Cuando escribimos \( \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) \), preguntamos: ¿hacia dónde se va la función cuando \(x\) crece (o decrece) sin límite?
Idea central: la indeterminación \(\dfrac{\infty}{\infty}\) aparece cuando numerador y denominador "explotan" hacia infinito. Para resolverla hay que entender qué infinito es más grande.
Elvira
Pensalo como una carrera. Si el numerador corre más rápido que el denominador, el cociente se va a infinito. Si corre más lento, se aplasta a cero. Si corren igual, queda el cociente de los coeficientes.
La técnica estándar se llama factor común forzado: sacamos la potencia más alta de \(x\) en numerador y denominador para poder simplificar.
Los términos \(\tfrac{1}{x} \to 0\), queda \(x\) solo en el numerador.
Para \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\) con indeterminación \(\tfrac{\infty}{\infty}\), hay tres casos según los grados de \(P\) y \(Q\):
¿Qué son los coeficientes principales? Los que acompañan a la potencia de mayor grado. En \(3x^4 - x + 7\), el coeficiente principal es \(3\).
Gema
Para los casos I y II ni hace falta calcular: con solo mirar los grados ya sabés el resultado. Solo necesitás hacer el cociente completo cuando los grados son iguales.
Regla general
$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \begin{cases} 0 & \text{si } \text{Gr}(P) < \text{Gr}(Q) \\[4pt] \pm\infty & \text{si } \text{Gr}(P) > \text{Gr}(Q) \\[4pt] \dfrac{a}{b} & \text{si } \text{Gr}(P) = \text{Gr}(Q) \end{cases}$$\(a\) y \(b\) son los coeficientes principales de \(P\) y \(Q\)
Caso I — Gana el denominador, \(L = 0\)
Ejemplo
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x^5 + x + 2}{x^6 - 3}\)
Comparamos grados: \(\text{Gr}(P) = 5\), \(\text{Gr}(Q) = 6\). Como \(5 < 6\), el denominador gana.
Sacamos factor común \(x^6\) en numerador y denominador:
Los términos \(\tfrac{k}{x^n} \to 0\). Queda \(\dfrac{3}{x \cdot 1} \to \boxed{0}\)
Hay asíntota horizontal en \(y = 0\).
Caso II — Gana el numerador, \(L = \pm\infty\)
Ejemplo
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + x}{3x + 1}\)
\(\text{Gr}(P) = 2\), \(\text{Gr}(Q) = 1\). Como \(2 > 1\), el numerador gana.
No existe asíntota horizontal. La función crece sin límite.
Elvira
En el Caso II siempre fijate en el signo. Si el coeficiente principal del numerador es negativo y \(x \to +\infty\), el resultado es \(-\infty\), no \(+\infty\). Ese detalle se escapa seguido.
Caso III — Empate, \(L = a/b\)
Ejemplo
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^4 + 3x^2 - 1}{5x^4 + 3}\)
Ambos tienen grado \(4\). Empate: el resultado es el cociente de coeficientes principales \(\dfrac{2}{5}\).
Verificamos con factor común \(x^4\):
Hay asíntota horizontal en \(y = \dfrac{2}{5}\), tanto para \(x\to+\infty\) como para \(x\to-\infty\).
La técnica es la misma, pero hay que prestar atención a cómo la raíz interactúa con el factor común.
Propiedad: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) y \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\). Al sacar factor común dentro de una raíz, el exponente se divide por el índice.
Gema
Raíz impar: sin drama, la raíz acepta cualquier signo. Raíz par: siempre da positivo, y ahí aparece el valor absoluto. Esa es la diferencia que cambia todo.
Raíz de índice impar — sin problema de signo
Ejemplo
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[5]{x^7 + 3x}}{x^2 - 2}\)
Sacamos \(x^7\) adentro de la raíz (término dominante del numerador):
El exponente del denominador es \(2 - \tfrac{7}{5} = \tfrac{3}{5} > 0\), entonces \(x^{3/5} \to +\infty\):
Con raíz impar: \(\sqrt[5]{x^7} = x^{7/5}\) directamente, sin drama de signos. Hay asíntota horizontal en \(y=0\).
Raíz de índice par — aparece el valor absoluto
Ejemplo
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 2}\)
Sacamos \(x^2\) adentro de la raíz:
La raíz cuadrada siempre da positivo:
Clave: \(\sqrt{x^2} = |x|\), no \(x\). Como \(x \to -\infty\), \(x < 0\), entonces \(|x| = -x\).
Reemplazamos y simplificamos:
Si hubiera sido \(x \to +\infty\): \(|x| = x\) y el resultado sería \(+1\). El signo del límite depende de la dirección.
Elvira
Lo de \(\sqrt{x^2} = |x|\) es la trampa favorita de los parciales. Lo resuelven bien pero se olvidan del signo cuando \(x \to -\infty\), y el resultado queda al revés. Tené eso clavado.
Error 1: Reemplazar \(\infty\) directamente sin resolver la indeterminación.
Escribir \(\dfrac{\infty}{\infty}\) y concluir "no existe" no es una resolución. Hay que reducir con factor común forzado.
Error 2: Afirmar \(\sqrt{x^2} = x\) sin importar el signo de \(x\).
Siempre \(\sqrt{x^2} = |x|\). Cuando \(x < 0\), corresponde poner \(-x\).
Error 3: Ignorar los signos en el Caso II al decidir si el límite es \(+\infty\) o \(-\infty\).
Chequeá el signo del coeficiente principal y qué signo toma \(x^n\) cuando \(x \to \pm\infty\).
Error 4: Confundir el exponente al sacar factor común dentro de una raíz.
Si tenés \(\sqrt[5]{x^7 + \ldots}\), sacás \(x^7\) adentro y al salir queda \(x^{7/5}\), no \(x^7\).
Gema
Si el denominador tiene términos sueltos como \(x + 2\), igual sacás factor \(x\) afuera. El \(2\) se convierte en \(\tfrac{2}{x} \to 0\). ¡No te frena el término independiente!
¿Identificaste la indeterminación? Tiene que ser \(\dfrac{\infty}{\infty}\) para aplicar esta técnica.
¿Comparaste los grados antes de calcular? Si son distintos, el resultado es inmediato.
¿Sacaste el factor común correcto? Dentro de una raíz de índice \(n\), el exponente del factor se divide por \(n\) al salir.
Si hay \(\sqrt{x^2}\): ¿escribiste \(|x|\) y analizaste el signo según si \(x \to +\infty\) o \(x \to -\infty\)?
¿Verificaste el signo del resultado en el Caso II?
¿Aplicaste \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} \tfrac{k}{x^n} = 0\) en todos los términos que correspondía?
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3 - 2x + 1}{7x^3 + x^2}\)
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 5x + 3}{x^4 + 1}\)
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x^4 + 2x}}{x + 1}\)
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{3x - 5}\)
Atención al valor absoluto.
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)\)
Indeterminación \(\infty - \infty\). Multiplicá por el conjugado.
Gema
El ejercicio 5 es un clásico de parcial. Si lo trabajás bien con el conjugado, el resultado es \(\dfrac{1}{2}\). ¡Dale!