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Análisis Matemático I · Integrales
⏱ calculando...Derivar es como avanzar en el tiempo: sabés cómo era la función y la "transformás" en su derivada. Integrar es exactamente lo opuesto.
Imaginate que llegás a una escena del crimen y ves las "pistas" (la derivada). Tu trabajo es reconstruir qué función original (la primitiva) pudo haber dejado exactamente esas pistas al ser derivada.
Derivar es fácil: hay reglas mecánicas que siempre funcionan. Integrar es mucho más difícil: no siempre existe una forma cerrada, y encontrarla requiere reconocer patrones.
Considerá estas tres funciones:
$$ f(x) = x^2 - 3 \qquad g(x) = x^2 \qquad h(x) = x^2 + 100 $$Las tres tienen la misma derivada:
$$ f'(x) = g'(x) = h'(x) = 2x $$Entonces, si me dan \(2x\) y me preguntan cuál era la función original... la respuesta no es una sola, sino toda una familia:
$$ x^2 + C \qquad (C \in \mathbb{R}) $$Se llama integral indefinida de \(f(x)\) a la familia de todas sus primitivas:
$$ \int f(x)\, dx = F(x) + C $$donde \(F(x)\) es cualquier función tal que \(F'(x) = f(x)\), y \(C \in \mathbb{R}\) es la constante de integración.
Gema
Nunca olvides la constante \(C\). La integral indefinida no es una función, es una familia de funciones que difieren entre sí en una constante. Olvidar la \(C\) es como decir que hay una sola respuesta cuando hay infinitas.
Para verificar si \(F(x) + C\) es la integral de \(f(x)\), simplemente derivá el resultado. Si obtenés \(f(x)\), la respuesta es correcta.
Si calculaste \(\displaystyle\int f(x)\, dx = F(x) + C\), entonces debe cumplirse:
$$ \frac{d}{dx}\bigl[F(x) + C\bigr] = f(x) $$La regla de derivacion para potencias era \((x^n)' = n\, x^{n-1}\). Al integrar, "deshacemos" ese proceso.
Válida para todo \(n \in \mathbb{R}\) excepto \(n = -1\).
Viene directamente de revertir la regla de derivacion:
Si intentamos aplicar la formula con \(n = -1\):
$$ \int x^{-1}\, dx = \frac{x^{-1+1}}{-1+1} + C = \frac{x^0}{0} + C $$Hay una division por cero: la formula no funciona. Para ese caso existe una integral especial:
El valor absoluto es necesario porque \(\ln(x)\) solo está definido para \(x > 0\), pero \(\dfrac{1}{x}\) puede integrarse en \((-\infty, 0)\) también.
Elvira
Atencion: antes de aplicar la regla de la potencia, siempre fijate que el exponente no sea \(-1\). Es el caso que "rompe" la formula. Si tenes \(\dfrac{1}{x}\), la integral es \(\ln|x| + C\), no algo con potencia.
| Integral | Resultado |
|---|---|
| \(\displaystyle\int x^3\, dx\) | \(\dfrac{x^4}{4} + C\) |
| \(\displaystyle\int x^{1/2}\, dx = \displaystyle\int \sqrt{x}\, dx\) | \(\dfrac{x^{3/2}}{3/2} + C = \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C\) |
| \(\displaystyle\int x^{-3}\, dx\) | \(\dfrac{x^{-2}}{-2} + C = -\dfrac{1}{2x^2} + C\) |
| \(\displaystyle\int 1\, dx = \displaystyle\int x^0\, dx\) | \(x + C\) |
Estas propiedades permiten descomponer integrales complejas en piezas mas simples que ya sabemos resolver.
La integral de una suma es la suma de las integrales. Esto permite integrar termino a termino.
Una constante que multiplica al integrando puede sacarse fuera de la integral.
Gema
Combinando las dos propiedades, podés integrar cualquier polinomio o suma de funciones inmediatas de forma directa, termino por termino. Son las herramientas mas usadas en la practica.
La linealidad funciona para suma y resta, pero no para productos ni cocientes:
$$ \int f(x) \cdot g(x)\, dx \neq \int f(x)\, dx \cdot \int g(x)\, dx $$Por ejemplo, \(\displaystyle\int x \cdot x^2\, dx = \displaystyle\int x^3\, dx = \dfrac{x^4}{4} + C\), que es muy distinto de \(\dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{x^3}{3}\).
