Integrales Impropias

00 · Motivación

¿Qué es una integral impropia?

▼

La integral definida de Riemann requiere un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$ y una función acotada en ese intervalo. Las integrales impropias amplían el concepto a situaciones donde alguna de esas condiciones falla:

Tres casos posibles:

Tipo I: uno (o ambos) extremos del intervalo son $\pm\infty$.
Tipo II: la función presenta una discontinuidad (asíntota vertical) en alguno de los extremos del intervalo.
Tipo III: la función presenta una discontinuidad dentro del intervalo de integración.

En todos los casos la estrategia es la misma: reemplazar el problema de la discontinuidad o del infinito por un límite de integrales propias.

Convergencia y divergencia

Si el límite existe y es finito, decimos que la integral converge.

Si el límite es $\pm\infty$ o no existe, decimos que la integral diverge.

Gema

El truco es siempre el mismo: donde hay un "problema" (infinito o discontinuidad), ponés una variable $b$ o $a$, calculás la integral normal, es decir la integral indefinida, y después tomás el límite correspondiente. La integral impropia es ese límite.

01 · Tipo I

Extremo en el infinito

▼

Definición — Integral impropia de Tipo I

Sea $f$ continua en $[a, +\infty)$. Se define:

$$ \int_a^{+\infty} f(x)\, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\, dx $$

Análogamente, si $f$ es continua en $(-\infty, b]$:

$$ \int_{-\infty}^b f(x)\, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)\, dx $$

La idea geométrica es clara: el intervalo de integración crece indefinidamente y preguntamos si el área acumulada se estabiliza en un valor finito (converge) o sigue creciendo (diverge).

Ejemplo 1 — Calcular $\displaystyle \int_4^{+\infty} \dfrac{dx}{\sqrt{x+1}}$

Sea $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$. Su dominio es $(-1, +\infty)$, y es continua en $[4, +\infty)$.

1

Integral indefinida con cambio de variable

Realizamos la siguiente sustitucion:

$t = x + 1$

$dt = dx$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x+1}}\, dx = \int t^{-1/2}\, dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x+1} + C $$

2

Plantear el límite $$ \int_4^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x+1}} = \lim_{b \to +\infty} \int_4^b \frac{dx}{\sqrt{x+1}} $$

3

Evaluar con la primitiva $$ = \lim_{b \to +\infty} \Big[ 2\sqrt{x+1} \Big]_4^b = \lim_{b \to +\infty} \Big( 2\sqrt{b+1} - 2\sqrt{5} \Big) $$

4

Calcular el límite

Cuando $b \to +\infty$, $\sqrt{b+1} \to +\infty$

Por lo tanto:

$$ \lim_{b \to +\infty} \Big( 2\sqrt{b+1} - 2\sqrt{5} \Big) = +\infty $$

$$\int_4^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x+1}} \to \textbf{Diverge}$$

El área bajo $1/\sqrt{x+1}$ desde $x=4$ crece sin límite porque la función decrece "demasiado lento": no alcanza para que el área se estabilice.

Ejemplo 2 — Calcular $\displaystyle \int_{-\infty}^{-4} \dfrac{dx}{x^2 + 4x + 3}$

Factorizamos el denominador: $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$. Dominio de $f$: $\mathbb{R} - \{-1,\, -3\}$. La función es continua en $(-\infty, -4)$

1

Integral indefinida — fracciones parciales $$ \frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3} $$

Multiplicando ambos lados por $(x+1)(x+3)$:

$$ 1 = A(x+3) + B(x+1) $$

Si $x = -1$: $1 = 2A \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}$

Si $x = -3$: $1 = -2B \Rightarrow B = -\dfrac{1}{2}$

2

Primitiva $$ \int \frac{dx}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+3} $$ $$ = \frac{1}{2}\ln|x+1| - \frac{1}{2}\ln|x+3| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+1}{x+3}\right| + C $$

3

Plantear el límite $$ \int_{-\infty}^{-4} f(x)\, dx = \lim_{b \to -\infty} \left[\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+1}{x+3}\right|\right]_b^{-4} $$

