Este apunte cierra la unidad de límites con los dos límites notables que más aparecen en parciales: el del seno cerca de cero y el del número \(e\) cuando hay indeterminación \(1^\infty\). Los dos sirven para resolver expresiones donde los métodos algebraicos comunes no llegan.
Al terminar vas a poder:
Reconocer cuándo aparece un límite especial del seno o de \(e\).
Forzar la estructura \(\sin(\square)/\square\) multiplicando y dividiendo estratégicamente.
Resolver \(1^\infty\) con cambio de variable o reescribiendo el exponente.
Verificar las hipótesis antes de aplicar cada límite especial.
El cociente entre el seno de un ángulo (en radianes) y ese mismo ángulo tiende a \(1\) cuando el ángulo se acerca a cero.
Las dos formas son equivalentes (una es el recíproco de la otra). La clave del método es lograr que el argumento del seno coincida exactamente con lo que aparece debajo (o arriba) en el cociente.
Si la expresión \(\square\) dentro del seno tiende a \(0\) cuando \(x \to a\):
$$ \lim_{x \to a} \frac{\sin(\square)}{\square} = 1 $$No importa qué sea \(\square\) (puede ser \(2x\), \(x^2\), \(x-3\), etc.): mientras tienda a cero, el cociente vale \(1\).
Gema
Las dos formas valen \(1\): son las dos caras de la misma moneda. Cuando el seno está arriba, igualás el argumento al de abajo; cuando está abajo, al revés.
Calcular:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{5x} $$El argumento del seno es \(2x\), pero el denominador tiene \(5x\). Para usar el límite especial necesitamos que abajo aparezca el mismo \(2x\) que está dentro del seno.
Multiplicar y dividir por \(2\) no altera la expresión (es multiplicar por \(1\)), pero permite acomodar el denominador:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{5x} \cdot \frac{2}{2} \;=\; \lim_{x \to 0} \frac{2\,\sin(2x)}{2 \cdot 5x} $$Separamos en dos factores: uno con la estructura del límite notable, y otro con las constantes:
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2}{5} $$Mirá que el primer factor ya tiene la forma \(\sin(\square)/\square\) con \(\square = 2x\), y cuando \(x \to 0\) también \(2x \to 0\): podemos aplicar el límite especial.
El cociente con la estructura notable tiende a \(1\), y la constante \(2/5\) sale del límite:
$$ = 1 \cdot \frac{2}{5} = \boxed{\dfrac{2}{5}} $$Interpretación. Cerca de \(0\) la función \(\sin(2x)\) se parece mucho a \(2x\), así que el cociente original se comporta como \(2x/(5x) = 2/5\).
Calcular:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\cos(5x) \cdot \sin(7x)} $$Cuando \(x \to 0\), el coseno tiende a \(\cos(0) = 1\): no genera problemas, va a quedar como una constante al final. El verdadero conflicto está entre el \(3x\) de arriba y el \(\sin(7x)\) de abajo.
Acá conviene usar la segunda forma del límite notable: \(\square/\sin(\square) \to 1\). Para eso necesitamos que arriba aparezca exactamente \(7x\).
Multiplicamos arriba y abajo por \(7\) para fabricar el \(7x\) en el numerador:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\cos(5x) \cdot \sin(7x)} \cdot \frac{7}{7} \;=\; \lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot 3x}{7 \cdot \cos(5x) \cdot \sin(7x)} $$Separamos: por un lado el cociente \(7x / \sin(7x)\) (estructura del límite especial), por otro las constantes y el coseno:
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{7x}{\sin(7x)} \cdot \frac{3}{7 \cdot \cos(5x)} $$El primer factor tiende a \(1\) (límite notable). El coseno tiende a \(\cos(0) = 1\):
$$ = 1 \cdot \frac{3}{7 \cdot 1} = \boxed{\dfrac{3}{7}} $$Interpretación. Cerca de \(0\) la expresión se comporta como \(3x/(1 \cdot 7x) = 3/7\).
