Integrales de Línea

Sección 01 Conceptos clave

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Curva suave a trozos Una curva $\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j} + z(t)\,\hat{k}$, $a \le t \le b$, es suave si $x'(t)$, $y'(t)$, $z'(t)$ son continuas y no simultáneamente nulas. Es suave a trozos si el intervalo $[a,b]$ puede partirse en un número finito de subintervalos donde $C$ es suave en cada uno.

Integral de línea de un campo escalar

Definición Sea $f$ continua sobre una curva suave $C$. La integral de línea de $f$ a lo largo de $C$ es: $$\int_C f\,ds = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta s_i$$

Su cálculo práctico se reduce a una integral ordinaria usando la parametrización:

$$\int_C f(x,y)\,ds = \int_a^b f\!\left(x(t),y(t)\right)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$$

En $\mathbb{R}^3$ se agrega el término $\left(\frac{dz}{dt}\right)^2$ bajo la raíz.

Interpretación geométrica Si $f(x,y) \ge 0$, la integral de línea representa el área lateral de la "cortina" cuya base es $C$ y cuya altura en cada punto es $f(x,y)$. Si $f = 1$, el resultado es la longitud de arco de $C$.

Integral de línea de un campo vectorial

Definición Sea $\vec{F}$ un campo vectorial continuo sobre una curva suave $C$. La integral de línea de $\vec{F}$ sobre $C$ es: $$\int_C \vec{F}\,d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}\!\left(\vec{r}(t)\right)\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt$$ En 2D se escribe también en forma diferencial: $\displaystyle\int_C M\,dx + N\,dy$

Campo conservativo y función potencial

Definición $\vec{F}$ es conservativo si existe $f$ diferenciable tal que $\vec{F} = \nabla f$. La función $f$ se llama función potencial.

Criterio en el plano: $\vec{F} = (M,N)$ es conservativo en un disco abierto $\Leftrightarrow$ $\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\partial M}{\partial y}$

Criterio en el espacio: $\vec{F} = (M,N,P)$ es conservativo en una esfera abierta $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rot}\,\vec{F} = \vec{0}$, es decir, $P_y = N_z$, $P_x = M_z$, $N_x = M_y$.

Rotacional y Divergencia

$$\mathrm{rot}\,\vec{F} = \nabla\times\vec{F} = (P_y - N_z)\,\hat{i} + (M_z - P_x)\,\hat{j} + (N_x - M_y)\,\hat{k}$$ $$\mathrm{div}\,\vec{F} = \nabla\cdot\vec{F} = M_x + N_y + P_z$$

Teorema de Green

Enunciado Sea $C$ una curva cerrada, suave a trozos, recorrida en sentido antihorario, frontera de la región plana $D$ simplemente conexa. Si $M, N \in C^1$ en una región abierta que contiene a $D$, entonces: $$\oint_C M\,dx + N\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right)dA$$

💡 Elvira dice

La integral escalar usa $\|\vec{r}\,'(t)\|$ — el módulo de la derivada. La integral vectorial usa producto punto con $\vec{r}\,'(t)$. Son operaciones muy distintas aunque las dos se llamen "integral de línea".

✨ Gema aclara

Para Green: la curva tiene que ser cerrada, recorrida en sentido antihorario, y la región tiene que ser simplemente conexa (sin agujeros). Si falla alguna de las tres: cuidado.

Sección 02 Procedimiento

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A. Calcular una integral de línea escalar $\int_C f\,ds$

1

Identificar la parametrización $\vec{r}(t) = (x(t),y(t),z(t))$, $t\in[a,b]$.

2

Calcular $\vec{r}\,'(t)$ y el módulo $\|\vec{r}\,'(t)\| = \sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}$.

3

Sustituir $x(t),y(t),z(t)$ en $f$ para obtener $f(\vec{r}(t))$.

4

Integrar: $\displaystyle\int_a^b f(\vec{r}(t))\cdot\|\vec{r}\,'(t)\|\,dt$.

⚡ Propiedad importante: la integral de línea escalar no cambia si se invierte el sentido de recorrido de $C$ (depende solo de la curva, no de la orientación).

B. Calcular una integral de línea vectorial $\int_C \vec{F}\,d\vec{r}$

1

Parametrizar la curva $C$: obtener $\vec{r}(t)$ y $\vec{r}\,'(t)$.

2

Evaluar el campo en la curva: $\vec{F}(\vec{r}(t))$.

3

Calcular el producto punto: $\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)$.

4

Integrar el escalar resultante: $\displaystyle\int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt$.

