Ecuaciones Paramétricas y Vectoriales

Sección 01 Conceptos clave y Definiciones

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Representación paramétrica de una curva

Si consideramos una partícula que se mueve en el plano $\mathbb{R}^2$ o en el espacio $\mathbb{R}^3$ de manera continua a través del tiempo, describe una trayectoria (curva) con cierto sentido, velocidad y aceleración. La manera natural de describir ese movimiento es mediante un parámetro $t$ (generalmente el tiempo).

Definición 1 — Representación paramétrica

Dada una curva $\mathcal{C}$ del plano/espacio, llamaremos representación paramétrica de $\mathcal{C}$ al conjunto de ecuaciones:

Si $\mathcal{C} \subset \mathbb{R}^2$:
$$ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \quad t \in I $$ Si $\mathcal{C} \subset \mathbb{R}^3$:
$$ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} \quad t \in I $$

El conjunto de puntos $\{(x; y) \in \mathbb{R}^2 : x = x(t) \land y = y(t),\; t \in I\}$ se denomina traza de la curva.

Gema

Pensalo así: en vez de tener una sola ecuación que relacione $x$ e $y$, usamos un "reloj" $t$ que va marcando la posición del punto en cada instante. Cada valor de $t$ te dice exactamente dónde está la partícula.

Observación: Dada una curva $\mathcal{C}$, podemos determinar infinitas representaciones paramétricas equivalentes siempre que exista un cambio admisible de parámetro (relación biyectiva) entre ellas.

Representación paramétrica suave

Definición 2 — Representación suave

La representación paramétrica de una curva $\mathcal{C}$ se denomina suave si las derivadas de las funciones componentes son continuas y no se anulan simultáneamente, excepto posiblemente en los extremos del intervalo.

Elvira

Ojo: una curva puede ser suave aunque tenga una parametrización que no lo sea. Si encontrás al menos una representación paramétrica suave, entonces la curva es suave. No hace falta que todas lo sean.

Funciones vectoriales

Definición 3 — Función vectorial

Una función vectorial de una variable real es una aplicación $\vec{r}: I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$, que para cada valor de $t$ asigna un único vector de $\mathbb{R}^n$.

Para $n = 2$: $\vec{r}(t) = \big(x(t);\, y(t)\big) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j}$

Para $n = 3$: $\vec{r}(t) = \big(x(t);\, y(t);\, z(t)\big) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}$

Las funciones $x = x(t)$, $y = y(t)$, $z = z(t)$ se denominan funciones componentes de $\vec{r}$, y su dominio es:

$$ \text{Dom}(\vec{r}) = \text{dom}(x) \cap \text{dom}(y) \cap \text{dom}(z) $$

Gema

Las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial son dos caras de la misma moneda. Si tenés las paramétricas, armás la vectorial juntando todo en un vector. Y viceversa: descomponés el vector y tenés las paramétricas.

Longitud de arco de una curva

Definición 4 — Longitud de arco

Dada la curva $\mathcal{C}$ suave que no se corta a sí misma en el intervalo $I = [a, b]$, definimos la longitud de arco como:

En $\mathbb{R}^2$: $$ s = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt $$ En $\mathbb{R}^3$: $$ s = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\, dt $$

Velocidad, aceleración y rapidez

Definición 5 — Cinemática

Si una partícula se mueve por una curva con vector posición $\vec{r}(t) = \big(x(t);\, y(t);\, z(t)\big)$, definimos:

Vector velocidad: $\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t) = \big(x'(t);\, y'(t);\, z'(t)\big)$

Vector aceleración: $\vec{a}(t) = \vec{v}\,'(t) = \vec{r}\,''(t) = \big(x''(t);\, y''(t);\, z''(t)\big)$

Rapidez: $\|\vec{r}\,'(t)\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}$

Elvira

Resumiendo: el vector velocidad te dice la dirección y rapidez del movimiento; la aceleración te dice cómo cambia esa velocidad. Y la rapidez es simplemente el módulo (la "magnitud") de la velocidad, un escalar.