4

Evaluar $$ = \lim_{b \to -\infty} \frac{1}{2}\left[\ln\left|\frac{-4+1}{-4+3}\right| - \ln\left|\frac{b+1}{b+3}\right|\right] $$ $$ = \lim_{b \to -\infty} \frac{1}{2}\left[\ln\left|\frac{-3}{-1}\right| - \ln\left|\frac{b+1}{b+3}\right|\right] $$ $$ = \frac{1}{2}\left[\ln 3 - \ln 1\right] = \frac{\ln 3}{2} $$

Cálculo auxiliar del límite: $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x+1}{x+3} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x(1+1/x)}{x(1+3/x)} = 1$, entonces $\ln|\cdot| \to \ln 1 = 0$.

$$\int_{-\infty}^{-4} \frac{dx}{x^2+4x+3} = \frac{\ln 3}{2} \quad \textbf{Converge}$$

Elvira

Ojo con las fracciones parciales: siempre verificá que el grado del numerador sea menor que el del denominador antes de arrancar. Si no, primero hacés división polinómica.

02 · Tipo II

Discontinuidad en un extremo (asíntota vertical)

▼

Definición — Integral impropia de Tipo II

Si $f$ tiene una asíntota vertical en $x = a$ (extremo izquierdo) y es continua en $(a, b]$:

$$ \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\, dx $$

Si la discontinuidad está en $x = b$ (extremo derecho) y $f$ es continua en $[a, b)$:

$$ \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)\, dx $$

Clave para identificar el tipo: antes de integrar, verificar siempre el dominio de $f$. Si algún extremo del intervalo no está en el dominio, la integral es de Tipo II.

Ejemplo 3 — Calcular $\displaystyle \int_6^8 \dfrac{4}{(x-6)^3}\, dx$

Sea $f(x) = \dfrac{4}{(x-6)^3}$. El dominio es $\mathbb{R} - \{6\}$, así que hay una asíntota vertical en $x = 6$, que es el extremo izquierdo del intervalo. La integral es de Tipo II.

1

Integral indefinida con cambio de variable

Realizamos la siguiente sustitucion:

$u = x - 6$

$du = dx$

$$ \int \frac{4}{(x-6)^3}\, dx = 4\int u^{-3}\, du = 4 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = \frac{-2}{(x-6)^2} + C $$

2

Plantear el límite desde la derecha

La discontinuidad está en $x = 6$ (extremo izquierdo), entonces el límite se toma desde $a \to 6^+$:

$$ \int_6^8 \frac{4}{(x-6)^3}\, dx = \lim_{a \to 6^+} \int_a^8 \frac{4}{(x-6)^3}\, dx $$

3

Evaluar con la primitiva $$ = \lim_{a \to 6^+} \left[\frac{-2}{(x-6)^2}\right]_a^8 = \lim_{a \to 6^+} \left[\frac{-2}{(8-6)^2} - \frac{-2}{(a-6)^2}\right] $$ $$ = \lim_{a \to 6^+} \left[-\frac{1}{2} + \frac{2}{(a-6)^2}\right] $$

4

Calcular el límite

Cuando $a \to 6^+$, $(a-6)^2 \to 0^+$

Por lo tanto $\dfrac{2}{(a-6)^2} \to +\infty$:

$$ \lim_{a \to 6^+} \left[-\frac{1}{2} + \frac{2}{(a-6)^2}\right] = +\infty $$

$$\int_6^8 \frac{4}{(x-6)^3}\, dx \to \textbf{Diverge}$$

Geométricamente, la función "explota" hacia $+\infty$ al acercarse a $x = 6$ desde la derecha, por lo que el área acumulada es infinita.

Ejemplo 4 — Calcular $\displaystyle \int_1^2 \ln(x-1)\, dx$

Sea $f(x) = \ln(x-1)$. El dominio es $(1, +\infty)$, hay una asíntota vertical en $x = 1$ (extremo izquierdo). Es de Tipo II.

