Integración por Partes

01 · Definición

El Método — Definición Formal

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La Integración por Partes es una técnica para calcular integrales de productos de funciones. Se deriva de la regla del producto de la derivación:

Fórmula principal:

$$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$

donde $u$ y $v$ son funciones diferenciables de la variable de integración.

Para aplicarla se deben identificar dos partes dentro del integrando: una que actuará como $u$ y otra como $dv$. Luego se calcula $du$ (derivando $u$) y $v$ (integrando $dv$).

Elvira

En lenguaje simple: cuando tenés una integral del estilo $\int f(x)\cdot g(x)\,dx$ y ninguna regla básica la resuelve directo, por partes es tu herramienta. Separás el producto en dos piezas: una la derivás, la otra la integrás.

Gema

Truco para no olvidar la fórmula:

"Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme"

Un

\(u\)

día

\(d\)

v

\(v\)

\(=\)

una

\(u\)

vaca

\(v\)

sin

\(-\)

cola

\(\int\)

vestida

\(v\)

de

\(d\)

uniforme

\(u\)

O sea: $\int u\,dv = u \cdot v - \int v\,du$

02 · Estrategia

Cómo elegir $u$ y $dv$ — Regla ILATE

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La clave del método está en la elección correcta de $u$ y $dv$. La regla ILATE da el orden de prioridad para elegir $u$:

Regla ILATE — elegí $u$ según este orden de prioridad:

I — Funciones Inversas trigonométricas ($\arcsin$, $\arctan$, ...)
L — Logaritmos ($\ln x$, $\log x$)
A — Funciones Algebraicas ($x^n$, polinomios)
T — Funciones Trigonométricas ($\sin x$, $\cos x$)
E — Funciones Exponenciales ($e^x$, $a^x$)

Lo que queda, va a $dv$ (y tiene que ser integrable).

Elvira

Regla de oro: si $u$ se simplifica al derivar y $dv$ es fácil de integrar, vas por buen camino. Si al hacer $\int v\,du$ la integral queda más complicada que al principio, debés cambiar tu elección.

03 · Ejemplos

Ejemplos Resueltos

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Ejemplo 1. Calcular $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$

Elección (ILATE): $u = x$ (algebraica), $dv = e^x\,dx$ (exponencial)

1

Identificar $u$, $dv$, calcular $du$ y $v$ $$u = x \implies du = dx \qquad dv = e^x\,dx \implies v = e^x$$

2

Aplicar la fórmula $$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx$$

3

Resolver la integral restante $$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$

$\displaystyle\int x\,e^x\,dx = e^x(x-1) + C$

Ejemplo 2. Calcular $\displaystyle\int \ln(x)\,dx$

Elección (ILATE): $u = \ln(x)$ (logarítmica, primera en ILATE), $dv = dx$

1

Identificar $u$, $dv$, calcular $du$ y $v$ $$u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x}\,dx \qquad dv = dx \implies v = x$$

2

Aplicar la fórmula $$\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx$$

3

Resolver $$\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C$$

$\displaystyle\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C$

Gema

El truco del Ejemplo 2 funciona con cualquier función que no sabés integrar directo pero sí sabés derivar: ponés $dv = dx$ y listo. Funciona con $\arctan(x)$, $\arcsin(x)$, etc.

Ejemplo 3. Doble aplicación: $\displaystyle\int x^2\,\mathrm{sen}(x)\,dx$

Elección: $u = x^2$ (algebraica), $dv = \mathrm{sen}(x)\,dx$

1

Primera ronda $$u = x^2 \implies du = 2x\,dx \qquad dv = \mathrm{sen}(x)\,dx \implies v = -\cos(x)$$ $$\int x^2\,\mathrm{sen}(x)\,dx = -x^2\cos(x) + 2\int x\cos(x)\,dx$$

2

Segunda ronda: $\int x\cos(x)\,dx$ $$u = x \implies du = dx \qquad dv = \cos(x)\,dx \implies v = \mathrm{sen}(x)$$ $$\int x\cos(x)\,dx = x\,\mathrm{sen}(x) - \int \mathrm{sen}(x)\,dx = x\,\mathrm{sen}(x) + \cos(x)$$

3

Sustituir $$\int x^2\,\mathrm{sen}(x)\,dx = -x^2\cos(x) + 2\bigl[x\,\mathrm{sen}(x) + \cos(x)\bigr] + C$$

$\displaystyle\int x^2\,\mathrm{sen}(x)\,dx = -x^2\cos(x) + 2x\,\mathrm{sen}(x) + 2\cos(x) + C$

Gema

Cuando el polinomio tiene grado $n$, vas a necesitar aplicar por partes exactamente $n$ veces. Podés usar la tabla tabular: columna de derivadas de $u$ a la izquierda, columna de integrales de $dv$ a la derecha, signos alternados. 🎉

Ejemplo 4. Integral circular: $\displaystyle\int e^x\cos(x)\,dx$

Elección: $u = e^x$, $dv = \cos(x)\,dx$ (o al revés, el resultado es el mismo)

1

Primera ronda $$u = e^x \implies du = e^x\,dx \qquad dv = \cos(x)\,dx \implies v = \mathrm{sen}(x)$$ $$\int e^x\cos(x)\,dx = e^x\,\mathrm{sen}(x) - \int e^x\,\mathrm{sen}(x)\,dx$$

