Método de Sustitución

Concepto

¿Qué es el Método de Sustitución?

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El método de sustitución (también llamado integración por cambio de variable) es la técnica para resolver integrales de funciones compuestas. Es, en cierto sentido, la regla de la cadena al revés.

Idea central: si dentro de la integral aparece una función compuesta $F(g(x))$ y justo acompañándola (multiplicando) está la derivada de esa función interior $g'(x)$, entonces podés hacer el reemplazo:

$$u = g(x) \qquad du = g'(x)\,dx$$

y la integral se transforma en algo mucho más simple en términos de $u$.

$$\int F(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int F(u)\,du$$

Una vez resuelta la integral en $u$, siempre hay que volver a la variable original $x$ reemplazando $u = g(x)$.

Gema

¡Pensalo como un disfraz! Cambiás la integral complicada por una disfrazada de simple. Después le sacás el disfraz y listo — tenés la respuesta en $x$.

¿Cuándo se puede aplicar?

Cuando aparece una función compuesta $F(g(x))$
Y su derivada $g'(x)$ (o un múltiplo constante de ella) está multiplicando
A veces hay que despejar la integral para obtener exactamente $du$

Procedimiento

Paso a paso

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Elvira

Seguí estos pasos en orden cada vez. No te saltes ninguno, sobre todo el de volver a $x$ al final. Eso es lo que más se olvida.

1

Identificá la función interior. Mirá qué función está "adentro" de otra. Llamala $u = g(x)$.

2

Calculá el diferencial. Derivá $u$ respecto de $x$: $\dfrac{du}{dx} = g'(x)$, entonces $du = g'(x)\,dx$.

3

Despejá $dx$ (o la parte necesaria). Si $g'(x)$ tiene una constante extra, despejá para obtener exactamente lo que necesitás. Por ejemplo: si $du = 8x\,dx$, entonces $\frac{1}{8}\,du = x\,dx$.

4

Reemplazá todo. Sustituí $g(x)$ por $u$ y $g'(x)\,dx$ por $du$. La integral debe quedar completamente en términos de $u$, sin $x$.

5

Integrá en $u$. Ahora la integral debería ser reconocible (tabla, fórmula directa).

6

Volvé a $x$. Reemplazá $u$ por $g(x)$ en el resultado final.

7

Agregá $+ C$. Es una integral indefinida: siempre termina con la constante de integración.

Verificación rápida: derivá tu resultado. Si obtenés el integrando original, la integral es correcta.

Ejemplos resueltos

Del más simple al más complejo

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Ejemplo 1 — Sustitución directa (sin despejes)

$$\int (3x^2 + 2)\,e^{x^3+2x}\,dx$$

¿Qué ves? La función $e^{x^3+2x}$ tiene adentro $x^3+2x$. Su derivada es $3x^2+2$… ¡que está multiplicando justo afuera!

$u = x^3 + 2x$ $du = (3x^2 + 2)\,dx$

Sustitución:

$$\int (3x^2+2)\,e^{x^3+2x}\,dx = \int e^u\,du = e^u + C$$

$$= e^{x^3+2x} + C$$

Gema

Este es el caso ideal: el diferencial "cae redondo", no hay que despejar nada. La derivada de adentro está afuera y punto. ¡Esos son los más lindos!

Ejemplo 2 — Con despeje de constante

$$\int x\,\operatorname{sen}(4x^2)\,dx$$

Función interior: $4x^2$. Su derivada es $8x$, pero en la integral solo hay $x\,dx$. Hay que despejar.

$u = 4x^2$ $du = 8x\,dx$ $\Rightarrow \dfrac{1}{8}\,du = x\,dx$

Sustitución:

$$\int x\,\operatorname{sen}(4x^2)\,dx = \frac{1}{8}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{8}\big[-\cos(u)\big] + C$$

$$= -\frac{1}{8}\cos(4x^2) + C$$

Ejemplo 3 — Fracciones racionales (con constante y logaritmo)

$$\int \frac{x+1}{x^2+2x+3}\,dx$$

Función interior: $x^2+2x+3$. Su derivada es $2x+2 = 2(x+1)$. Arriba aparece $x+1$, así que hay que ajustar el factor 2.

