Método de Sustitución

01 · Concepto

¿Qué es el Método de Sustitución?

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El método de sustitución (también llamado integración por cambio de variable) es la técnica para resolver integrales de funciones compuestas. Es, en cierto sentido, la regla de la cadena al revés.

Idea central

Si dentro de la integral aparece una función compuesta $F(g(x))$ y justo acompañándola (multiplicando) está la derivada de esa función interior $g'(x)$, entonces podés hacer el reemplazo:

$$ u = g(x) \qquad du = g'(x)\,dx $$

y la integral se transforma en algo mucho más simple en términos de $u$.

$$ \int F(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int F(u)\,du $$

Una vez resuelta la integral en $u$, siempre hay que volver a la variable original $x$ reemplazando $u = g(x)$.

Gema

¡Pensalo como un disfraz! Cambiás la integral complicada por una disfrazada de simple. Después le sacás el disfraz y listo — tenés la respuesta en $x$.

¿Cuándo se puede aplicar?

Cuando aparece una función compuesta $F(g(x))$
Y su derivada $g'(x)$ (o un múltiplo constante de ella) está multiplicando
A veces hay que despejar la integral para obtener exactamente $du$

02 · Procedimiento

Paso a paso

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Elvira

Seguí estos pasos en orden cada vez. No te saltes ninguno, sobre todo el de volver a $x$ al final. Eso es lo que más se olvida.

1

Identificá la función interior. Mirá qué función está "adentro" de otra. Llamala $u = g(x)$.

2

Calculá el diferencial. Derivá $u$ respecto de $x$: $\dfrac{du}{dx} = g'(x)$, entonces $du = g'(x)\,dx$.

3

Despejá $dx$ (o la parte necesaria). Si $g'(x)$ tiene una constante extra, despejá para obtener exactamente lo que necesitás. Por ejemplo: si $du = 8x\,dx$, entonces $\dfrac{1}{8}\,du = x\,dx$.

4

Reemplazá todo. Sustituí $g(x)$ por $u$ y $g'(x)\,dx$ por $du$. La integral debe quedar completamente en términos de $u$, sin $x$.

5

Integrá en $u$. Ahora la integral debería ser reconocible (tabla, fórmula directa).

6

Volvé a $x$. Reemplazá $u$ por $g(x)$ en el resultado final.

7

Agregá $+ C$. Es una integral indefinida: siempre termina con la constante de integración.

Verificación rápida: derivá tu resultado. Si obtenés el integrando original, la integral es correcta.

03 · Ejemplos resueltos

Del más simple al más complejo

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Ejemplo 1 — Sustitución directa (sin despejes)

$$ \int (3x^2 + 2)\,e^{x^3+2x}\,dx $$

¿Qué ves? La función $e^{x^3+2x}$ tiene adentro $x^3+2x$. Su derivada es $3x^2+2$… ¡que está multiplicando justo afuera!

$u = x^3 + 2x$ $du = (3x^2 + 2)\,dx$

1

Sustituir $$ \int (3x^2+2)\,e^{x^3+2x}\,dx = \int e^u\,du $$

2

Integrar en $u$ $$ \int e^u\,du = e^u + C $$

3

Volver a $x$ $$ = e^{x^3+2x} + C $$

Gema

Este es el caso ideal: el diferencial "cae redondo", no hay que despejar nada. La derivada de adentro está afuera y punto.

Ejemplo 2 — Con despeje de constante

$$ \int x\,\operatorname{sen}(4x^2)\,dx $$

Función interior: $4x^2$. Su derivada es $8x$, pero en la integral solo hay $x\,dx$. Hay que despejar.

$u = 4x^2$ $du = 8x\,dx$ $\Rightarrow \dfrac{1}{8}\,du = x\,dx$

1

Sustituir $$ \int x\,\operatorname{sen}(4x^2)\,dx = \frac{1}{8}\int \operatorname{sen}(u)\,du $$

2

Integrar en $u$ $$ \frac{1}{8}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{8}\big[-\cos(u)\big] + C $$

3

Volver a $x$ $$ = -\frac{1}{8}\cos(4x^2) + C $$

Ejemplo 3 — Fracciones racionales (logaritmo)

$$ \int \frac{x+1}{x^2+2x+3}\,dx $$

Función interior: $x^2+2x+3$. Su derivada es $2x+2 = 2(x+1)$. Arriba aparece $x+1$, así que hay que ajustar el factor 2.