Elvira
El límite especial solo funciona si el argumento del seno tiende a \(0\). Si tiende a otra cosa, no sirve. Verificá siempre esa condición.
Calcular:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \sin(7x)}{\sin(4x)} $$Hay dos senos con argumentos distintos: \(7x\) arriba y \(4x\) abajo. La idea es fabricar dos cocientes notables, uno por cada seno.
Cada \(7x/7x\) y \(4x/4x\) vale \(1\), así que la expresión no cambia, pero ahora tenemos los ingredientes para armar las dos estructuras:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \sin(7x)}{\sin(4x)} \cdot \frac{7x}{7x} \cdot \frac{4x}{4x} $$Agrupamos el \(\sin(7x)\) con el \(7x\) que aporta el denominador, y el \(\sin(4x)\) con el \(4x\) que aporta el numerador:
$$ = \lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{\sin(7x)}{7x}}_{\to\, 1} \cdot \underbrace{\frac{4x}{\sin(4x)}}_{\to\, 1} \cdot \frac{3 \cdot 7x}{4x} $$El último factor se simplifica porque las \(x\) se cancelan:
$$ \frac{3 \cdot 7x}{4x} = \frac{3 \cdot 7}{4} = \frac{21}{4} $$Como \(7x \to 0\) y \(4x \to 0\) cuando \(x \to 0\), los dos cocientes notables valen \(1\):
$$ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{21}{4} = \boxed{\dfrac{21}{4}} $$Interpretación. Cerca de \(0\), \(\sin(7x) \approx 7x\) y \(\sin(4x) \approx 4x\), así que el cociente original se aproxima a \(3 \cdot 7x / 4x = 21/4\).
Cuando hay \(\sin(\alpha x)\) arriba y \(\sin(\beta x)\) abajo, multiplicando y dividiendo por los argumentos correspondientes el resultado siempre queda \(\alpha / \beta\). Por ejemplo:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{5 \sin(2x)}{4 \sin(3x)} = \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} = \dfrac{5}{6} $$Es exactamente la misma técnica del Ejemplo 3.
El número \(e\) (base de los logaritmos naturales, \(e \approx 2{,}71828\ldots\)) queda definido por el siguiente límite fundamental:
Las dos formas son equivalentes (se pasa de una a la otra con la sustitución \(t \leftrightarrow 1/t\)). Lo importante: ambas resuelven la indeterminación \(1^\infty\).
Si \(f(x) \to +\infty\) cuando \(x \to a\), y \(k\) es una constante, entonces:
$$ \lim_{x \to a} \left(1 + \frac{k}{f(x)}\right)^{f(x)} = e^{k} $$La clave es reconocer la indeterminación \(1^\infty\): base que tiende a \(1\) y exponente que tiende a infinito.
Toda resolución sigue el mismo guion. Más que aprenderlo de memoria, importa entender por qué hacemos cada movimiento.
El primer objetivo es lograr que la base tenga la forma \(1 + \text{(algo que tiende a 0)}\). Para eso, en el numerador sumamos y restamos el término independiente del denominador (eso no cambia nada, porque sumar y restar lo mismo equivale a sumar \(0\)).
Esa modificación permite separar el numerador en dos partes: una copia exacta del denominador, y un resto. Al distribuir el cociente sobre esa suma, la primera parte se cancela exactamente a \(1\), y queda un cociente chico sumando al lado. Ahí aparece la estructura \(1 + \square\) que el límite notable necesita.
Ninguna de estas transformaciones es arbitraria: el único objetivo es fabricar ese \(1\) inicial.
Una vez que la base quedó como \(1 + k/f(x)\), se hace la sustitución \(t = f(x)/k\) (o equivalente). Esto convierte la base en la forma estándar \(1 + 1/t\) y nos lleva a un terreno conocido.
Ventaja: la expresión queda igualita al límite definido y el comportamiento de \(t\) (cuando \(x \to a\), \(t \to +\infty\)) se ve a simple vista.