1

Integral indefinida — integración por partes

Usamos:

$u = \ln(x-1) \, , \quad dv = dx$

$du = \dfrac{1}{x-1}dx \, , \quad v = x$

$$ \int \ln(x-1)\, dx = x\ln(x-1) - \int \frac{x}{x-1}\, dx $$

Para la integral restante, usamos $t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1$:

$$ \int \frac{x}{x-1}\, dx = \int \frac{t+1}{t}\, dt = \int \left(1 + \frac{1}{t}\right)dt = t + \ln|t| + C $$ $$ = (x-1) + \ln|x-1| + C $$

Por lo tanto:

$$ \int \ln(x-1)\, dx = x\ln|x-1| - (x-1) - \ln|x-1| + C $$

2

Plantear el límite desde la derecha $$ \int_1^2 \ln(x-1)\, dx = \lim_{b \to 1^+} \left[x\ln|x-1| - (x-1) - \ln|x-1|\right]_b^2 $$

3

Evaluar en el extremo fijo $x = 2$ $$ x = 2:\quad 2\ln(1) - 1 - \ln(1) = 0 - 1 - 0 = -1 $$

4

Evaluar el límite en $b \to 1^+$ $$ \lim_{b \to 1^+} \Big[ b\ln|b-1| - (b-1) - \ln|b-1| \Big] $$

El término $(b-1) \to 0$. Analizamos el término clave $(b-1)\ln|b-1|$:

$$ \lim_{b \to 1^+} (b-1)\ln(b-1) = \lim_{t \to 0^+} t\ln t \overset{L'H}{=} \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln t}{1/t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1/t}{-1/t^2} = \lim_{t \to 0^+} (-t) = 0 $$

Por lo tanto el límite en $b \to 1^+$ vale: $0 - 0 - 0 = 0$.

5

Resultado final $$ \int_1^2 \ln(x-1)\, dx = (-1) - 0 = -1 $$

$$\int_1^2 \ln(x-1)\, dx = -1 \quad \textbf{Converge}$$

Error típico: aplicar directamente la fórmula de Barrow sin notar que $\ln(x-1)$ no está definida en $x=1$. Ese resultado sería incorrecto. Siempre verificar el dominio primero.

Gema

El límite $\lim_{t \to 0^+} t\cdot \ln (t) = 0$ aparece muy seguido en integrales impropias con logaritmos. Vale la pena grabarlo: aunque $\ln (t) \to -\infty$, el $t$ "gana" y el producto va a cero.

03 · Tipo III

Discontinuidad dentro del intervalo

▼

Definición — Integral impropia de Tipo III

Si $f$ tiene una discontinuidad en $x = c$ con $a < c < b$, se parte el intervalo en ese punto:

$$ \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx $$

Cada una de las dos partes es una integral impropia de Tipo II y se calcula con su límite correspondiente:

$$ = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)\, dx + \lim_{s \to c^+} \int_s^b f(x)\, dx $$

La integral total converge solo si ambas partes convergen.

Error gravísimo: calcular directamente $\int_a^b f(x)\,dx$ con la fórmula de Barrow ignorando la discontinuidad interior. Esto da un resultado completamente erróneo. Siempre verificar el dominio antes de integrar.

Ejemplo 5 — Calcular $\displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{|x-1|}}\, dx$

Sea $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{|x-1|}}$. El dominio es $\mathbb{R} - \{1\}$, así que hay una discontinuidad en $x = 1$, que está dentro del intervalo $[0,2]$. Es de Tipo III.

Por definición del valor absoluto:

$$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} & \text{si } x > 1 \\\\ \dfrac{1}{\sqrt{-(x-1)}} & \text{si } x < 1 \end{cases} $$

1

Partir la integral en $x = 1$ $$ \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{|x-1|}} = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{-(x-1)}} + \int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}} $$

2

Integral indefinida para $x > 1$

Realizamos la siguiente sustitucion:

$t = x - 1$

$dt = dx$

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x-1}} = \int t^{-1/2}\, dt = 2\sqrt{x-1} + C $$

Entonces:

$$ \int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}} = \lim_{a \to 1^+} \Big[2\sqrt{x-1}\Big]_a^2 = \lim_{a \to 1^+}\Big(2\sqrt{1} - 2\sqrt{a-1}\Big) = 2 $$

