Series Numéricas

Sección 01Conceptos Clave · Serie Infinita y Convergencia

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Elvira & GemaUna serie infinita es como intentar llegar a la puerta dando pasos que se reducen a la mitad cada vez. ¿Llegás? Eso determina la convergencia. 🐾

Definición

Dada una sucesión $\{a_n\}$, se llama serie infinita a: $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots$$

Sumas Parciales

La sucesión $\{S_n\}$ de sumas parciales se define como:

$S_1=a_1,\quad S_2=a_1+a_2,\quad\ldots,\quad S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k$

Convergencia y Divergencia

$\lim_{n\to\infty} S_n = S$ (finito) ⇒ serie convergente, $S$ es su suma.
El límite no existe o es $\pm\infty$ ⇒ serie divergente.

Ejemplo 1 — Convergente

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$

Sumas parciales: $S_n = 1 - \dfrac{1}{2^n}$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right) = 1$

Converge — la suma es $S=1$.

Ejemplo 2 — Divergente

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 1 = 1+1+1+\cdots$

$S_n = n$ crece sin cota.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n = +\infty$

Diverge

Propiedades

Si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ convergen ⇒ $\sum(a_n\pm b_n)$ converge y vale $\sum a_n\pm\sum b_n$.
Si $\sum a_n$ converge y $c$ es constante ⇒ $\sum ca_n = c\sum a_n$.
Si $\sum a_n$ converge y $\sum b_n$ diverge ⇒ $\sum(a_n+b_n)$ diverge.
Agregar o quitar términos al comienzo no altera la convergencia/divergencia.

Sección 02Serie Geométrica

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Una serie geométrica tiene la forma $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a+ar+ar^2+\cdots$ con $a\neq 0,\; r\neq 0$.

Criterio:

$|r|<1\Rightarrow$ converge y $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r}$

$|r|\geq 1\Rightarrow$ diverge

Si inicia en $n=k$: $\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty}ar^n=\frac{ar^k}{1-r}$

GemaPara identificar una serie geométrica: el cociente entre términos consecutivos tiene que ser constante. Ese es $r$. Si hay signos alternados, $r$ es negativo. 🔑

Ejemplo 1 — Convergente con $r$ negativo

$\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\cdots$

La serie es $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^n$ con $r=-\tfrac{2}{3}$.

$\left|-\tfrac{2}{3}\right|=\tfrac{2}{3}<1$ ✓ ⇒ Converge

Suma (inicia en $k=1$): $S = \dfrac{-\tfrac{2}{3}}{1-\left(-\tfrac{2}{3}\right)} = \dfrac{-\tfrac{2}{3}}{\tfrac{5}{3}} = -\dfrac{2}{5}$

Ejemplo 2 — Divergente

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 2^{2n}\cdot 3^{1-n}$

Reescribimos: $2^{2n}\cdot 3^{1-n}=(2^2)^n\cdot 3\cdot 3^{-n}=3\cdot\left(\tfrac{4}{3}\right)^n$.

Serie geométrica con $r=\tfrac{4}{3}$. Como $|r|=\tfrac{4}{3}>1$ ⇒ Diverge

Sección 03Condición Necesaria · Criterio de Divergencia

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Teorema (CN de Convergencia): Si $\sum a_n$ converge, entonces $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$.

⚠️ El recíproco es FALSO.
Que $\lim a_n=0$ no garantiza convergencia. La serie armónica $\displaystyle\sum\frac{1}{n}$ cumple $\lim\frac{1}{n}=0$ y aun así diverge.

ElviraEl criterio de divergencia es tu «filtro rápido»: si el límite del término general NO es cero, la serie diverge sin más análisis. Aplicálo siempre primero. 🐱

Criterio de Divergencia:

Si $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, entonces $\sum a_n$ es divergente.

Ejemplo

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{5n+1}$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{5+\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{5}\neq 0$

Diverge — por el criterio de divergencia.

Sección 04Criterio del Cociente — D'Alembert

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Sea $\sum a_n$ de términos positivos con $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Entonces:

$L<1$ ⇒ converge
$L>1$ ⇒ diverge
$L=1$ ⇒ criterio no concluyente

💡 Life hack: D'Alembert funciona excelente con factoriales y potencias de $n$. El cociente simplifica muy bien.

