El método se aplica a integrales de la forma:
$$ \int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx $$Condición obligatoria:
$$ \text{grado}(P) < \text{grado}(Q) $$
Elvira
Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, primero hay que dividir polinomios. Es el error más frecuente: arrancar la descomposición sin verificar esta condición.
La idea es descomponer la fracción en una suma de fracciones simples que integran directamente. Hay tres casos según las raíces de \(Q(x)\):
- Caso I: Raíces reales distintas
- Caso II: Raíces reales iguales (repetidas)
- Caso III: Raíces complejas (imaginarias)
Situación: \(Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)\) con \(r_1\neq r_2\in\mathbb{R}\)
Descomposición:
$$ \frac{P(x)}{(x-r_1)(x-r_2)} = \frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2} $$Resultado de la integral:
$$ A\ln|x-r_1|+B\ln|x-r_2|+C $$Método de raíces para hallar A y B:
\(P(x)=A(x-r_2)+B(x-r_1)\)
\(x=r_1\) anula \((x-r_1)\) y despejás \(B\) directamente. Análogo para \(A\).
Gema
El truco de sustituir la raíz de cada factor hace que todo lo demás se anule. No necesitás sistema de ecuaciones: reemplazás cada raíz y despejas directo. Rápido y limpio.
Ejemplo 1 Dos raíces
$$ \int\frac{4x-1}{x^2-2x-3}\,dx $$\(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\)
\(4x-1=A(x+1)+B(x-3)\)
\(x=3\Rightarrow 11=4A\Rightarrow A=\tfrac{11}{4}\)
\(x=-1\Rightarrow -5=-4B\Rightarrow B=\tfrac{5}{4}\)
Ejemplo 2 Tres raíces distintas
$$ \int\frac{4x^2-x-8}{x^3-x^2-2x}\,dx $$\(x(x+1)(x-2)\) → raíces \(0,-1,2\)
\(x=0\Rightarrow A=4\) \(x=-1\Rightarrow B=-1\) \(x=2\Rightarrow C=1\)
Situación: \(Q(x)=(x-r)^2\) con raíz doble \(r\in\mathbb{R}\)
Una raíz doble genera dos fracciones en la descomposición.
Resultado:
$$ A\ln|x-r|-\frac{B}{x-r}+C $$
Elvira
Por cada raíz de multiplicidad \(n\), aparecen \(n\) fracciones. Raíz doble: dos fracciones. Raíz triple: tres fracciones. No te quedes corto en la descomposición.
Ejemplo 3 Raíz doble
$$ \int\frac{x+1}{x^2-4x+4}\,dx $$\(x^2-4x+4=(x-2)^2\) → raíz doble \(r=2\)
\(x+1=A(x-2)+B\)
\(x=2\Rightarrow B=3\) \(x=3\Rightarrow 4=A+3\Rightarrow A=1\)
Ejemplo 4 Raíz doble + raíz simple
$$ \int\frac{1}{x^2(x-1)}\,dx $$Raíz doble \(r=0\), raíz simple \(r=1\)
\(1=Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2\)
\(x=0\Rightarrow B=-1\) \(x=1\Rightarrow C=1\) \(x=-1\Rightarrow A=1\)
Situación: \(Q(x)=x^2+k\) con \(k>0\) (no factoriza sobre \(\mathbb{R}\))
El numerador de la fracción parcial debe ser lineal: \(Ax+B\)
Se separa en dos integrales:
$$ A\int\frac{x}{x^2+k}\,dx+B\int\frac{1}{x^2+k}\,dx $$\(\displaystyle\int\frac{x}{x^2+k}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+k)+C\) \(\displaystyle\int\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctan(x)+C\)
Gema
Para detectar el Caso III: si el discriminante del cuadrático es negativo (\(b^2-4ac < 0\)), las raíces son complejas. Ese factor no se puede factorizar y el numerador de su fracción parcial tiene que ser lineal, nunca constante.
Ejemplo 5 Lineal + cuadrático irreducible
$$ \int\frac{2x}{(x-1)(x^2+1)}\,dx $$\(2x=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)\)
\(x=1\Rightarrow A=1\) \(x=0\Rightarrow C=1\) \(x=-1\Rightarrow B=-1\)
\(\displaystyle\int\frac{-x+1}{x^2+1}\,dx=-\int\frac{x}{x^2+1}\,dx+\int\frac{1}{x^2+1}\,dx\)
La primera por sustitución \(t=x^2+1\): \(-\tfrac{1}{2}\ln(x^2+1)\)
Ejemplo 6 Solo cuadrático
$$ \int\frac{3x+2}{x^2+4}\,dx $$Primera: \(\tfrac{3}{2}\ln(x^2+4)\) Segunda: \(\arctan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\)
Si los grados son iguales o el numerador tiene mayor grado, primero hay que dividir:
$$ \frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)} $$donde \(S(x)\) es el cociente y \(R(x)\) el resto, con \(\text{gr}(R)<\text{gr}(Q)\).