3

Integral indefinida para $x < 1$

Realizamos la siguiente sustitucion:

$t = -(x-1) = 1-x$

$dt = -dx$

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{-(x-1)}} = -\int t^{-1/2}\, dt = -2\sqrt{-(x-1)} + C $$

Entonces:

$$ \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{-(x-1)}} = \lim_{a \to 1^-} \Big[-2\sqrt{-(x-1)}\Big]_0^a $$ $$ = \lim_{a \to 1^-} \Big(-2\sqrt{-(a-1)} - (-2\sqrt{1})\Big) = 0 + 2 = 2 $$

4

Sumar ambas partes $$ \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{|x-1|}} = 2 + 2 = 4 $$

$$\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{|x-1|}} = 4 \quad \textbf{Converge}$$

Ejemplo 6 — Calcular $\displaystyle \int_2^4 \dfrac{4x^2 - x - 8}{x^3 - x^2 - 2x}\, dx$

Factorizamos el denominador: $x^3 - x^2 - 2x = x(x-2)(x+1)$. El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{0, -1, 2\}$. La discontinuidad en $x = 2$ está dentro del intervalo $[2, 4]$ (es el extremo izquierdo, pero como el dominio no incluye $x = 2$, es efectivamente de Tipo II con la discontinuidad en el borde).

1

Fracciones parciales $$ \frac{4x^2-x-8}{x(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2} $$

Si $x = 0$: $-8 = -2A \Rightarrow A = 4$

Si $x = 2$: $6 = 2 \cdot 3 \cdot C \Rightarrow C = 1$

Si $x = -1$: $-3 = (-1)(-3)B \Rightarrow B = -1$

2

Primitiva $$ \int \frac{4x^2-x-8}{x^3-x^2-2x}\,dx = 4\ln|x| - \ln|x+1| + \ln|x-2| + C $$

3

Plantear el límite (discontinuidad en el extremo izquierdo $x = 2$) $$ \int_2^4 f(x)\,dx = \lim_{b \to 2^+} \left[4\ln|x| - \ln|x+1| + \ln|x-2|\right]_b^4 $$

4

Evaluar en $x = 4$ $$ 4\ln 4 - \ln 5 + \ln 2 $$

5

Analizar el límite cuando $b \to 2^+$ $$ \lim_{b \to 2^+} \Big(4\ln b - \ln(b+1) + \ln|b-2|\Big) $$

El término $\ln|b-2| \to -\infty$ cuando $b \to 2^+$. Los otros dos términos convergen a valores finitos. Por lo tanto el límite es $-\infty$.

$$\int_2^4 \frac{4x^2-x-8}{x^3-x^2-2x}\,dx \to \textbf{Diverge}$$

Elvira

Cuando tenés una discontinuidad en el interior del intervalo: si cualquiera de las dos partes diverge, la integral entera diverge. No hace falta calcular la otra parte si ya sabés que una explota.

04 · Caso especial

Integral de $-\infty$ a $+\infty$

▼

Definición

Si $f$ es continua en $\mathbb{R}$, se parte la integral en un punto cualquiera $c$ (usualmente $c = 0$):

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = \int_{-\infty}^c f(x)\, dx + \int_c^{+\infty} f(x)\, dx $$ $$ = \lim_{a \to -\infty} \int_a^c f(x)\, dx + \lim_{b \to +\infty} \int_c^b f(x)\, dx $$

Converge solo si ambos límites son finitos. Los dos límites son independientes: no se puede hacer $\lim_{R \to \infty} \int_{-R}^R$ (eso es el "valor principal de Cauchy", que es un concepto diferente).