⚡ Propiedad: $\displaystyle\int_{-C}\vec{F}\,d\vec{r} = -\int_C \vec{F}\,d\vec{r}$ (el signo cambia al invertir el sentido).

C. Verificar si un campo es conservativo y hallar la función potencial

1

Verificar $M_y = N_x$ (plano) o $\mathrm{rot}\,\vec{F} = \vec{0}$ (espacio).

2

Si es conservativo: integrar $f_x = M$ respecto a $x$ → $f = \int M\,dx + g(y,z)$.

3

Derivar $f$ respecto a $y$ e igualar a $N$ → determinar $g(y,z)$.

4

En 3D: repetir con $f_z = P$ → determinar las constantes de integración.

D. Aplicar el Teorema de Green

1

Verificar que $C$ es una curva cerrada recorrida en sentido antihorario (positivo), borde de una región simplemente conexa $D$.

2

Identificar $M$ y $N$ en la integral $\int_C M\,dx + N\,dy$.

3

Calcular $\dfrac{\partial N}{\partial x} - \dfrac{\partial M}{\partial y}$.

4

Evaluar la integral doble $\iint_D \left(N_x - M_y\right)dA$ sobre la región $D$ (usar coordenadas polares si es circular).

💡 Elvira dice

¡Truco rápido! Antes de parametrizar cualquier cosa, siempre preguntate: ¿el campo es conservativo? Si lo es, usás el Teorema Fundamental y te ahorras todo el trabajo de integrar.

Sección 03-A ✏️ Ejemplos — Integrales escalares

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Escalar 1 — Curva en $\mathbb{R}^3$, orientación directa e inversa

Calcular $\displaystyle\int_C yz\,ds$ donde $C: \vec{r}(t) = (t,\,t^2,\,t)$, $t\in[0,1]$. Luego repetir con $C$ recorrida en sentido inverso y comparar.

Sentido directo: de $(0,0,0)$ a $(1,1,1)$

$$\vec{r}(t)=(t,\,t^2,\,t),\quad \vec{r}\,'(t)=(1,\,2t,\,1),\quad \|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{2+4t^2}$$

Evaluamos $f(x,y,z)=yz$ en la curva: $f(\vec{r}(t))=t^2\cdot t = t^3$.

$$\int_C yz\,ds = \int_0^1 t^3\,\sqrt{2+4t^2}\,dt = \frac{\sqrt{6}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{30}$$

Sentido inverso: de $(1,1,1)$ a $(0,0,0)$

Reparametrizamos: $\vec{r}(t)=(-t,\,t^2,\,-t)$, $t\in[-1,0]$.

$$\vec{r}\,'(t)=(-1,\,2t,\,-1),\quad \|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{2+4t^2}$$

Ahora $f(\vec{r}(t))=t^2\cdot(-t)=-t^3$.

$$\int_{-C} yz\,ds = \int_{-1}^{0} (-t^3)\,\sqrt{2+4t^2}\,dt = \frac{\sqrt{6}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{30}$$

✅ Conclusión clave El resultado es idéntico en ambos casos. La integral de línea escalar no depende de la orientación de la curva.

Escalar 2 — Curva a trozos en $\mathbb{R}^2$

Calcular $\displaystyle\int_C xy\,ds$ donde $C: |x|+y=3$, $x\in[-3,3]$.

La curva tiene dos tramos: $C = C_1 \cup C_2$.

Tramo $C_1$: $y = x+3$, $x\in[-3,0]$

$$\vec{r}(t)=(t,\,t+3),\quad t\in[-3,0],\quad \vec{r}\,'(t)=(1,1),\quad \|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{2}$$

$f(\vec{r}(t)) = t(t+3) = t^2+3t$

$$\int_{C_1} xy\,ds = \int_{-3}^{0}(t^2+3t)\,\sqrt{2}\,dt = -\frac{9}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{9\sqrt{2}}{5}$$

Tramo $C_2$: $y = -x+3$, $x\in[0,3]$

$$\vec{r}(t)=(t,\,-t+3),\quad t\in[0,3],\quad \|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{2}$$

$f(\vec{r}(t)) = t(-t+3) = -t^2+3t$

$$\int_{C_2} xy\,ds = \int_{0}^{3}(-t^2+3t)\,\sqrt{2}\,dt = \frac{9\sqrt{2}}{5}$$

Resultado total

$$\int_C xy\,ds = \int_{C_1} + \int_{C_2} = -\frac{9\sqrt{2}}{5} + \frac{9\sqrt{2}}{5} = \boxed{0}$$

💡 ¿Por qué da cero? El integrando $xy$ es impar en $x$ sobre una curva simétrica respecto al eje $y$: los aportes de $C_1$ y $C_2$ se cancelan exactamente.