GemaCuando ves $n!$ o $a^n$ en el término general, D'Alembert es tu mejor amiga. El factorial se simplifica solo al hacer $a_{n+1}/a_n$. 🎯

Ejemplo 1 — Con potencia de $n$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}$

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^3/2^{n+1}}{n^3/2^n}=\dfrac{(n+1)^3}{n^3\cdot 2}$

$L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3}{2n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}{2}=\frac{1}{2}<1$

Converge — $L=1/2<1$.

Ejemplo 2 — Con factorial

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n\,n!}{(n+2)!}$

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{3^{n+1}(n+1)!/(n+3)!}{3^n\,n!/(n+2)!}$

Simplificando: $=\dfrac{3(n+1)}{n+3}$

$L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3(n+1)}{n+3}=3>1$ ⇒ Diverge

Sección 05Criterio de la Raíz n-ésima — Cauchy

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Sea $\sum a_n$ de términos positivos con $L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$. Entonces:

$L<1$ ⇒ converge
$L>1$ ⇒ diverge
$L=1$ ⇒ criterio no concluyente

Elvira¿Cuándo usar Cauchy? Cuando el término general es algo elevado a la $n$, tipo $(f(n))^n$. La raíz n-ésima «cancela» ese exponente y el límite queda simple. 😎

Ejemplo

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n^3+2)^n}$

$\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\dfrac{1}{(n^3+2)^n}}=\dfrac{1}{n^3+2}$

$L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3+2}=0<1$

Converge — $L=0<1$.

Sección 06Criterio de la Integral · Serie-p

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Si $f$ es continua, positiva y decreciente en $[1,+\infty)$ con $f(n)=a_n$:

$\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)\,dx$ converge $\iff$ $\sum a_n$ converge.

Serie Armónica y Serie-p

Serie armónica: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ — diverge

Serie-p: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$

$p>1\Rightarrow$ converge | $p\leq 1\Rightarrow$ diverge

GemaLa serie-p es la referencia favorita para comparación. Memorizá: $\sum 1/n^2$ converge ($p=2>1$), $\sum 1/\sqrt{n}$ diverge ($p=1/2<1$). 📚

Ejemplo 1 — Criterio de la integral

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^n}$

Sea $f(x)=x/e^x$. Es continua, positiva y decreciente ($f'(x)=(1-x)/e^x<0$ para $x>1$) ✓.

$\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{x}{e^x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{x}{e^x}-\frac{1}{e^x}\right]_1^b=\frac{2}{e}$ (usando L'Hôpital para $\lim b/e^b=0$)

La integral converge ⇒ Converge

Ejemplo 2 — Demostración de la Serie-p con $p>1$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ con $p>1$

Sea $f(x)=x^{-p}$. Cumple las condiciones del criterio ✓.

$\displaystyle\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(\frac{b^{1-p}}{1-p}-\frac{1}{1-p}\right)$

Como $p>1\Rightarrow 1-p<0\Rightarrow b^{1-p}\to 0$. La integral vale $\dfrac{1}{p-1}$ ⇒ Converge

Sección 07Criterios de Comparación

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Sean $\sum a_n$ y $\sum b_n$ de términos positivos:

$a_n\leq b_n$ y $\sum b_n$ converge ⇒ $\sum a_n$ converge.
$a_n\leq b_n$ y $\sum a_n$ diverge ⇒ $\sum b_n$ diverge.
$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=c>0$ ⇒ ambas tienen el mismo comportamiento.
$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=0$ y $\sum b_n$ converge ⇒ $\sum a_n$ converge.
$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=+\infty$ y $\sum b_n$ diverge ⇒ $\sum a_n$ diverge.

ElviraEl truco: mirá el orden dominante del término general. En $1/(2n^2+4n+3)$ el dominante es $1/n^2$. Comparás con $\sum 1/n^2$ (serie-p, converge) y listo. 🐼

Ejemplo 1 — Comparación directa

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2n^2+4n+3}$

Como $2n^2+4n+3>2n^2\Rightarrow a_n=\dfrac{5}{2n^2+4n+3}<\dfrac{5}{2n^2}=b_n$.

$\sum b_n=\dfrac{5}{2}\sum\dfrac{1}{n^2}$ es serie-p con $p=2>1$ ⇒ converge.