2

Segunda ronda: $\int e^x\mathrm{sen}(x)\,dx$ $$u = e^x \implies du = e^x\,dx \qquad dv = \mathrm{sen}(x)\,dx \implies v = -\cos(x)$$ $$\int e^x\,\mathrm{sen}(x)\,dx = -e^x\cos(x) + \int e^x\cos(x)\,dx$$

3

Despejar la integral original (llamémosla $I$) $$I = e^x\,\mathrm{sen}(x) - \bigl[-e^x\cos(x) + I\bigr]$$ $$I = e^x\,\mathrm{sen}(x) + e^x\cos(x) - I$$ $$2I = e^x\bigl(\mathrm{sen}(x) + \cos(x)\bigr)$$

$\displaystyle\int e^x\cos(x)\,dx = \dfrac{e^x\bigl(\mathrm{sen}(x) + \cos(x)\bigr)}{2} + C$

Elvira & Gema

Atajo de verificación rápida: derivá solo el primer término del resultado. Si reconocés el integrando original (más algo que debería cancelarse), vas por el buen camino.

04 · Errores

Errores Típicos

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Error 1 — Olvidar la constante de integración al calcular $v$
Cuando integrás $dv$ para obtener $v$, la constante de integración no importa en el proceso intermedio; solo aparece al final. Pero no podés ignorar el signo negativo en $-\int v\,du$.

Error 2 — Elegir $u$ y $dv$ al revés
Si elegís $u = e^x$ y $dv = x\,dx$ en $\int x e^x\,dx$, la integral resultante es $\int \frac{x^2}{2} e^x\,dx$, que es más difícil. Siempre verificá que $\int v\,du$ sea más simple.

Error 3 — Cambiar la elección de $u$ en la segunda ronda (integral circular)
En el Ejemplo 4 ($\int e^x\cos x\,dx$), si en la segunda ronda intercambiás la función que va a $u$, la integral circular se cancela y llegás a $0 = 0$. ¡Hay que mantener el mismo tipo de función en $u$!

Error 4 — Olvidar el signo al sustituir
Al sustituir la segunda integral en la primera, prestá especial atención a los signos negativos acumulados. Es el error más frecuente en desarrollos con doble aplicación.

Elvira

Siempre verificá tu resultado derivando. Si $\left(e^x(x-1)\right)' = xe^x$, la integral es correcta. Es el único método infalible.

05 · Verificación

Checklist de Verificación

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Antes de aplicar el método:

¿Es realmente un producto de dos funciones distintas? Si no lo es, buscá otro método.
¿Podría resolverse por sustitución simple primero?

Al elegir $u$ y $dv$:

¿Seguí la regla ILATE para $u$?
¿El $dv$ elegido tiene primitiva conocida?
¿La integral resultante $\int v\,du$ es más simple o tratable?

Al finalizar:

Derivá el resultado y verificá que coincida con el integrando original.
¿Aparece la constante $C$?
Si la integral es circular, ¿despejaste correctamente?

Gema

Atajo de verificación rápida: derivá solo el primer término del resultado. Si reconocés el integrando original (más algo que debería cancelarse), vas por el buen camino.

06 · Práctica

Práctica

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Resolvé cada integral. Cuando termines, desplegá la respuesta para verificar.

1. $\displaystyle\int (x+1)\,\sqrt[3]{x}\,dx$ ▼

Elección: $u = x+1$, $dv = x^{1/3}\,dx$

$du = dx$ ⇒ $v = \dfrac{x^{4/3}}{4/3} = \dfrac{3}{4}x^{4/3}$

$$\int (x+1)\,x^{1/3}\,dx = (x+1)\cdot\frac{3}{4}x^{4/3} - \int \frac{3}{4}x^{4/3}\,dx$$ $$= \frac{3}{4}(x+1)\,x^{4/3} - \frac{3}{4}\cdot\frac{x^{7/3}}{7/3} + C$$

$\displaystyle\int (x+1)\,\sqrt[3]{x}\,dx = \dfrac{3}{4}(x+1)\,x^{4/3} - \dfrac{9}{28}\,x^{7/3} + C$

2. $\displaystyle\int x\,\cos(x)\,dx$ ▼

Elección: $u = x$, $dv = \cos(x)\,dx$

$du = dx$ ⇒ $v = \mathrm{sen}(x)$

$$\int x\,\cos(x)\,dx = x\,\mathrm{sen}(x) - \int \mathrm{sen}(x)\,dx = x\,\mathrm{sen}(x) + \cos(x) + C$$

$\displaystyle\int x\,\cos(x)\,dx = x\,\mathrm{sen}(x) + \cos(x) + C$

3. $\displaystyle\int x^2\,e^x\,dx$ ▼

Doble aplicación. Primera ronda: $u = x^2$, $dv = e^x\,dx$

$du = 2x\,dx$ ⇒ $v = e^x$

$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2\int x\,e^x\,dx$$

Segunda ronda para $\int x\,e^x\,dx$ (ver Ejemplo 1):

$$\int x\,e^x\,dx = xe^x - e^x$$

Sustituimos:

$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2(xe^x - e^x) + C$$

$\displaystyle\int x^2\,e^x\,dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

4. $\displaystyle\int \arctan(x)\,dx$ ▼

Elección: $u = \arctan(x)$ (inversa trigonométrica, primera en ILATE), $dv = dx$

$du = \dfrac{1}{1+x^2}\,dx$ ⇒ $v = x$

$$\int \arctan(x)\,dx = x\,\arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx$$

La última integral se resuelve por sustitución con $t = 1+x^2$:

$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)$$

$\displaystyle\int \arctan(x)\,dx = x\,\arctan(x) - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$

Integración por Partes

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