Elvira
El polinomio cociente \(S(x)\) se integra directamente. Solo la parte con el residuo \(R(x)/Q(x)\) necesita fracciones simples, que ahí sí cumple la condición de grado.
Ejemplo 7 División + fracciones simples
$$ \int\frac{x^2-5x+10}{x^2-5x+4}\,dx $$\(x^2-5x+4=(x-4)(x-1)\)
$$ \frac{6}{(x-4)(x-1)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-1} $$\(x=4\Rightarrow A=2\) \(x=1\Rightarrow B=-2\)
Ejemplo 8 División con raíz triple
$$ \int\frac{x^4+x+2}{x^4+2x^3}\,dx $$\(x^4+2x^3=x^3(x+2)\): raíz triple \(r=0\), raíz simple \(r=-2\)
$$ \frac{-2x^3+x+2}{x^3(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x+2} $$\(x=0\Rightarrow C=1\) \(x=-2\Rightarrow D=-2\) \(x=\pm1\Rightarrow A=B=0\)
Arrancar la descomposición sin chequear que gr(P) < gr(Q). Si los grados son iguales, primero hay que dividir.
Para raíz doble \((x-r)^2\), escribir solo \(\frac{A}{(x-r)^2}\) olvidando \(\frac{A}{x-r}\). Necesitás ambas fracciones.
Para \(x^2+k\) escribir \(\frac{A}{x^2+k}\) en vez de \(\frac{Ax+B}{x^2+k}\). El numerador siempre debe ser lineal.
Escribir \(\ln(x-r)\) sin valor absoluto. Lo correcto es \(\ln|x-r|\).
Gema
Antes de integrar, verificá que la suma de tus fracciones parciales (con denominador común) te dé exactamente la fracción original. Es la única forma de saber si la descomposición está bien hecha.
Condición previa: \(\text{gr}(P)<\text{gr}(Q)\). Si no, dividir primero.
| Caso | Raíces de Q(x) | Descomposición | Integral |
|---|---|---|---|
| I | Reales distintas \((x-r_1)(x-r_2)\) |
\(\dfrac{A}{x-r_1}+\dfrac{B}{x-r_2}\) | \(A\ln|x-r_1|+B\ln|x-r_2|+C\) |
| II | Real repetida \((x-r)^2\) |
\(\dfrac{A}{x-r}+\dfrac{B}{(x-r)^2}\) | \(A\ln|x-r|-\dfrac{B}{x-r}+C\) |
| III | Complejas \(x^2+k,\;k>0\) |
\(\dfrac{Ax+B}{x^2+k}\) | \(\dfrac{A}{2}\ln(x^2+k)+\dfrac{B}{\sqrt{k}}\arctan\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{k}}\right)+C\) |
- Verificar que gr(P) < gr(Q). Si no, dividir.
- Factorizar Q(x) completamente sobre los reales.
- Escribir la descomposición según los casos.
- Igualar numeradores y hallar A, B, C...
- Integrar cada fracción simple usando logaritmos y/o arctan.
Intentá resolver cada integral antes de ver la solución. Identificá qué caso corresponde.
\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\)
\(x=3\Rightarrow A=\tfrac{14}{5}\) \(x=-2\Rightarrow B=\tfrac{1}{5}\)
$$ =\frac{14}{5}\ln|x-3|+\frac{1}{5}\ln|x+2|+C $$\((x-2)(x+2)\): \(A=\tfrac{1}{2},\;B=-\tfrac{1}{2}\)
$$ =\frac{1}{2}\ln|x-2|-\frac{1}{2}\ln|x+2|+C $$\(2x=A(x-1)+B\) → \(x=1\Rightarrow B=2\) \(x=0\Rightarrow A=2\)
$$ =2\ln|x-1|-\frac{2}{x-1}+C $$Separamos: \(\int\frac{x}{x^2+9}\,dx+3\int\frac{1}{x^2+9}\,dx\)
$$ =\frac{1}{2}\ln(x^2+9)+\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C $$gr(P)=gr(Q) → dividir: \(1+\frac{2}{x^2-1}\)
\((x-1)(x+1)\): \(A=1,\;B=-1\)
$$ =x+\ln|x-1|-\ln|x+1|+C $$\(x=0\Rightarrow A=-1\) \(x=-1\Rightarrow C=0\) sist.→ \(B=2\)
$$ =-\ln|x|+2\ln|x+1|+C $$