El límite especial del seno es un resultado fundamental del cálculo. Establece que el cociente entre el seno de un ángulo (en radianes) y ese mismo ángulo tiende a 1 cuando el ángulo se acerca a cero.
Ambas expresiones son equivalentes y son dos caras del mismo límite. La clave del método es identificar que el argumento del seno coincide exactamente con lo que aparece en el denominador (o viceversa).
Forma generalizada: si \(\square\) es cualquier expresión que tiende a \(0\) cuando \(x \to a\), entonces:
$$\lim_{x \to a} \frac{\operatorname{sen}(\square)}{\square} = 1$$
Recordá que \(\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\) y \(\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}\) son las dos caras del mismo límite. ¡Siempre valen 1!
Ejemplos resueltos
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{5x}\)
El límite especial del seno solo funciona si el argumento tiende a \(0\). ¡Verificá siempre esa condición!
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\cos(5x) \cdot \operatorname{sen}(7x)}\)
Antes de operar, identificá cuál es el "argumento" del seno. Todo el truco está en hacer que ese argumento coincida con lo que hay abajo (o arriba).
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \operatorname{sen}(7x)}{\operatorname{sen}(4x)}\)
En los límites con dos senos, aplicá el límite especial dos veces: una para cada cociente \(\frac{\operatorname{sen}(\square)}{\square}\).
El número \(e\) (base del logaritmo natural) puede definirse a través de un límite notable. Este límite aparece en situaciones del tipo \(1^\infty\), que es una indeterminación.
Ambas son equivalentes. La primera aparece cuando la variable crece al infinito; la segunda, cuando tiende a cero. Cualquiera de las dos puede usarse según cómo quede planteado el problema.
La indeterminación \(1^\infty\) es la señal de que estás frente a un límite de la \(e\). ¡No te dejes engañar por el 1!
Ejemplos resueltos — Método con cambio de variable
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+4}{x-1}\right)^{2x+3}\)
Tres pasos clave para resolver este tipo de límite:
- Conseguir el primer \(1\): reescribí la fracción sumando y restando el término independiente del denominador. Así no alterás la matemática pero lográs que aparezca un \(1 + \frac{\square}{\square}\).
- Cambio de variable: igualá esa fracción a \(\frac{1}{t}\) para que el paréntesis quede idéntico a la forma del límite notable \(\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\).
- Trabajar el exponente: reescribí el exponente en función de \(t\) y usá propiedades de potencia para aislar el factor \(\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\), que tiende a \(e\).
Método sin cambio de variable
Cuando el argumento del paréntesis tiene la forma \(1 + \dfrac{k}{f(x)}\), se puede identificar directamente cuánto vale el exponente del resultado sin hacer cambio de variable. La clave es calcular el exponente que acompaña a \(e\) como:
Con cambio de variable o sin él llegás al mismo resultado. Elegí el método que te resulte más claro según el ejercicio.
Resolver nuevamente \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+4}{x-1}\right)^{2x+3}\)
Los dos límites notables de esta unidad, sus formas equivalentes y la estrategia general de resolución.
| Límite especial | Forma 1 | Forma 2 | Estrategia |
|---|---|---|---|
| Seno | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1\) | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)} = 1\) | Multiplicar y dividir para que el argumento del seno coincida con el denominador (o numerador). Funciona para cualquier expresión que tienda a 0. |
| Número \(e\) | \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\!\left(1+\frac{1}{t}\right)^{\!t} = e\) | \(\displaystyle\lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{1/t} = e\) |
Con cambio de variable: igualar \(\frac{k}{f(x)} = \frac{1}{t}\) y reescribir el exponente en función de \(t\). Sin cambio de variable: el exponente del resultado es \(\displaystyle\lim \frac{k \cdot g(x)}{f(x)}\). |