Propiedades de derivación de funciones vectoriales

Si $\vec{r}: I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ es derivable, $f: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ derivable, y $k$ una constante:

P1) $\frac{d}{dt}\big(k \cdot \vec{r}(t)\big) = k \cdot \vec{r}\,'(t)$

P2) $\frac{d}{dt}\big(\vec{r}_1(t) \pm \vec{r}_2(t)\big) = \vec{r}\,'_1(t) \pm \vec{r}\,'_2(t)$

P3) $\frac{d}{dt}\big(f(t) \cdot \vec{r}(t)\big) = f'(t)\cdot\vec{r}(t) + f(t)\cdot\vec{r}\,'(t)$

P4) $\frac{d}{dt}\big(\vec{r}_1(t) \cdot \vec{r}_2(t)\big) = \vec{r}\,'_1(t) \cdot \vec{r}_2(t) + \vec{r}_1(t) \cdot \vec{r}\,'_2(t)$

P5) $\frac{d}{dt} \vec{r}\big(f(t)\big) = \vec{r}\,'\big(f(t)\big) \cdot f'(t)$

P6) Si $\vec{r}(t) \cdot \vec{r}(t) = K$ (constante), entonces $\vec{r}(t) \cdot \vec{r}\,'(t) = 0$

Sección 02 Procedimientos y Métodos

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Cómo parametrizar curvas clásicas

La idea general es expresar $x$ e $y$ en función de un parámetro $t$, usando identidades trigonométricas o sustituciones directas.

Recta $y = mx + b$ entre los puntos $P$ y $Q$:
Tomamos $x = t$, entonces $y = mt + b$, con $t \in [x_P,\, x_Q]$.

Circunferencia $x^2 + y^2 = a^2$:
Usamos la identidad pitagórica $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$:
$$ \begin{cases} x = a\cos(t) \\ y = a\sin(t) \end{cases} \quad t \in [0,\, 2\pi] $$

Elipse $\frac{(x-\alpha)^2}{a^2} + \frac{(y-\beta)^2}{b^2} = 1$:
Mismo truco con seno y coseno:
$$ \begin{cases} x = a\cos(t) + \alpha \\ y = b\sin(t) + \beta \end{cases} \quad t \in [0,\, 2\pi] $$

Gema

El truco para circunferencias y elipses es siempre el mismo: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. Fijate que la ecuación de la curva tiene esa misma estructura. Solo asignás cada parte a coseno o seno según corresponda.

Cómo verificar si una parametrización es suave

Dada $\mathcal{C}:\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$, con $t \in [a, b]$:

Paso 1: Calcular $x'(t)$ e $y'(t)$.

Paso 2: Verificar que ambas derivadas sean continuas en $[a, b]$.

Paso 3: Verificar que $x'(t)$ e $y'(t)$ no se anulen simultáneamente en el interior del intervalo.

Si se cumple → la representación es suave.

Cómo hallar la ecuación cartesiana

Paso 1: Despejar $t$ de una de las ecuaciones paramétricas (la más simple).

Paso 2: Sustituir en la otra ecuación.

Paso 3: Simplificar para obtener una relación directa entre $x$ e $y$.

Cómo cambiar la orientación de una curva

Dada una curva con $a \leq t \leq b$, para invertir el sentido de recorrido basta realizar el cambio de parámetro $t = -u$:

$$ a \leq t \leq b \implies -b \leq u \leq -a $$

Elvira

Para analizar el sentido de giro en una circunferencia o elipse, usá el método cuadrante por cuadrante: evaluá la parametrización en $t = 0$, $t = \pi/2$, etc. y observá cómo se mueve el punto. Si $x$ decrece mientras $y$ crece al principio, el giro es antihorario.

Cómo calcular la longitud de arco

Paso 1: Calcular $x'(t)$, $y'(t)$ (y $z'(t)$ si es R³).

Paso 2: Armar el integrando: $\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$.