$u = x^2+2x+3$ $du = (2x+2)\,dx$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}\,du = (x+1)\,dx$

Sustitución:

$$\int \frac{x+1}{x^2+2x+3}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C$$

$$= \frac{1}{2}\ln\!\left|x^2+2x+3 \right| + C$$

Elvira

Cuando el numerador es casi la derivada del denominador, la integral da logaritmo. Reconocer ese patrón ahorra muchísimo tiempo.

Ejemplo 4 — Raíz con despeje en variable (nivel intermedio-alto)

$$\int x\sqrt{x+1}\,dx$$

Acá la sustitución afecta también a $x$: hacemos $u = x+1$, de donde se sigue que $x = u-1$. Hay que reemplazar tanto el $dx$ como el $x$ que queda suelto.

$u = x+1$ $du = dx$ $\Rightarrow x = u-1$

Sustitución completa:

$$\int x\sqrt{x+1}\,dx = \int (u-1)\sqrt{u}\,du = \int \left(u^{3/2} - u^{1/2} \right)du$$ $$= \frac{u^{5/2}}{5/2} - \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C$$

$$= \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$$

Gema

¡Truco clave! Cuando tenés $u = x + k$, siempre podés despejar $x = u - k$. De ahí en más todo queda en términos de $u$ y la integral explota en potencias fáciles de integrar.

Ejemplo 5 — Doble sustitución (nivel avanzado)

$$\int \frac{\ln(\sqrt{x})}{x}\,dx$$

Estrategia: se hacen dos sustituciones sucesivas. Primero $u = \sqrt{x}$ para simplificar el argumento del logaritmo, luego $t = \ln(u)$ para resolver la integral resultante.

1ª SUSTITUCIÓN $u = \sqrt{x}$ $du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$ $\Rightarrow\; 2u\,du = dx$ $\Rightarrow\; u^2 = x$

$$\int \frac{\ln(\sqrt{x})}{x}\,dx = \int \frac{\ln(u)}{u^2}\cdot 2u\,du = 2\int \frac{\ln(u)}{u}\,du$$

2ª SUSTITUCIÓN $t = \ln(u)$ $dt = \dfrac{1}{u}\,du$

$$2\int \frac{\ln(u)}{u}\,du = 2\int t\,dt = 2\cdot\frac{t^2}{2} + C = t^2 + C = [\ln(u)]^2 + C$$

$$= \left[\ln(\sqrt{x}) \right]^2 + C$$

Elvira

En la doble sustitución, hay que ser muy ordenada con las variables. Llevá una al lado de la otra en el papel, y al final recordá sustituir hacia atrás en ambas: primero $t$ por $u$, después $u$ por $x$.

Errores típicos

Lo que más falla

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Error 1 — No cambiar los límites en integrales definidas

Cuando la integral es definida y hacés el cambio de variable, los límites de integración deben cambiarse también. Si integrás en $u$ con los límites originales de $x$, el resultado es incorrecto.

Error 2 — Olvidarse de volver a $x$

En integrales indefinidas, el resultado final debe estar en términos de $x$. Dejar la respuesta con $u$ es un error de forma muy común.

Error 3 — Olvidarse el $+ C$

Toda integral indefinida tiene infinitas primitivas que difieren en una constante. Omitir $+C$ es un error conceptual.

Error 4 — No despejar bien $du$

Si $du = 8x\,dx$ y en la integral hay $x\,dx$, hay que despejar: $\frac{1}{8}\,du = x\,dx$. Muchos simplemente escriben $du$ sin ajustar la constante, dando un resultado multiplicado por un factor incorrecto.