$u = x^2+2x+3$ $du = (2x+2)\,dx$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}\,du = (x+1)\,dx$

1

Sustituir $$ \int \frac{x+1}{x^2+2x+3}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} $$

2

Integrar en $u$ $$ \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C $$

3

Volver a $x$ $$ = \frac{1}{2}\ln|x^2+2x+3| + C $$

Elvira

Cuando el numerador es casi la derivada del denominador, la integral da logaritmo. Reconocer ese patrón ahorra muchísimo tiempo.

Ejemplo 4 — Raíz con despeje en variable (nivel intermedio)

$$ \int x\sqrt{x+1}\,dx $$

Hacemos $u = x+1$, de donde $x = u-1$. Hay que reemplazar tanto el $dx$ como el $x$ que queda suelto.

$u = x+1$ $du = dx$ $\Rightarrow\; x = u-1$

1

Sustituir completamente $$ \int x\sqrt{x+1}\,dx = \int (u-1)\sqrt{u}\,du = \int (u^{3/2} - u^{1/2})\,du $$

2

Integrar en $u$ $$ = \frac{u^{5/2}}{5/2} - \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C $$

3

Volver a $x$ $$ = \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C $$

Gema

¡Truco clave! Cuando tenés $u = x + k$, siempre podés despejar $x = u - k$. De ahí todo queda en potencias fáciles de integrar.

Ejemplo 5 — Doble sustitución (nivel avanzado)

$$ \int \frac{\ln(\sqrt{x})}{x}\,dx $$

Se hacen dos sustituciones sucesivas: primero $u = \sqrt{x}$, luego $t = \ln(u)$.

1ª SUSTITUCIÓN $u = \sqrt{x}$ $du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$ $\Rightarrow\; 2u\,du = dx$ $\Rightarrow\; u^2 = x$

1

Sustituir y simplificar $$ \int \frac{\ln(\sqrt{x})}{x}\,dx = \int \frac{\ln(u)}{u^2} \cdot 2u\,du = 2\int \frac{\ln(u)}{u}\,du $$

2ª SUSTITUCIÓN $t = \ln(u)$ $dt = \dfrac{1}{u}\,du$

2

Integrar y volver a $x$ $$ 2\int t\,dt = t^2 + C = [\ln(u)]^2 + C = \left[\ln(\sqrt{x})\right]^2 + C $$

04 · Errores típicos

Cuidado con estos

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No volver a $x$

Dejar el resultado en términos de $u$ es incorrecto. La integral pedía en $x$; el resultado final debe estar en $x$. Siempre sustituir $u = g(x)$ al final.

Olvidar el $+ C$

En integrales indefinidas, siempre debe aparecer la constante de integración $C$. Sin ella, el resultado es incompleto.

No reemplazar todo el integrando

La integral en $u$ no debe contener ninguna $x$. Si queda alguna $x$ suelta, la sustitución no fue completa: revisá el despeje de $dx$.

Confundir la función interior

Elegir $u$ equivocado hace que la integral quede más complicada. El criterio: $u$ debe ser la función más interna y su derivada debe aparecer multiplicando afuera.

Elvira

Si después de la sustitución todavía queda alguna $x$ en la integral, pará y revisá. La integral debe quedar 100% en $u$, sin excepciones.

05 · Tips

Estrategias para reconocer el cambio

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Buscá la "función de adentro"

El candidato natural a $u$ es el argumento de una función compuesta: el exponente de $e$, el argumento de un seno, el radicando, etc.

Verificá que la derivada esté afuera

Una vez que elegís $u = g(x)$, calculá $du = g'(x)\,dx$ y fijate si esa expresión aparece (o aparece con un factor constante) en el integrando original.