Una vez hecho el cambio de variable, el exponente queda en función de \(t\) pero todavía no tiene la forma exacta del límite notable. Acá no se toma ningún límite: se trabaja la potencia de manera puramente algebraica, usando propiedades como \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}\) y \((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\), hasta separar la expresión en dos piezas.
Una pieza queda armada exactamente como \(\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\) (la forma del límite notable). La otra pieza es un exponente sobrante, que recién al final se evalúa en el límite.
Elvira
Las tres etapas se pueden hacer con cambio de variable o sin él: llegás al mismo resultado. El cambio de variable ordena las ideas; saltearlo va más rápido cuando ya tenés el ojo entrenado.
Calcular:
$$ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+4}{x-1}\right)^{2x+3} $$Cuando \(x \to +\infty\):
- La base \(\dfrac{x+4}{x-1}\) tiende a \(1\) (es un cociente con el mismo grado arriba y abajo).
- El exponente \(2x+3\) tiende a \(+\infty\).
Tenemos \(1^{\infty}\): indeterminación que se levanta con el límite especial de \(e\).
El denominador es \(x - 1\), y su término independiente (la parte sin \(x\)) es \(-1\). La estrategia consiste en sumar y restar ese mismo término en el numerador. Como sumamos \(-1\) y después lo restamos (es decir, sumamos \(0\)), la expresión no cambia en absoluto:
$$ \frac{x+4}{x-1} = \frac{x \,\overbrace{-1+1}^{=\,0}\, +4}{x-1} $$La finalidad de esta movida es que ahora, agrupando \(x - 1\) por un lado, el numerador queda armado a partir de una copia exacta del denominador más un resto:
$$ = \frac{(x-1) + (1+4)}{x-1} = \frac{(x-1)+5}{x-1} $$Comprobamos que no se alteró nada: \((x-1)+5 = x-1+5 = x+4\), que es el numerador original. ✓
Ahora viene el paso decisivo: distribuimos el cociente sobre la suma del numerador, separando en dos fracciones:
$$ \frac{(x-1)+5}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{5}{x-1} $$La primera fracción es un cociente de un número entre sí mismo, así que se cancela exactamente a \(1\). Esa cancelación es justamente la finalidad de toda la maniobra: queda
$$ \frac{x-1}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 1 + \frac{5}{x-1} $$La base ya tiene la forma buscada \(1 + \square\), con \(\square = 5/(x-1) \to 0\). El límite se reescribe:
$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{5}{x-1}\right)^{2x+3} $$Queremos que \(5/(x-1)\) se transforme en \(1/t\) (la forma estándar). Igualamos:
$$ \frac{5}{x-1} = \frac{1}{t} \;\;\Longrightarrow\;\; t = \frac{x-1}{5} $$Ahora despejamos \(x\) para poder reescribir el exponente:
$$ t = \frac{x-1}{5} \;\Longrightarrow\; 5t = x-1 \;\Longrightarrow\; x = 5t + 1 $$Análisis del comportamiento: cuando \(x \to +\infty\), de \(t = (x-1)/5\) sale que \(t \to +\infty\) también.
El exponente \(2x + 3\) se reescribe en función de \(t\):
$$ 2x + 3 = 2(5t + 1) + 3 = 10t + 2 + 3 = 10t + 5 $$Sustituimos todo en el límite original:
$$ \lim_{t \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{10t + 5} $$Llegamos a \(\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{10t+5}\), pero el exponente \(10t+5\) todavía no tiene la forma del límite notable. Acá no se toma ningún límite: el objetivo es reescribir esta potencia, de manera puramente algebraica, hasta que aparezca exactamente \(\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}\) como factor.
Para concentrarnos solo en las propiedades de potencias (sin que la base \(1+1/t\) distraiga), hacemos un cálculo auxiliar: llamamos \(a\) a toda la base, como si fuera una variable cualquiera.
Cálculo auxiliar. Si \(a\) es una base genérica, queremos reescribir \(a^{10t+5}\).
Primero, separamos el exponente como una suma: \(10t+5 = 10t + 5\) (no hicimos nada todavía, solo lo dejamos explícito para aplicar la propiedad que sigue).