Por comparación directa ⇒ Converge

Ejemplo 2 — Comparación por límite

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n}{\sqrt{5+n^5}}$

Orden dominante: numerador $\sim 2n^2$, denominador $\sim n^{5/2}$. Comparamos con $b_n=\dfrac{2}{n^{1/2}}$.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n}{\sqrt{5+n^5}}\cdot\frac{n^{1/2}}{2}=1>0$

$\sum b_n=2\sum 1/n^{1/2}$ es serie-p con $p=1/2<1$ ⇒ diverge. Como $c=1>0$ ⇒ Diverge

Sección 08Series Alternadas · Criterio de Leibniz

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Una serie es alternada si sus términos alternan de signo: $\sum(-1)^n a_n$ con $a_n>0$.

Criterio de Leibniz: Si $\{a_n\}$ es decreciente y $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, entonces $\sum(-1)^n a_n$ converge.

⚠️ Observación: Si la serie alternada no verifica las condiciones de Leibniz, el criterio no dice nada. Usar otro criterio.

GemaPara verificar que $\{a_n\}$ decrece: compará $a_n$ y $a_{n+1}$ directamente, o derivá $f(x)$ y chequea $f'(x)<0$. Cualquiera sirve. 🔍

Ejemplo

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(n+2)^3}$

Es alternada con $a_n=\dfrac{1}{(n+2)^3}$.

Decreciente: $(n+2)^3<(n+3)^3\Rightarrow a_n>a_{n+1}$ ✓

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+2)^3}=0$ ✓

Por Leibniz ⇒ Converge

Sección 09Convergencia Absoluta y Condicional

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Absolutamente convergente: $\sum a_n$ es absoluta si $\sum|a_n|$ converge.

Condicionalmente convergente: $\sum a_n$ converge pero $\sum|a_n|$ diverge.

Teorema: $\sum|a_n|$ converge ⇒ $\sum a_n$ converge.

Elvira & GemaEstrategia: primero chequea convergencia absoluta ($\sum|a_n|$ con criterios para términos positivos). Si converge → terminaste. Si no → Leibniz para condicional. 🐾

Ejemplo 1 — Condicional

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$

Absoluta: $\sum|a_n|=\sum\dfrac{1}{n}$ = serie armónica ⇒ diverge. No es absoluta.

Leibniz: $a_n=1/n$ decrece y $\lim 1/n=0$ ✓ ⇒ converge.

Condicionalmente convergente

Ejemplo 2 — Absoluta por comparación

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi)}{n^2}$

No es de términos positivos ni alternada estricta. Analizamos $\sum\left|\dfrac{\cos(n\pi)}{n^2}\right|$.

$|\cos(n\pi)|\leq 1\Rightarrow\dfrac{|\cos(n\pi)|}{n^2}\leq\dfrac{1}{n^2}$ y $\sum 1/n^2$ converge (serie-p, $p=2$).

Por comparación ⇒ Absolutamente convergente

Sección 10Errores Típicos

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ElviraEstos son los errores que más veo en parciales. Prestá atención. 🐼

Error 1 — El más común: Concluir convergencia porque $\lim a_n=0$.
La serie armónica $\sum 1/n$ diverge aunque $\lim 1/n=0$. Es condición necesaria, no suficiente.

Error 2: Usar D'Alembert con $L=1$ y dar una conclusión.
Si $L=1$, el criterio es inconcluso. Hay que usar otro.

Error 3: Aplicar D'Alembert, Cauchy o comparación a series con términos negativos.
Estos criterios requieren $a_n>0$ para todo $n$.

Error 4: En Leibniz, verificar solo $\lim a_n=0$ sin chequear que $\{a_n\}$ sea decreciente.
Se necesitan ambas condiciones.

Error 5: Si $\sum|a_n|$ diverge, concluir que $\sum a_n$ diverge.
La serie original puede igual converger condicionalmente. Siempre distinguir los tres casos.

Sección 11Tips y Estrategia de Resolución

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GemaSeguí este orden y rarás veces te equivocás. Yo también lo uso cuando tengo que resolver series a las 3am antes de un parcial. 😸

Algoritmo para analizar una serie

¿Es geométrica? → Identificá $a$ y $r$. Aplicá $|r|<1$.

¿El término tiende a cero? → Si $\lim a_n\neq 0$ → diverge.

¿Tiene factoriales o potencias de $n$? → D'Alembert.

¿Tiene estructura $(f(n))^n$? → Cauchy.