Escalar 3 — Verificar que $\int_C \cos z\,ds = 0$

Sea $f(x,y,z)=\cos z$ y $C: \vec{r}(t)=(\sin t,\,\cos t,\,t)$, $t\in[0,2\pi]$.

$$\vec{r}\,'(t)=(\cos t,\,-\sin t,\,1),\quad \|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t+1}=\sqrt{2}$$

Evaluamos: $f(\vec{r}(t))=\cos t$.

$$\int_C \cos z\,ds = \int_0^{2\pi} \cos t \cdot \sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\,\Bigl[\sin t\Bigr]_0^{2\pi} = \boxed{0}$$

💡 Intuición $\cos t$ es una función de media nula sobre un período completo — los valores positivos y negativos se compensan. Cuando $\|\vec{r}\,'\|$ es constante, esto garantiza que la integral se anule.

Sección 03-B ✏️ Ejemplos — Integrales vectoriales

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Vectorial 1 — Integral sobre arco de circunferencia

Calcular $\displaystyle\int_C \vec{F}\,d\vec{r}$ con $\vec{F}(x,y)=(x-y,\,xy)$ y $C: x^2+y^2=4$ recorrida de $(2,0)$ a $(0,-2)$ en sentido antihorario.

Paso 1: parametrización

El arco va desde $\theta=0$ hasta $\theta=\frac{3\pi}{2}$ (sentido antihorario):

$$\vec{r}(t)=(2\cos t,\,2\sin t),\quad t\in\left[0,\tfrac{3\pi}{2}\right]$$ $$\vec{r}\,'(t)=(-2\sin t,\,2\cos t)$$

Paso 2: evaluar el campo en la curva

$$\vec{F}(\vec{r}(t))=(2\cos t-2\sin t,\;4\sin t\cos t)$$

Paso 3: producto punto y cálculo

$$\vec{F}\cdot\vec{r}\,'= (2\cos t-2\sin t)(-2\sin t)+(4\sin t\cos t)(2\cos t)$$ $$= -4\cos t\sin t+4\sin^2 t+8\sin t\cos^2 t$$

$$\int_C \vec{F}\,d\vec{r} = \int_0^{3\pi/2}\!\!\left(-4\cos t\sin t+4\sin^2 t+8\cos^2 t\sin t\right)dt = 3\pi+\frac{2}{3}$$

Vectorial 2 — Trabajo de una fuerza sobre una trayectoria

Calcular el trabajo realizado por $\vec{F}(x,y,z)=\sin x\,\hat{i}+\cos y\,\hat{j}+xz\,\hat{k}$ al mover una partícula a lo largo de $\vec{r}(t)=(t^3,\,-t^2,\,t)$, $t\in[0,1]$.

Paso 1: derivada de la curva

$$\vec{r}\,'(t)=(3t^2,\,-2t,\,1)$$

Paso 2: evaluar el campo

$$\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl(\sin(t^3),\;\cos(-t^2),\;t^3\cdot t\bigr)=\bigl(\sin t^3,\;\cos t^2,\;t^4\bigr)$$

Paso 3: producto punto e integral

$$W = \int_0^1\!\bigl(3t^2\sin t^3 - 2t\cos t^2 + t^4\bigr)\,dt$$ $$= \Bigl[-\cos t^3\Bigr]_0^1 - \Bigl[\sin t^2\Bigr]_0^1 + \Bigl[\tfrac{t^5}{5}\Bigr]_0^1$$ $$= (1-\cos 1) - \sin 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5} - \cos 1 - \sin 1$$

Vectorial 3 — Independencia del camino y campo conservativo

Calcular $\displaystyle\int_{C_1}\vec{F}\,d\vec{r}$ y $\displaystyle\int_{C_2}\vec{F}\,d\vec{r}$ con $\vec{F}=(x^2+y^2,\,2xy)$, donde $C_1: y=x^3$ y $C_2: y=x$, ambas de $A=(0,0)$ a $B=(1,1)$.

Sobre $C_1: y=x^3$

$$\vec{r}(t)=(t,\,t^3),\quad\vec{r}\,'(t)=(1,\,3t^2),\quad t\in[0,1]$$ $$\int_{C_1}=\int_0^1(t^2+t^6,\,2t^4)\cdot(1,\,3t^2)\,dt=\int_0^1(t^2+7t^6)\,dt=\frac{1}{3}+\frac{7}{7}=\frac{4}{3}$$

Sobre $C_2: y=x$

$$\vec{r}(t)=(t,\,t),\quad\vec{r}\,'(t)=(1,\,1),\quad t\in[0,1]$$ $$\int_{C_2}=\int_0^1(2t^2,\,2t^2)\cdot(1,\,1)\,dt=\int_0^1 4t^2\,dt=\frac{4}{3}$$

¿Por qué dan igual?