Usamos la propiedad del producto de potencias de igual base, \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}\), leída de derecha a izquierda: si el exponente es una suma, la potencia se parte en un producto.
$$ a^{10t+5} = a^{10t} \cdot a^{5} $$Ahora trabajamos solo el primer factor, \(a^{10t}\). El exponente \(10t\) es un producto (\(10\) por \(t\)), así que usamos la propiedad de la potencia de una potencia, \((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\), leída también de derecha a izquierda:
$$ a^{10t} = a^{t \cdot 10} = (a^{t})^{10} $$Juntando los dos resultados:
$$ a^{10t+5} = (a^{t})^{10} \cdot a^{5} $$Ahora volvemos a la base real, reemplazando \(a\) por \(1+\dfrac{1}{t}\):
$$ \left(1+\frac{1}{t}\right)^{10t+5} = \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{10} \cdot \left(1+\frac{1}{t}\right)^{5} $$El límite queda reorganizado en dos piezas con sentido propio:
$$ \lim_{t \to +\infty} \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{10} \cdot \left(1+\frac{1}{t}\right)^{5} $$La primera pieza, entre corchetes, es exactamente la forma del límite notable elevada a la décima potencia. La segunda pieza es una base que tiende a \(1\) elevada a un exponente fijo: no genera ninguna indeterminación nueva.
Recién en este paso evaluamos los límites, ya con la potencia completamente reorganizada. El corchete tiende a \(e\) (límite notable), elevado a la \(10\):
$$ \lim_{t \to +\infty} \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{10} = e^{10} $$El segundo factor tiende a \(1\), porque \(1/t \to 0\) y elevar \(1\) a la quinta sigue dando \(1\):
$$ \lim_{t \to +\infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{5} = 1^{5} = 1 $$Multiplicamos los dos límites parciales:
$$ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+4}{x-1}\right)^{2x+3} = e^{10} \cdot 1 = \boxed{e^{10}} $$Interpretación. La base tiende a \(1\) "por arriba" con una velocidad que, elevada al exponente que crece como \(2x\), termina dando un crecimiento exponencial de orden \(e^{10}\) (un número grande pero finito, no infinito).
Resolvamos el mismo límite del Ejemplo 1, pero ahora sin cambiar de variable. La idea es manipular directamente la \(x\) usando propiedades de potencias.
$$ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+4}{x-1}\right)^{2x+3} $$Igual que en el ejemplo anterior, sumamos y restamos \(-1\) en el numerador y distribuimos:
$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{5}{x-1}\right)^{2x+3} $$Tomamos como "denominador interno" la cantidad \((x-1)/5\), de modo que \(5/(x-1) = 1/[(x-1)/5]\). Reescribimos:
$$ \left(1 + \frac{5}{x-1}\right)^{2x+3} = \left(1 + \frac{1}{\tfrac{x-1}{5}}\right)^{2x+3} $$Ahora multiplicamos y dividimos el exponente por \((x-1)/5\) para que aparezca esa misma cantidad como exponente del paréntesis interior:
$$ 2x + 3 = \frac{x-1}{5} \cdot \frac{5(2x+3)}{x-1} $$Usando \(a^{m \cdot n} = (a^m)^n\):
$$ = \left[\left(1 + \frac{1}{\tfrac{x-1}{5}}\right)^{\tfrac{x-1}{5}}\right]^{\,\dfrac{5(2x+3)}{x-1}} $$El corchete interior tiene la forma \((1 + 1/u)^u\) con \(u = (x-1)/5 \to +\infty\). Por el límite notable, tiende a \(e\).
Distribuimos el \(5\) en el numerador y dividimos por el coeficiente principal del denominador:
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{5(2x+3)}{x-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{10x + 15}{x - 1} = 10 $$(Cociente de polinomios del mismo grado: el límite es el cociente de coeficientes principales \(10/1\).)
Interpretación. Los dos caminos dan el mismo resultado. Con cambio de variable, el álgebra queda más prolija; sin cambio, es más directo cuando ya identificás las piezas.