Paso 3: Integrar en el intervalo $[a, b]$.

Importante: la curva debe recorrerse una única vez en $[a, b]$.

Sección 03 Ejemplos resueltos

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Ejemplo 1 — Parametrizar un segmento de recta

Parametrizar el segmento de recta dado por $y = 2x + 1$ tal que $P(0; 1)$ sea el punto inicial y $Q(3; 7)$ el punto final.

Resolución:

Si tomamos $x = t$, entonces $y = 2t + 1$. Como $x$ va de $0$ a $3$:

$$ \mathcal{C}: \begin{cases} x = t \\ y = 2t + 1 \end{cases} \quad t \in [0,\, 3] $$

Ejemplo 2 — Análisis completo de una curva

Para la curva $\mathcal{C}: \begin{cases} x = t^2 - 2t \\ y = t + 1 \end{cases};\; -1 \leq t \leq 4$

a) ¿Es suave?

Derivamos: $x'(t) = 2t - 2$, $y'(t) = 1$.

Como $y'(t) = 1 \neq 0$ para todo $t$, las derivadas nunca se anulan simultáneamente. La representación es suave.

b) Ecuación vectorial:

$$ \vec{r}(t) = (t^2 - 2t;\; t + 1), \quad -1 \leq t \leq 4 $$

c) Vector posición para $t = 3$:

$\vec{r}(3) = (3^2 - 2 \cdot 3;\; 3 + 1) = (3;\, 4)$

e) Ecuación cartesiana:

De $y = t + 1$ despejamos $t = y - 1$. Sustituimos en $x$:

$$ x = (y-1)^2 - 2(y-1) = y^2 - 2y + 1 - 2y + 2 \implies x = (y-2)^2 - 1 $$

Es una parábola horizontal con vértice en $(-1,\, 2)$.

Gema

Fijate que al eliminar el parámetro $t$ "perdés" la información del sentido de recorrido y la velocidad. La ecuación cartesiana te da solo la forma geométrica, no el movimiento.

Ejemplo 3 — Parametrización de una circunferencia

Dada la circunferencia $x^2 + y^2 = 4$, parametrizar con giro antihorario.

Resolución:

$$ \begin{cases} x = 2\cos(t) \\ y = 2\sin(t) \end{cases} \quad t \in [0,\, 2\pi] $$

Verificación: $x^2 + y^2 = 4\cos^2 t + 4\sin^2 t = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$ ✓

Sentido de giro: Para $t = 0$: punto $(2, 0)$. Para $t = \pi/2$: punto $(0, 2)$. Se mueve del eje $x$ positivo hacia el eje $y$ positivo → antihorario.

Longitud de arco:

$$ s = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2}\, dt = \int_0^{2\pi} 2\, dt = 2\pi r = 4\pi $$

Ejemplo 4 — Velocidad, aceleración y rapidez

Dada $\vec{r}(t) = \big(2\sin(t/2);\; 2\cos(t/2)\big)$. Calcular velocidad, aceleración y rapidez para $t = \pi/2$.

Resolución:

$$ \vec{r}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(2\sin\frac{\pi}{4};\; 2\cos\frac{\pi}{4}\right) = (\sqrt{2};\; \sqrt{2}) $$

$$ \vec{v}(t) = \left(\cos\frac{t}{2};\; -\sin\frac{t}{2}\right) \implies \vec{v}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2};\; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

$$ \vec{a}(t) = \left(-\frac{1}{2}\sin\frac{t}{2};\; -\frac{1}{2}\cos\frac{t}{2}\right) \implies \vec{a}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{4};\; -\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $$

Rapidez: $\|\vec{v}(t)\| = \sqrt{\cos^2(t/2) + \sin^2(t/2)} = 1$

Observación: como $\|\vec{r}(t)\| = 2$ (constante), por la propiedad P6 se cumple $\vec{r}(t) \cdot \vec{r}\,'(t) = 0$, es decir, el vector posición y el vector velocidad son siempre ortogonales.

