Al evaluar \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\), si obtenemos \(\dfrac{0}{0}\), la expresión no está definida — no es un resultado, es una señal de que hay una cancelación posible que todavía no vimos.
¿Por qué ocurre?
El valor \(x = a\) no pertenece al dominio de la función: hay un hueco (punto removible) en la gráfica. La función no tiene imagen en \(a\).
Sin embargo, si el límite existe, ese valor límite se puede interpretar como la imagen del hueco: el único valor que haría a la función continua en \(a\) si se lo asignara artificialmente.
Flujo de trabajo: (1) Evaluá en \(x = a\). Si da \(\tfrac{0}{0}\), identificá la técnica según la forma de la expresión. (2) Operá para cancelar. (3) Evaluá nuevamente — ahora sí debe dar un número.
Se usa cuando numerador y denominador son polinomios. Se factoriza cada uno (con Ruffini si hace falta), se cancela el factor común \((x - a)\) y se evalúa.
Regla de oro: una vez que lograste cancelar el factor que causa el \(0/0\), evaluá de inmediato. No sigas operando innecesariamente.
\(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\)
Verificación: \(x=2\) da \(\tfrac{0}{0}\). Factorizamos numerador y denominador.
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}$$ $$= \lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+2}$$ $$= \frac{2-3}{2+2} = \frac{-1}{4}$$Dom \(f = \mathbb{R} - \{2,\,-2\}\). El límite \(-\tfrac{1}{4}\) es la imagen del hueco en \(x=2\).
\(\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 3x + 4}{x^5 + 1}\)
Verificación: \(x=-1\) da \(\tfrac{0}{0}\). Usamos Ruffini para factorizar.
Numerador
\(x^3 + 3x + 4\) · raíz \(x = -1\)
| \(-1\) | \(1\) | \(0\) | \(3\) | \(4\) |
| \(-1\) | \(1\) | \(-4\) | ||
| \(1\) | \(-1\) | \(4\) | \(0\) |
\(x^3+3x+4 = (x+1)(x^2-x+4)\)
Denominador
\(x^5 + 1\) · raíz \(x = -1\)
| \(-1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) |
| \(-1\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) | \(-1\) | ||
| \(1\) | \(-1\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) | \(0\) |
\(x^5+1 = (x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\)
Se usa cuando aparece una raíz de índice par (raíz cuadrada, cuarta, etc.). Se multiplica y divide por el conjugado para convertir la raíz en una diferencia de cuadrados.
El conjugado solo se aplica donde hay raíz. No distribuir ni expandir el factor donde no se racionalizó — el objetivo es que aparezca una cancelación con el denominador.
\(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x - 2}\)
Verificación: \(x=2\) da \(\tfrac{0}{0}\). Multiplicamos por el conjugado.
$$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{x+7} + 3}{\sqrt{x+7} + 3}$$ $$= \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7})^2 - 3^2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$$ $$= \lim_{x \to 2} \frac{x+7-9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$$ $$= \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3} = \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{6}$$\(\displaystyle\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{5}}{x - 5}\)
Verificación: \(x=5\) da \(\tfrac{0}{0}\). El conjugado de \(\sqrt{x} - \sqrt{5}\) es \(\sqrt{x} + \sqrt{5}\).
$$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{5}}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}$$ $$= \lim_{x \to 5} \frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{5})^2}{(x-5)(\sqrt{x}+\sqrt{5})} = \lim_{x \to 5} \frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x}+\sqrt{5})}$$ $$= \lim_{x \to 5} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$$
Se usa cuando aparece una raíz de índice impar (cúbica, quinta, etc.). Se sustituye \(t^n = \text{expresión bajo la raíz}\), se recalcula la tendencia de \(t\), y se factoriza con Ruffini.
Procedimiento general
Identificar la raíz de índice impar e igualarla a \(t\): si hay \(\sqrt[3]{g(x)}\), hacer \(t = \sqrt[3]{g(x)}\), es decir \(g(x) = t^3\).
Despejar \(x\) en función de \(t\).
Cambiar la tendencia: si \(x \to a\), calcular \(t_0 = \sqrt[n]{g(a)}\) para saber a qué valor tiende \(t\).
Reescribir el límite completamente en términos de \(t\) y factorizar con Ruffini.
\(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x+7} - 2}{x - 1}\)
Cambio de variable
Sea \(t = \sqrt[3]{x+7}\), entonces \(t^3 = x+7\)
Despejo: \(x = t^3 - 7\)
Cambio de tendencia:
Si \(x \to 1\): \(t = \sqrt[3]{1+7} = \sqrt[3]{8} = 2 \Rightarrow t \to 2\)
Cálculo auxiliar
\(t^3 - 8\) · raíz \(t = 2\)
| \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(-8\) |
| \(2\) | \(4\) | \(8\) | ||
| \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(0\) |
\(t^3-8=(t-2)(t^2+2t+4)\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[5]{x} - 1}\)
Cambio de variable: \(x = t^{15}\) (mínimo común múltiplo de 3 y 5). Si \(x \to 1\) entonces \(t \to 1\).
$$\lim_{t \to 1} \frac{\sqrt[3]{t^{15}}-1}{\sqrt[5]{t^{15}}-1} = \lim_{t \to 1} \frac{t^5-1}{t^3-1}$$Cálculo auxiliar
\(t^5 - 1\) · raíz \(t = 1\)
| \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | ||
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
\(t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)\)
Cálculo auxiliar
\(t^3 - 1\) · raíz \(t = 1\)
| \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | ||
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
\(t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)\)
Si un factor tiende a cero (infinitésimo) y el otro factor está acotado (no explota), el producto tiende a cero. No hace falta calcular el segundo factor exactamente.
¿Cuándo una función está acotada?
Una función \(g(x)\) está acotada si existe \(d > 0\) tal que \(-d \leq g(x) \leq d\) para todo \(x\) relevante.
Ejemplos clásicos de funciones acotadas: \(\sin(u)\), \(\cos(u)\) están siempre en \([-1,\,1]\).
También: \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) (infinitésimo), y \(\cos(x^2)\) es acotada.
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x)}{x}\)
Reescribimos como producto:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \cos(x)$$\(\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0 \quad\Rightarrow\quad\) infinitésimo.
\(-1 \leq \cos(x) \leq 1 \quad\Rightarrow\quad\) acotado.
\(\displaystyle\lim_{x \to 2} (x-2)\cdot\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x^2-4}\right)\)
Identificamos cada factor:
$$\lim_{x \to 2}(x-2) = 0 \quad\Rightarrow\quad \text{infinitésimo}$$Sea \(f(x) = \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x^2-4}\right)\). Como el seno siempre cumple \(-1 \leq \operatorname{sen}(u) \leq 1\), tenemos:
$$-1 \leq \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^2-4}\right) \leq 1 \quad\Rightarrow\quad \text{acotado}$$Notar que \(\tfrac{1}{x^2-4} \to \pm\infty\) cuando \(x \to 2\), así que el seno oscila, pero eso no importa: el factor \((x-2)\) aplasta todo a cero.