Hasta ahora trabajamos siempre con la forma \(\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} \to e\), donde \(t \to +\infty\) y hubo que construir el primer \(1\) sumando y restando. Pero existe la otra forma del límite notable:
$$ \lim_{t \to 0} \left(1+t\right)^{1/t} = e $$Acá la base ya viene escrita como \(1 + t\), con \(t \to 0\) en lugar de \(t \to +\infty\). Cuando el enunciado nos entrega el límite en esta forma, nos salteamos por completo el Paso 1 (sumar y restar) y el Paso 2 (cambio de variable): el primer \(1\) ya está construido de entrada.
Calcular:
$$ \lim_{x \to 0} \left(1+4x\right)^{1/x} $$Cuando \(x \to 0\): la base \(1+4x \to 1\), y el exponente \(1/x \to \infty\) (con signo según de qué lado nos acerquemos a \(0\)). Tenemos \(1^\infty\), el mismo tipo de indeterminación de siempre, pero ahora con la base ya en la forma \(1 + \square\).
Comparando con el modelo \(\left(1+t\right)^{1/t} \to e\), acá el papel de "\(t\)" lo cumple \(4x\), no \(x\). Es decir, la base es \(1 + (4x)\), así que para que el exponente sea \(1/(4x)\) (y no \(1/x\)) hace falta ajustar.
El exponente que tenemos es \(1/x\), y el que necesitamos como pieza notable es \(1/(4x)\). Para pasar de uno a otro, multiplicamos y dividimos el exponente por \(4\) (lo cual es multiplicar por \(1\), no cambia nada):
$$ \frac{1}{x} = 4 \cdot \frac{1}{4x} $$Usando la propiedad \((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\) leída de derecha a izquierda, separamos la potencia:
$$ \left(1+4x\right)^{1/x} = \left(1+4x\right)^{4 \cdot \frac{1}{4x}} = \left[\left(1+4x\right)^{\frac{1}{4x}}\right]^{4} $$El corchete interior tiene exactamente la forma del límite notable \((1+t)^{1/t}\) con \(t = 4x \to 0\) cuando \(x \to 0\).
El corchete tiende a \(e\), y queda elevado a la cuarta:
$$ \lim_{x \to 0} \left[\left(1+4x\right)^{\frac{1}{4x}}\right]^{4} = e^{4} = \boxed{e^{4}} $$Interpretación. A diferencia de los Ejemplos 1 y 2, acá no hubo que fabricar ningún \(1\): el enunciado ya lo entregaba listo, así que el trabajo se redujo directamente a la reorganización del exponente con propiedades de potencias.
Gema
Atajo: cuando ya escribiste la base como \(1 + k/f(x)\) y el exponente original es \(g(x)\), el resultado siempre es \(e\) elevado al límite de \(k \cdot g(x)/f(x)\). Si te sale \(10\), te queda \(e^{10}\).
Error: aplicar el límite especial del seno cuando el argumento no tiende a \(0\). Por ejemplo, escribir \(\sin(2x)/(2x) = 1\) en \(x \to \pi\).
Correcto: el cociente \(\sin(\square)/\square\) vale \(1\) solo si \(\square \to 0\). En \(x \to \pi\), \(2x \to 2\pi\), y la regla no aplica.
Error: "cancelar" el seno con el argumento, como si \(\sin(2x)/(2x) = \sin/1\). El seno no es un factor que se pueda cancelar; es una función.
Correcto: el cociente tiende a \(1\) por el límite especial, pero no se simplifica algebraicamente. Solo vale al pasar al límite.
Error: aplicar el límite de \(e\) cuando la base no tiende a \(1\). Por ejemplo, en \(\lim_{x\to+\infty} (2 + 1/x)^x\) la base tiende a \(2\), no a \(1\).
Correcto: ese límite es \(+\infty\) (no es \(1^\infty\)). El notable de \(e\) solo resuelve \(1^\infty\). Verificá las dos condiciones: base \(\to 1\) y exponente \(\to \infty\).