Elvira

En movimientos circulares uniformes, la rapidez es constante y el vector velocidad siempre es tangente a la curva. La aceleración apunta hacia el centro (centrípeta). Esto se deduce directamente de las propiedades de derivación vectorial.

Sección 04 Errores típicos

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Confundir "curva suave" con "parametrización suave"
Una curva puede admitir múltiples parametrizaciones. Que una no sea suave no implica que la curva no lo sea. Solo necesitás encontrar una representación suave.

Olvidar el intervalo del parámetro
La parametrización no está completa sin especificar $t \in I$. El intervalo determina qué porción de la curva se recorre, el sentido de giro, y si se hace un recorrido completo o parcial.

Cambiar el sentido de giro al variar el período
Al cambiar de $\cos(t)$ a $\cos(2t)$ no se cambia la orientación, se cambia la velocidad de recorrido. Para cambiar la orientación se sustituye $t \to -u$.

Integrar longitud de arco con recorrido múltiple
Si la parametrización recorre la curva más de una vez (ej: $t \in [0, 4\pi]$ en una circunferencia), la integral dará el doble o triple de la longitud real. Verificar que la curva se recorra una sola vez en el intervalo.

Elvira

Un error sutil pero frecuente: al derivar funciones vectoriales, recordá que la regla del producto se aplica pero manteniendo el orden en el producto vectorial (P4). En el producto escalar el orden no importa, pero no confundas ambos.

Confundir rapidez con velocidad
La velocidad es un vector (tiene dirección y sentido); la rapidez es un escalar (el módulo del vector velocidad). No son intercambiables.

Sección 05 Checklist de verificación

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✓ ¿Especifiqué el intervalo $t \in [a, b]$ en la parametrización?

✓ ¿Verifiqué que los puntos generados pertenecen a la curva original (sustituyendo en la ecuación cartesiana)?

✓ Para suavidad: ¿calculé ambas derivadas y comprobé que no se anulan juntas?

✓ ¿Analicé el sentido de recorrido evaluando en $t_0$, $t_1$, etc.?

✓ ¿Se recorre la curva exactamente una vez en el intervalo (para longitud de arco)?

✓ ¿La ecuación vectorial es coherente con las paramétricas (mismas componentes)?

✓ ¿Al eliminar $t$ para obtener la ecuación cartesiana, incluí la restricción en $x$ o $y$?

✓ ¿Apliqué correctamente las reglas de derivación vectorial (producto, cadena)?

Elvira y Gema

Si llegaste hasta acá y chequeaste todo, vas por muy buen camino. Ahora a practicar para fijar los conceptos.

Sección 06 Práctica

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Parametrizar el segmento de recta que une $A(-1, 3)$ con $B(4, -2)$. Escribir la ecuación vectorial y verificar la suavidad.
Dada $\mathcal{C}: \begin{cases} x = 3\cos(t) \\ y = 2\sin(t) \end{cases},\; t \in [0,\, 2\pi]$, hallar la ecuación cartesiana. ¿Qué curva es? ¿Cuál es el sentido de recorrido?
Para la curva $\vec{r}(t) = (t^2;\, t^3 - t)$, con $-2 \leq t \leq 2$: determinar si la parametrización es suave. Hallar $\vec{v}(t)$ y $\vec{a}(t)$. Evaluar en $t = 1$.
Calcular la longitud de arco de la curva $\begin{cases} x = r\cos(t) \\ y = r\sin(t) \end{cases},\; t \in [0,\, \pi]$. ¿Qué porción de la circunferencia estamos midiendo?
Dada la elipse $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ parametrizada como $\begin{cases} x = 2\sin(t) \\ y = 3\cos(t) \end{cases},\; t \in [0, 2\pi]$, invertir la orientación. Escribir la nueva parametrización simplificada.

Ecuaciones Paramétricasy Vectoriales

Representación paramétrica de una curva

Representación paramétrica suave

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Longitud de arco de una curva

Velocidad, aceleración y rapidez

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