Ejemplo 7 — Calcular $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}\, dx$

Sea $f(x) = e^{-|x|}$. Por definición del valor absoluto:

$$ f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \\\\ e^{x} & \text{si } x < 0 \end{cases} $$

$f$ es continua en $\mathbb{R}$. Partimos en $c = 0$:

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}\, dx = \int_{-\infty}^0 e^x\, dx + \int_0^{+\infty} e^{-x}\, dx $$

1

Primera parte: $\int_{-\infty}^0 e^x\, dx$ $$ = \lim_{a \to -\infty} \Big[e^x\Big]_a^0 = \lim_{a \to -\infty} \Big(e^0 - e^a\Big) = 1 - 0 = 1 $$

2

Segunda parte: $\int_0^{+\infty} e^{-x}\, dx$ $$ = \lim_{b \to +\infty} \Big[-e^{-x}\Big]_0^b = \lim_{b \to +\infty} \Big(-e^{-b} + e^0\Big) = 0 + 1 = 1 $$

3

Suma de ambas partes $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}\, dx = 1 + 1 = 2 $$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}\, dx = 2 \quad \textbf{Converge}$$

Ejemplo 8 — Calcular $\displaystyle \int_{-2}^5 \dfrac{dx}{\sqrt{|x|}}$ (Tipo III combinado)

Sea $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{|x|}}$. El dominio es $\mathbb{R} - \{0\}$, y $x = 0$ está dentro del intervalo $[-2, 5]$. Combinamos Tipo III y Tipo II:

$$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{x}} & \text{si } x > 0 \\\\ \dfrac{1}{\sqrt{-x}} & \text{si } x < 0 \end{cases} $$

1

Partir en $x = 0$ $$ \int_{-2}^5 \frac{dx}{\sqrt{|x|}} = \int_{-2}^0 \frac{dx}{\sqrt{-x}} + \int_0^5 \frac{dx}{\sqrt{x}} $$

2

Primitiva para $x < 0$: $t = -x$, $-dt = dx$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{-x}} = -\int t^{-1/2}\, dt = -2\sqrt{-x} + C $$ $$ \int_{-2}^0 \frac{dx}{\sqrt{-x}} = \lim_{b \to 0^-} \Big[-2\sqrt{-x}\Big]_{-2}^b = \lim_{b \to 0^-} \Big(-2\sqrt{-b} + 2\sqrt{2}\Big) = 2\sqrt{2} $$

3

Primitiva para $x > 0$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C $$ $$ \int_0^5 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{b \to 0^+} \Big[2\sqrt{x}\Big]_b^5 = 2\sqrt{5} - 0 = 2\sqrt{5} $$

4

Resultado $$ \int_{-2}^5 \frac{dx}{\sqrt{|x|}} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} $$

$$\int_{-2}^5 \frac{dx}{\sqrt{|x|}} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} \quad \textbf{Converge}$$

Gema y Elvira

Resumen clave: para cualquier integral impropia, el procedimiento siempre es (1) identificar el problema, (2) reemplazar por un límite, (3) calcular la integral normal, (4) evaluar el límite. Los tres tipos se reducen a lo mismo: un límite.

05 · Práctica

Ejercicios con solución

▼

1. Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \sec(x)\, dx$. ¿Converge o diverge? ▼

Sea $f(x) = \sec(x)$. El dominio es $\mathbb{R} - \left\{\dfrac{k\pi}{2},\, k \in \mathbb{Z},\, k \neq 0\right\}$.

El primer problema ocurre en $x = \dfrac{\pi}{2}$, que está dentro del intervalo $[0, +\infty)$. La función presenta una asíntota vertical allí, por lo que antes de llegar al infinito ya hay una discontinuidad. La integral es impropia de Tipo II (y simultáneamente Tipo I).

Calculamos el límite de la parte izquierda:

$$ \int_0^{\pi/2} \sec(x)\, dx = \lim_{t \to (\pi/2)^-} \Big[\ln|\sec x + \tan x|\Big]_0^t $$ $$ = \lim_{t \to (\pi/2)^-} \Big(\ln|\sec t + \tan t| - \ln 1\Big) = +\infty $$

Como esta parte ya diverge:

$$\int_0^{+\infty} \sec(x)\, dx \to \textbf{Diverge}$$

2. Calcular $\displaystyle \int_0^2 \ln(2-x)\, dx$. ▼

Sea $f(x) = \ln(2-x)$. El dominio es $(-\infty, 2)$. Hay asíntota vertical en $x = 2$, que es el extremo derecho. Es de Tipo II.