Error: al reescribir la base como \(1 + \square\), olvidarse de verificar que la suma y resta no alteran la expresión.
Correcto: antes de avanzar, expandir y comprobar. Ejemplo: \((x-1) + 5 = x + 4\). Si no da el numerador original, hubo un error de signo.
Error: confundir las dos formas del seno (cuál va arriba, cuál abajo). Por ejemplo, escribir \(x/\sin(x) = 0\) porque "el numerador es chico".
Correcto: las dos formas (\(\sin(x)/x\) y \(x/\sin(x)\)) valen \(1\), porque son una el inverso de la otra: si una tiende a \(1\), la otra también.
Los dos límites notables de la unidad, sus formas equivalentes y la estrategia general de resolución.
| Aspecto | Límite del seno | Límite de \(e\) |
|---|---|---|
| Forma 1 | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1\) | \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\!\left(1+\frac{1}{t}\right)^{\!t} = e\) |
| Forma 2 | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)} = 1\) | \(\displaystyle\lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{1/t} = e\) |
| Indeterminación | \(0/0\) | \(1^{\infty}\) |
| Estrategia | Multiplicar y dividir para que el argumento del seno coincida con su par. | Reescribir base como \(1 + k/f(x)\) y separar el exponente con potencias. |
Para el seno: buscá \(\sin(\square)/\square\) o \(\square/\sin(\square)\) con \(\square \to 0\).
Para la \(e\): identificá la indeterminación \(1^\infty\) (base que tiende a \(1\), exponente que tiende a \(\infty\)).
Las dos juntas
Ante cualquier indeterminación, lo primero es identificar el tipo. El notable del seno vive cerca del \(0\); el de \(e\) vive en \(1^\infty\). No los mezcles.
Tres ejercicios del notable del seno y tres del notable de \(e\). Intentalos antes de abrir la solución.
Buscamos que el denominador sea \(5x\) (igual al argumento del seno):
$$ \frac{\sin(5x)}{3x} \cdot \frac{5}{5} = \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot \frac{5}{3} $$Verificación. Cerca de \(0\), \(\sin(5x) \approx 5x\), así que el cociente vale \(5x/(3x) = 5/3\). ✓
Para fabricar las dos estructuras notables (una por cada seno):
$$ \frac{\sin(3x)}{\sin(8x)} \cdot \frac{3x}{3x} \cdot \frac{8x}{8x} $$Verificación. La receta rápida da \(3/8\) directo. ✓
Arriba hay \(\sin(x^2)\), abajo hay \(\sin(2x)\). Como \(x \to 0\), también \(x^2 \to 0\) y \(2x \to 0\): se pueden usar los dos notables.
El último factor simplifica:
$$ \frac{x^2}{x \cdot 2x} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} $$Verificación. Con la aproximación \(\sin(\square) \approx \square\) cerca de \(0\): el cociente original se comporta como \(x^2/(x \cdot 2x) = 1/2\). ✓
Base \(\to 1\), exponente \(\to +\infty\): forma \(1^\infty\). Además, la base ya viene en la forma \(1 + \square\), así que no hace falta sumar y restar nada.
Para que el denominador interno quede como una sola variable, escribimos \(3/x\) como \(1\) sobre su recíproco:
$$ 1 + \frac{3}{x} = 1 + \frac{1}{x/3} $$El exponente original es \(x\), y necesitamos que aparezca \(x/3\) como exponente del paréntesis interior. Multiplicamos y dividimos por \(3\):
$$ x = \frac{x}{3} \cdot 3 $$Usando \((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\) leída de derecha a izquierda:
$$ \left(1 + \frac{1}{x/3}\right)^{x} = \left(1 + \frac{1}{x/3}\right)^{\frac{x}{3} \cdot 3} = \left[\left(1 + \frac{1}{x/3}\right)^{x/3}\right]^{3} $$El corchete tiene la forma \((1+1/u)^u\) con \(u = x/3 \to +\infty\), así que tiende a \(e\), elevado a la tercera:
$$ \lim_{x \to +\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{x/3}\right)^{x/3}\right]^{3} = e^{3} = \boxed{e^{3}} $$Verificación. No hubo que sumar y restar porque el enunciado ya entregaba la base lista; el trabajo se concentró en reorganizar el exponente. ✓
Base \(\to 1\), exponente \(\to +\infty\): \(1^\infty\).