Estas son las integrales que necesitas tener memorizadas. Cada una se verifica derivando el resultado.
| Funcion \(f(x)\) | Integral \(\displaystyle\int f(x)\, dx\) |
|---|---|
| \(x^n\) \((n \neq -1)\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(\dfrac{1}{x} = x^{-1}\) | \(\ln|x| + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(\text{sen}(x)\) | \(-\cos(x) + C\) |
| \(\cos(x)\) | \(\text{sen}(x) + C\) |
| \(\text{tg}(x)\) | \(-\ln|\cos(x)| + C\) |
| \(k\) (constante) | \(k\,x + C\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)\) | \(\text{tg}(x) + C\) |
No la memorices de memoria: entendelA. Cada integral de la tabla es simplemente la inversa de una derivada conocida. Si ya sabes derivar bien, la tabla te resulta obvia. Verificala derivando cada resultado.
Ejemplo 1. Calcular:
$$ \int \left(2e^x + 5\,\text{sen}(x) - x^3 + \frac{1}{x}\right) dx $$\(\displaystyle\int e^x\, dx = e^x\)
$$ 2 \cdot e^x $$\(\displaystyle\int \text{sen}(x)\, dx = -\cos(x)\)
$$ 5 \cdot (-\cos x) = -5\cos(x) $$\(\displaystyle\int x^3\, dx = \dfrac{x^4}{4}\)
$$ -\frac{x^4}{4} $$\(\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\, dx = \ln|x|\)
$$ \ln|x| $$
Elvira
Siempre escribi el paso de "separar en integrales" antes de resolver. No te saltes ese paso aunque te parezca obvio: te ayuda a no cometer errores de signo y a organizar el trabajo.
Ejemplo 2. Calcular:
$$ \int \frac{t\,\sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^2}\, dt $$Recordar que \(\sqrt{t} = t^{1/2}\).
Primer termino:
$$ \frac{t \cdot t^{1/2}}{t^2} = \frac{t^{3/2}}{t^2} = t^{3/2 - 2} = t^{-1/2} $$Segundo termino:
$$ \frac{t^{1/2}}{t^2} = t^{1/2 - 2} = t^{-3/2} $$Primer termino (\(n = -1/2\)):
$$ \int t^{-1/2}\, dt = \frac{t^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{t^{1/2}}{1/2} = 2t^{1/2} = 2\sqrt{t} $$Segundo termino (\(n = -3/2\)):
$$ \int t^{-3/2}\, dt = \frac{t^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} = \frac{t^{-1/2}}{-1/2} = -2t^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{t}} $$
Gema y Elvira
El truco en integrales con raices y fracciones es siempre el mismo: reescribir todo como potencias de \(x\) antes de integrar. Una vez que todo queda como \(x^n\), la regla de la potencia hace el resto.
Ejemplo 3. Calcular:
$$ \int \frac{-2x^5 + 4 - 2x}{x}\, dx $$\(-2\displaystyle\int x^4\, dx = -2 \cdot \dfrac{x^5}{5} = -\dfrac{2x^5}{5}\)
\(4\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\, dx = 4\ln|x|\)
\(-\displaystyle\int 2\, dx = -2x\)
\(-2 \cdot \dfrac{x^{-2}}{-2} = \dfrac{1}{x^2}\)
\(\dfrac{x^{8/3}}{8/3} = \dfrac{3}{8}x^{8/3}\)
\(2 \cdot \dfrac{x^{-2/5}}{-2/5} = -5x^{-2/5} = -\dfrac{5}{x^{2/5}}\)
\(\dfrac{3}{5}x\)
\(3 \cdot \dfrac{x^3}{3} = x^3\)
\(-4 \cdot \ln|x| = -4\ln|x|\)
\(7 \cdot e^x = 7e^x\)
\(-2 \cdot \text{sen}(x) = -2\,\text{sen}(x)\)
\(\dfrac{x^2}{2}\) | \(-5\ln|x|\) | \(2 \cdot \dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{2}{x}\)
\(\dfrac{x^{7/4}}{7/4} = \dfrac{4}{7}x^{7/4}\)
\(-3 \cdot \dfrac{x^{1/2}}{1/2} = -6x^{1/2} = -6\sqrt{x}\)
\(4 \cdot \dfrac{x^2}{2} = 2x^2\)
Elvira
Antes de integrar cualquier ejercicio, fijate si podes simplificar primero: dividir una fraccion termino a termino, o pasar raices a potencias fraccionarias. Un minuto de preparacion te ahorra muchos errores.
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