¿Se parece a una serie-p o armónica? → Comparación.

¿Función integrable asociada? → Criterio de la integral.

¿Alterna signos? → Leibniz. Si $\sum|a_n|$ converge → absoluta.

Tabla resumen

Criterio	Condición clave	Cuándo usarlo
Geométrica	$\|r\|<1\Rightarrow$ converge	Cociente constante entre términos
Divergencia	$\lim a_n\neq 0\Rightarrow$ diverge	Siempre, como primer paso
D'Alembert	$L<1$ converge; $L>1$ diverge; $L=1$ sin info	Factoriales, potencias de $n$
Cauchy	Igual que D'Alembert	Estructura $(f(n))^n$
Integral	Integral converge $\iff$ serie converge	Función integrable asociada
Comparación	$a_n\leq b_n$ o $\lim a_n/b_n=c>0$	Se parece a serie conocida
Leibniz	Decreciente $+$ $\lim a_n=0\Rightarrow$ converge	Series alternadas

Series
Numéricas

Definición

Sumas Parciales

Convergencia y Divergencia

Ejemplo 1 — Convergente

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)

Ejemplo 2 — Divergente

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 1 = 1+1+1+\cdots\)

Propiedades

Ejemplo 1 — Convergente con \(r\) negativo

\(\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\cdots\)

Ejemplo 2 — Divergente

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 2^{2n}\cdot 3^{1-n}\)

Ejemplo

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{5n+1}\)

Ejemplo 1 — Con potencia de \(n\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}\)

Ejemplo 2 — Con factorial

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n\,n!}{(n+2)!}\)

Ejemplo

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n^3+2)^n}\)

Serie Armónica y Serie-p

Ejemplo 1 — Criterio de la integral

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^n}\)

Ejemplo 2 — Demostración de la Serie-p con \(p>1\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) con \(p>1\)

Ejemplo 1 — Comparación directa

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2n^2+4n+3}\)

Ejemplo 2 — Comparación por límite

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n}{\sqrt{5+n^5}}\)

Ejemplo

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(n+2)^3}\)

Ejemplo 1 — Condicional

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\)

Ejemplo 2 — Absoluta por comparación

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi)}{n^2}\)

Algoritmo para analizar una serie

Tabla resumen

Criterio	Condición clave	Cuándo usarlo
Geométrica	\(\|r\|<1\Rightarrow\) converge	Cociente constante entre términos
Divergencia	\(\lim a_n\neq 0\Rightarrow\) diverge	Siempre, como primer paso
D'Alembert	\(L<1\) converge; \(L>1\) diverge; \(L=1\) sin info	Factoriales, potencias de \(n\)
Cauchy	Igual que D'Alembert	Estructura \((f(n))^n\)
Integral	Integral converge \(\iff\) serie converge	Función integrable asociada
Comparación	\(a_n\leq b_n\) o \(\lim a_n/b_n=c>0\)	Se parece a serie conocida
Leibniz	Decreciente \(+\) \(\lim a_n=0\Rightarrow\) converge	Series alternadas

SeriesNuméricas

Definición

Sumas Parciales

Convergencia y Divergencia

Ejemplo 1 — Convergente

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)

Ejemplo 2 — Divergente

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 1 = 1+1+1+\cdots\)

Propiedades

Ejemplo 1 — Convergente con \(r\) negativo

\(\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\frac{16}{81}-\cdots\)

Ejemplo 2 — Divergente

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 2^{2n}\cdot 3^{1-n}\)

Ejemplo

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{5n+1}\)

Ejemplo 1 — Con potencia de \(n\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}\)

Ejemplo 2 — Con factorial

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n\,n!}{(n+2)!}\)

Ejemplo

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n^3+2)^n}\)

Serie Armónica y Serie-p

Ejemplo 1 — Criterio de la integral

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^n}\)

Ejemplo 2 — Demostración de la Serie-p con \(p>1\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) con \(p>1\)

Ejemplo 1 — Comparación directa

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2n^2+4n+3}\)

Ejemplo 2 — Comparación por límite

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n}{\sqrt{5+n^5}}\)

Ejemplo

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(n+2)^3}\)

Ejemplo 1 — Condicional

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\)

Ejemplo 2 — Absoluta por comparación

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi)}{n^2}\)

Algoritmo para analizar una serie

Tabla resumen

Series
Numéricas