El denominador es \(x-3\), con término independiente \(-3\). Sumamos y restamos ese valor en el numerador:
$$ \frac{x+2}{x-3} = \frac{x \,\overbrace{-3+3}^{=\,0}\, +2}{x-3} = \frac{(x-3)+5}{x-3} $$Verificación: \((x-3)+5 = x+2\), el numerador original. ✓
Distribuimos el cociente: la primera fracción se cancela a \(1\), y queda la estructura buscada:
$$ \frac{(x-3)+5}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{5}{x-3} = 1 + \frac{5}{x-3} $$La base quedó como \(1 + 1/[(x-3)/5]\). Para que el exponente del paréntesis interior sea \((x-3)/5\), multiplicamos y dividimos el exponente original \(x\) por esa cantidad:
$$ x = \frac{x-3}{5} \cdot \frac{5x}{x-3} $$Aplicando \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\):
$$ \left(1+\frac{5}{x-3}\right)^{x} = \left[\left(1+\frac{1}{\tfrac{x-3}{5}}\right)^{\frac{x-3}{5}}\right]^{\frac{5x}{x-3}} $$El corchete tiende a \(e\) porque \((x-3)/5 \to +\infty\). Queda calcular el exponente externo.
Cociente de polinomios del mismo grado: el límite es el cociente de coeficientes principales:
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{x-3} = 5 $$ $$ \therefore \quad \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+2}{x-3}\right)^{x} = e^{5} = \boxed{e^{5}} $$Verificación. El término que se suma y resta (\(5\)) coincide con la diferencia entre los términos independientes del numerador y denominador originales: \(2-(-3)=5\). ✓
Base \(\to 1\), exponente \(\to +\infty\): \(1^\infty\). Notar que acá la variable que tiende a infinito en la base y en el exponente es \(x^2\), no \(x\); la técnica es exactamente la misma.
El denominador es \(x^2-1\), con término independiente \(-1\). Sumamos y restamos ese valor en el numerador:
$$ \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{x^2 \,\overbrace{-1+1}^{=\,0}\, +1}{x^2-1} = \frac{(x^2-1)+2}{x^2-1} $$Verificación: \((x^2-1)+2 = x^2+1\), el numerador original. ✓
Distribuimos el cociente:
$$ \frac{(x^2-1)+2}{x^2-1} = \frac{x^2-1}{x^2-1} + \frac{2}{x^2-1} = 1 + \frac{2}{x^2-1} $$La base es \(1 + 1/[(x^2-1)/2]\). Multiplicamos y dividimos el exponente \(x^2\) por \((x^2-1)/2\):
$$ x^2 = \frac{x^2-1}{2} \cdot \frac{2x^2}{x^2-1} $$Aplicando \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\):
$$ \left(1+\frac{2}{x^2-1}\right)^{x^2} = \left[\left(1+\frac{1}{\tfrac{x^2-1}{2}}\right)^{\frac{x^2-1}{2}}\right]^{\frac{2x^2}{x^2-1}} $$El corchete tiende a \(e\) porque \((x^2-1)/2 \to +\infty\) cuando \(x \to +\infty\).
Cociente de polinomios del mismo grado (ambos de grado \(2\) en \(x\)):
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2-1} = 2 $$ $$ \therefore \quad \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2} = e^{2} = \boxed{e^{2}} $$Verificación. El término sumado y restado coincide con la diferencia de términos independientes: \(1-(-1)=2\). ✓
¿Encontraste algo que no cuadra? Un signo, un despeje, un gráfico que no carga, un link roto — contámelo y lo corrijo. Este apunte se hace mejor entre todos: cada aviso suma para que vos y toda la comunidad Insighters puedan estudiar con el mejor material posible. ¡Gracias!