Cuando el numerador es "casi" la derivada del denominador

Si tenés $\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$, el resultado es $\ln|f(x)| + C$. Reconocer ese patrón evita hacer toda la sustitución explícita.

Raíces y potencias fraccionarias

Si la raíz es el único factor "raro", tomá $u$ igual a lo que está bajo la raíz. Si el radicando también aparece afuera, podés despejar $x$ en términos de $u$ y reemplazar todo.

Doble sustitución

Cuando la primera sustitución simplifica la integral pero no la resuelve del todo, aplicá una segunda sobre la expresión resultante.

06 · Checklist

Antes de entregar, verificá

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1

¿Identificaste correctamente la función interior $u = g(x)$?

2

¿Calculaste bien $du = g'(x)\,dx$ y despejaste lo que necesitabas?

3

¿La integral quedó completamente en términos de $u$, sin ningún $x$?

4

¿Resolviste la integral en $u$ usando tabla o fórmula directa?

5

¿Volviste a la variable $x$ reemplazando $u = g(x)$?

6

¿Agregaste $+C$ al final?

7

¿Verificaste derivando el resultado para confirmar que da el integrando original?

07 · Práctica

Ejercicios para resolver

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Intentá resolver cada integral antes de ver la solución. Identificá qué caso corresponde.

1. Sustitución directa: $ \displaystyle\int \frac{1}{x}\cos(\ln x)\,dx $ ▼

$u = \ln x$ $du = \dfrac{1}{x}\,dx$

1

Sustituir e integrar $$ \int \cos(u)\,du = \operatorname{sen}(u) + C $$

2

Volver a $x$ $$ = \operatorname{sen}(\ln x) + C $$

2. Con constante: $ \displaystyle\int \frac{x}{x^2+1}\,dx $ ▼

$u = x^2+1$ $du = 2x\,dx$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}\,du = x\,dx$

1

Sustituir e integrar $$ \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C $$

2

Volver a $x$ $$ = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C $$

3. Potencia negativa: $ \displaystyle\int \cos(x)\cdot\operatorname{sen}^{-2}(x)\,dx $ ▼

$u = \operatorname{sen}(x)$ $du = \cos(x)\,dx$

1

Sustituir e integrar $$ \int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C $$

2

Volver a $x$ $$ = \frac{-1}{\operatorname{sen}(x)} + C $$

4. Raíz con despeje: $ \displaystyle\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\,dx $ ▼

$u = \sqrt{x}-1$ $du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$ $\Rightarrow\; dx = 2(u+1)\,du$ $\Rightarrow\; \sqrt{x} = u+1$

1

Sustituir $$ \int \frac{u+1}{u} \cdot 2(u+1)\,du = 2\int \frac{u^2+2u+1}{u}\,du = 2\int \left(u+2+\frac{1}{u}\right)du $$

2

Integrar y volver a $x$ $$ = 2\left(\frac{u^2}{2}+2u+\ln|u|\right)+C = (\sqrt{x}-1)^2 + 4(\sqrt{x}-1) + 2\ln|\sqrt{x}-1| + C $$

5. Exponencial compuesta: $ \displaystyle\int \frac{4e^{3x}}{1+e^{2x}}\,dx $ ▼

Como $e^{3x} = e^{2x} \cdot e^x$, tomamos $u = e^x$. Así $u^2 = e^{2x}$ y $e^{3x}\,dx = u^2\,du$.

$u = e^x$ $du = e^x\,dx$

1

Sustituir y simplificar $$ 4\int \frac{u^2}{1+u^2}\,du = 4\int \left(1 - \frac{1}{1+u^2}\right)du $$

2

Integrar y volver a $x$ $$ = 4u - 4\arctan(u) + C = 4e^x - 4\arctan(e^x) + C $$

Gema y Elvira

Si resolviste los cinco y te animás a verificar derivando, sos imparable. El ejercicio 5 tiene un truco con $e^{3x} = e^{2x} \cdot e^x$ que hay que ver bien antes de arrancar.

Método de Sustitución

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