1

Integral indefinida

Hacemos $t = 2 - x$, $dt = -dx$:

$$ \int \ln(2-x)\, dx = -\int \ln t\, dt $$

Integrando por partes ($u = \ln t$, $dv = dt$):

$$ -\int \ln t\, dt = -\Big[t\ln t - t\Big] + C = -(2-x)\ln|2-x| + (2-x) + C $$

2

Plantear el límite $$ \int_0^2 \ln(2-x)\, dx = \lim_{b \to 2^-} \Big[-(2-x)\ln|2-x| + (2-x)\Big]_0^b $$

3

Evaluar en $x = 0$ $$ -(2)\ln 2 + 2 = 2 - 2\ln 2 $$

4

Límite cuando $b \to 2^-$

El término $(2-b) \to 0$ y $(2-b)\ln(2-b) \to 0$ (límite similar al de $t\ln t$ cuando $t \to 0^+$).

$$ \lim_{b \to 2^-} \Big[-(2-b)\ln(2-b) + (2-b)\Big] = 0 $$

5

Resultado $$ \int_0^2 \ln(2-x)\, dx = 0 - (2 - 2\ln 2) = 2\ln 2 - 2 $$

$$\int_0^2 \ln(2-x)\, dx = 2\ln 2 - 2 \approx -0.614 \quad \textbf{Converge}$$

3. Calcular $\displaystyle \int_2^4 \dfrac{4x^2-x-8}{x^3-x^2-2x}\, dx$. Determinar si converge o diverge. ▼

El denominador factoriza como $x(x-2)(x+1)$. Dom $f = \mathbb{R} - \{0, -1, 2\}$. La discontinuidad en $x = 2$ está en el extremo izquierdo del intervalo $[2,4]$. Es de Tipo II.

Por fracciones parciales (calculadas anteriormente): $A = 4$, $B = -1$, $C = 1$. La primitiva es:

$$ F(x) = 4\ln|x| - \ln|x+1| + \ln|x-2| $$

Planteamos:

$$ \int_2^4 f(x)\,dx = \lim_{b \to 2^+} \Big[F(x)\Big]_b^4 $$ $$ = \lim_{b \to 2^+} \Big(4\ln 4 - \ln 5 + \ln 2\Big) - \Big(4\ln b - \ln(b+1) + \ln|b-2|\Big) $$

Cuando $b \to 2^+$: $\ln|b-2| \to -\infty$. El conjunto del paréntesis va a $+\infty$.

$$\int_2^4 \frac{4x^2-x-8}{x^3-x^2-2x}\,dx \to \textbf{Diverge}$$

4. Sabiendo que $\displaystyle \int_2^4 f(t)\, dt = 5$, calcular $\displaystyle \int_{-3}^1 \dfrac{f(\sqrt{7-3x})}{\sqrt{7-3x}}\, dx$. ▼

Este ejercicio es de cambio de variable, no de integral impropia, pero trabaja con dominios restringidos y transformación de límites.

1

Plantear el cambio de variable

Hacemos $u = \sqrt{7-3x}$, entonces $u^2 = 7 - 3x \Rightarrow x = \dfrac{7-u^2}{3}$.

$$ du = \frac{1}{2\sqrt{7-3x}} \cdot (-3)\, dx \Rightarrow dx = -\frac{2}{3} u\, du $$

2

Transformar los límites

Si $x = -3$: $u = \sqrt{7-3(-3)} = \sqrt{16} = 4$

Si $x = 1$: $u = \sqrt{7-3(1)} = \sqrt{4} = 2$

3

Sustituir en la integral $$ \int_{-3}^1 \frac{f(\sqrt{7-3x})}{\sqrt{7-3x}}\, dx = \int_4^2 \frac{f(u)}{u} \cdot \left(-\frac{2}{3}u\right) du = \frac{2}{3}\int_2^4 f(u)\, du $$

4

Usar el dato $$ = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} $$

$$\int_{-3}^1 \frac{f(\sqrt{7-3x})}{\sqrt{7-3x}}\, dx = \frac{10}{3}$$

Integrales Impropias

¡Bienvenido a Insight!