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Análisis Matemático I · Límites
⏱ calculando...El límite especial del seno establece que el cociente entre el seno de un ángulo (en radianes) y ese mismo ángulo tiende a 1 cuando el ángulo se acerca a cero.
Ambas formas son equivalentes. La clave del método es lograr que el argumento del seno coincida exactamente con lo que aparece en el denominador (o en el numerador).
Forma generalizada: si la expresión dentro del seno tiende a 0 cuando \(x \to a\), entonces:
$$\lim_{x \to a} \frac{\operatorname{sen}(\square)}{\square} = 1$$
Gema
Las dos formas del límite especial del seno valen 1. Son las dos caras de la misma moneda.
Ejemplos resueltos
Calcular:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{5x}$$Calcular:
$$\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\cos(5x) \cdot \operatorname{sen}(7x)}$$
Elvira
El límite especial del seno solo funciona si el argumento tiende a 0. Verificá siempre esa condición antes de aplicarlo.
Calcular:
$$\lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \operatorname{sen}(7x)}{\operatorname{sen}(4x)}$$Para el Ejemplo 3: probá resolver:
$$\lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \operatorname{sen}(2x)}{4 \cdot \operatorname{sen}(3x)}$$El resultado es:
$$\frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$Misma técnica.
El número \(e\) (base de los logaritmos naturales, \(e \approx 2{,}71828\ldots\)) queda definido por el siguiente límite fundamental:
Forma generalizada: si \(f(x) \to 0\) cuando \(x \to a\), y \(k\) es una constante:
$$\lim_{x \to a} \left(1 + \frac{k}{f(x)}\right)^{f(x)}= e^{k} \qquad \text{o equivalentemente} \qquad \lim_{x \to a} \left(1 + k \cdot f(x)\right)^{1/f(x)} = e^{k}$$El truco consiste en identificar la indeterminación \(1^\infty\): base que tiende a 1, exponente que tiende a infinito.
Se realiza la sustitucion siguiente y se despeja la \(x\) para luego dejar el límite completo en función de la nueva variable \(t\):
$$\frac{k}{f(x)} = \frac{1}{t} $$Se multiplica en el exponente por la fraccion y su inverso para generar la siguiente estructura:
$$\lim_{x \to a} \left(1 + \frac{1}{\square}\right)^{g(x)\cdot\frac{\square}{\square}}= \lim_{t \to +\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{\square}\right)^{\square}\right]^{\;\frac{g(x)}{\square}} = e^{\,\lim_{t \to +\infty} \frac{g(x)}{\square}} $$
Elvira
Con cambio de variable o sin él llegás al mismo resultado. Usá el método que te resulte más claro según el ejercicio.
Ejemplos resueltos
Calcular:
$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+4}{x-1}\right)^{2x+3}$$Resolver nuevamente:
$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+4}{x-1}\right)^{2x+3}$$
Gema
El exponente del resultado siempre es el límite de \(k \cdot\) exponente original dividido \(g(x)\). Si ese límite es 10, el resultado es \(e^{10}\).
No confundir la forma \(1^\infty\) con otras indeterminaciones. Si la base no tiende a 1, NO se aplica este límite especial.
Verificá siempre las dos condiciones: base \(\to 1\) y exponente \(\to \infty\).
Los dos límites notables de esta unidad, sus formas equivalentes y la estrategia general de resolución.
| Límite especial | Forma 1 | Forma 2 | Estrategia |
|---|---|---|---|
| Seno | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1\) | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)} = 1\) | Multiplicar y dividir para que el argumento del seno coincida con el denominador. Funciona para cualquier expresión que tienda a 0. |
| Número \(e\) | \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\!\left(1+\frac{1}{t}\right)^{\!t} = e\) | \(\displaystyle\lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{1/t} = e\) | Con cambio de variable: igualar \(k/f(x) = 1/t\) y reescribir el exponente en función de \(t\). Sin cambio de variable: el exponente del resultado es \(\displaystyle\lim k \cdot g(x) / f(x)\). |
Para el seno: buscá la forma \(\operatorname{sen}(\square)/\square\) o \(\square/\operatorname{sen}(\square)\) con \(\square \to 0\).
Para la \(e\): identificá la indeterminación \(1^\infty\) (base que tiende a 1, exponente que tiende a infinito).
Elvira y Gema
Ante cualquier indeterminación, lo primero es reconocer el tipo. El límite del seno vive cerca del 0; el de la \(e\) vive en \(1^\infty\). No los confundas.
Tres ejercicios de cada tipo. Intentalos antes de abrir la solución.
Multiplicar y dividir por 5 para igualar argumento y denominador:
$$\frac{\operatorname{sen}(5x)}{3x} \cdot \frac{5}{5} = \frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x} \cdot \frac{5}{3} \xrightarrow{x \to 0} 1 \cdot \frac{5}{3} = \boxed{\dfrac{5}{3}}$$Multiplicar y dividir por \(3x\) y por \(8x\):
$$\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(8x)} \cdot \frac{3x}{3x} \cdot \frac{8x}{8x} = \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x} \cdot \frac{8x}{\operatorname{sen}(8x)} \cdot \frac{3}{8} \xrightarrow{x \to 0} 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{8} = \boxed{\dfrac{3}{8}}$$Multiplicar y dividir por \(x^2\) y por \(2x\):
$$\frac{\operatorname{sen}(x^2)}{x \cdot \operatorname{sen}(2x)} \cdot \frac{x^2}{x^2} \cdot \frac{2x}{2x} = \frac{\operatorname{sen}(x^2)}{x^2} \cdot \frac{2x}{\operatorname{sen}(2x)} \cdot \frac{x^2}{2x^2} \xrightarrow{x \to 0} 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \boxed{\dfrac{1}{2}}$$
Elvira
En el ejercicio 3 el argumento es \(x^2\), no \(x\). Fijate que \(x^2 \to 0\) cuando \(x \to 0\), así que el límite especial sigue siendo aplicable.
La base se puede escribir como \(1 + 1/(x/3)\). Agrupando:
$$\left[\left(1 + \frac{1}{x/3}\right)^{x/3}\right]^{3} \xrightarrow{x \to +\infty} e^{3} = \boxed{e^3}$$Alternativamente: exponente auxiliar igual a \(\lim_{x \to +\infty} 3x/x = 3\).
Reescribir la base como \(1 + 5/(x-3)\). El exponente auxiliar es:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5 \cdot x}{x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{x-3} = 5$$ $$\therefore \quad \boxed{e^5}$$Reescribir la base como \(1 + 2/(x^2-1)\). El exponente auxiliar es:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2 \cdot x^2}{x^2-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2-1} = 2$$ $$\therefore \quad \boxed{e^2}$$📲 Compartí este apunte