Error 5 — Quedarse con $x$ e $u$ mezclados

Después de la sustitución, la integral debe estar completamente en $u$. Si queda algún $x$ suelto, significa que hay algo que todavía no fue sustituido correctamente.

Tips y estrategias

Para resolver más rápido

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¿Qué elijo como $u$? Generalmente la función "más interna" o la más complicada. Buscá que su derivada aparezca multiplicando afuera (aunque sea con una constante distinta).

Patrón logarítmico: si el integrando tiene la forma $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$, la integral siempre da $\ln|f(x)| + C$. Es un caso especial de sustitución con $u = f(x)$.

Raíces como potencias: antes de integrar, reescribí la raíz como potencia fraccionaria: $\sqrt{u} = u^{1/2}$, $\sqrt[3]{u} = u^{1/3}$. Así podés integrar con la fórmula de la potencia.

Verificación: derivá el resultado obtenido. Si da el integrando original, el trabajo fue correcto. Con la regla de la cadena, debería "deshacer" exactamente lo que hiciste.

Integrales definidas: podés optar por dos caminos equivalentes: (a) resolver la indefinida, volver a $x$ y evaluar; (b) cambiar los límites directamente en $u$ y no volver a $x$.

Checklist

Antes de dar el resultado

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1

¿Identificaste correctamente la función interior $u = g(x)$?

2

¿Calculaste bien $du = g'(x)\,dx$ y despejaste lo que necesitabas?

3

¿La integral quedó completamente en términos de $u$, sin ningún $x$?

4

¿Resolviste la integral en $u$ usando tabla o fórmula directa?

5

¿Volviste a la variable $x$ reemplazando $u = g(x)$?

6

¿Agregaste $+C$ al final?

7

¿Verificaste derivando el resultado para confirmar que da el integrando original?

Práctica

Ejercicios para resolver

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Intentá resolver cada integral antes de ver la solución. Identificá qué caso corresponde.

01 · Sustitución directa $$\int \frac{1}{x}\cos(\ln x)\,dx$$

$u = \ln x$ $du = \dfrac{1}{x}\,dx$

$$\int \cos(u)\,du = \operatorname{sen}(u) + C$$

$\operatorname{sen}(\ln x) + C$

02 · Con constante $$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$$

$u = x^2+1$ $du = 2x\,dx$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}\,du = x\,dx$

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C$$

$\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$

03 · Potencia negativa $$\int \cos(x)\cdot\operatorname{sen}^{-2}(x)\,dx$$

$u = \operatorname{sen}(x)$ $du = \cos(x)\,dx$

$$\int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C$$

$\dfrac{-1}{\operatorname{sen}(x)} + C$

04 · Raíz con despeje $$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\,dx$$

$u = \sqrt{x}-1$ $du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$ $\Rightarrow\; dx = 2(u+1)\,du$ $\Rightarrow\; \sqrt{x} = u+1$

$$\int \frac{u+1}{u}\cdot 2(u+1)\,du = 2\int \frac{u^2+2u+1}{u}\,du = 2\int\!\left(u+2+\frac{1}{u}\right)du$$ $$= 2\left(\frac{u^2}{2}+2u+\ln|u|\right)+C$$

$(\sqrt{x}-1)^2 + 4(\sqrt{x}-1) + 2\ln|\sqrt{x}-1| + C$

05 · Exponencial compuesta $$\int \frac{4e^{3x}}{1+e^{2x}}\,dx$$

Observación: $e^{3x} = e^{2x}\cdot e^x$, entonces $e^{2x} = u^2$ y $e^{3x}\,dx = u^2\,du$.

$u = e^x$ $du = e^x\,dx$

$$4\int \frac{u^2}{1+u^2}\,du = 4\int\!\left(1 - \frac{1}{1+u^2}\right)du = 4u - 4\arctan(u) + C$$

$4e^x - 4\arctan(e^x) + C$