(x) = \log_3(x+1) - 2\), con \(f:(−1,+\infty)\to\mathbb{R}\).
Ejemplo 2 — Función cuadrática (con restricción de dominio y codominio)
Hallar la función inversa de \(f(x) = x^2 + 1\), con \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\).
Ejemplo 3 — Función lineal (sin restricción)
Hallar la función inversa de \(f(x) = 5x - 7\), con \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\).
Ejemplo 4 — Función exponencial (solo restricción de codominio)
Hallar la función inversa de \(f(x) = e^x - 1\), con \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\).
En la función cuadrática se restringió dominio y codominio. Acá la función exponencial ya es inyectiva en todo \(\mathbb{R}\), por lo que solo fue necesario ajustar el codominio para que coincida con la imagen real de la función.
Si \(f(x) = x^2\), entonces \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\), no \(\dfrac{1}{x^2}\). El \(-1\) en \(f^{-1}\) indica inversión funcional, no potencia.
Si se aplica el algoritmo a \(f(x) = x^2\) sin restringir el dominio, al despejar se obtiene \(x = \pm\sqrt{y}\), que no es una función (da dos valores). Siempre verificar biyectividad primero.
Al restringir \(f(x) = x^2 + 1\) a \([0,+\infty)\), el codominio también debe ajustarse a \([1,+\infty)\). Si se deja como \(\mathbb{R}\), la función sigue sin ser sobreyectiva.
Tras despejar \(x = g(y)\), la función inversa queda expresada con \(y\) como variable independiente. El paso de intercambio \(x \leftrightarrow y\) es necesario para dejar \(f^{-1}\) como función de \(x\).
Para \(f(x) = x^2,\; f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), el codominio es \(\mathbb{R}\) pero la imagen es \([0,+\infty)\). Afirmar que \(f\) es sobreyectiva porque "el codominio es \(\mathbb{R}\)" sin chequear la imagen es un error frecuente.
Ante una gráfica, aplicá la prueba visual de la recta horizontal antes de hacer ningún cálculo. Te dice en segundos si necesitás restringir el dominio.
Cuando restringís, la imagen de \(f^*\) se convierte en el dominio de \((f^*)^{-1}\), y el dominio de \(f^*\) se convierte en la imagen de \((f^*)^{-1}\). Siempre anotá los cuatro conjuntos.
Siempre calculá \(f^{-1}(f(x)) = x\). Si no obtenés \(x\), hay un error en el despeje o en la elección del signo al sacar raíces.
Si podés demostrar que \(f\) es estrictamente creciente o estrictamente decreciente (por ejemplo, usando derivada en el contexto del cálculo), entonces es automáticamente inyectiva. No hace falta la prueba por definición.
✅ Checklist antes de entregar
☐ Verifiqué inyectividad (por definición o recta horizontal)
☐ Calculé la imagen de \(f\) y la comparé con el codominio
☐ Si era necesario, restringí dominio y codominio
☐ Apliqué el algoritmo de despeje correctamente
☐ Intercambié las variables al final
☐ Declaré el dominio e imagen de \(f^{-1}\)
☐ Verifiqué con \(f^{-1}(f(x)) = x\)