Verificamos conservatividad: $M=x^2+y^2$, $N=2xy$.

$$M_y = 2y \qquad N_x = 2y \qquad \Rightarrow M_y = N_x$$

✅ Conclusión Como $\vec{F}$ es conservativo en todo $\mathbb{R}^2$, la integral es independiente del camino: cualquier curva suave de $A$ a $B$ da el mismo resultado $\frac{4}{3}$.

Vectorial 4 — Teorema fundamental de integrales de línea

Calcular $\displaystyle\int_C \vec{F}_1\,d\vec{r}$ con $\vec{F}_1=(y,x)$ a lo largo de cualquier curva suave de $(0,0)$ a $(3,8)$.

Paso 1: verificar conservatividad

$$M=y,\quad N=x \qquad M_y=1=N_x \quad\checkmark$$

Paso 2: hallar la función potencial

$$f_x = y \;\Rightarrow\; f = xy + g(y) \qquad f_y = x + g'(y) = x \;\Rightarrow\; g'(y)=0$$ $$\therefore\; f(x,y) = xy + C$$

Paso 3: aplicar el Teorema Fundamental

$$\int_C \vec{F}_1\,d\vec{r} = f(3,8)-f(0,0) = 3\cdot 8 - 0 = \boxed{24}$$

💡 Ventaja No fue necesario parametrizar la curva. El Teorema Fundamental convierte la integral en una simple evaluación de $f$ en los extremos — sin importar qué camino conecta $(0,0)$ con $(3,8)$.

✨ Gema aclara

Invertir el sentido de la curva cambia el signo en la integral vectorial: $\int_{-C}\vec{F}\,d\vec{r} = -\int_C \vec{F}\,d\vec{r}$. Pero en la integral escalar el resultado no cambia. ¡Ojo que mucha gente los confunde!

Sección 03-C ✏️ Ejemplos — Teorema de Green

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Green 1 — Integral sobre un cuadrado

Calcular $\displaystyle\oint_C y^2\,dx + x\,dy$ donde $C$ es el borde del cuadrado con vértices $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,2)$, $(0,2)$ recorrido en sentido antihorario.

Aplicar Green directamente

Identificamos $M = y^2$, $N = x$. Calculamos:

$$N_x - M_y = 1 - 2y$$

La región $D$ es el cuadrado $[0,2]\times[0,2]$:

$$\iint_D (1-2y)\,dA = \int_0^2\!\int_0^2 (1-2y)\,dy\,dx = \int_0^2\Bigl[y-y^2\Bigr]_0^2 dx = \int_0^2(-2)\,dx = \boxed{-4}$$

💡 Comparar con el cálculo directo Calcular por definición requeriría integrar sobre los 4 lados del cuadrado por separado. Green lo reduce a una sola integral doble.

Green 2 — Aplicación directa cuando $N_x - M_y$ es constante

Sea $C$ una curva suave a trozos, cerrada, recorrida en sentido antihorario, frontera de una región simplemente conexa de área $5$. Calcular: $\displaystyle\oint_C (y+\sin x)\,dx + (4x+e^y)\,dy$.

Identificar $N_x - M_y$

$$M = y+\sin x,\quad N = 4x+e^y$$ $$N_x - M_y = 4 - 1 = 3$$

Aplicar Green

$$\oint_C \vec{F}\,d\vec{r} = \iint_D 3\,dA = 3\cdot\text{Área}(D) = 3\times 5 = \boxed{15}$$

💡 Truco potente Cuando $N_x - M_y$ es una constante $k$, la integral de línea es simplemente $k\cdot\text{Área}(D)$. ¡No hace falta saber cómo es la curva, solo su área encerrada!

Green 3 — Área de una región por integración de línea (cicloide)

Usando Green, calcular el área encerrada por el eje $x$ y el arco de la cicloide: $\displaystyle x = \theta - \sin\theta,\quad y = 1-\cos\theta,\quad \theta\in[0,2\pi]$.

Fórmula del área via Green

$$A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$$

Diferenciales del arco de cicloide

$$dx = (1-\cos\theta)\,d\theta \qquad dy = \sin\theta\,d\theta$$

Integral sobre el arco $(C_1)$ y sobre el eje $x$ $(C_2)$

Sobre $C_2$ (eje $x$ de $2\pi$ a $0$): $y=0$, por lo que $x\,dy - y\,dx = 0$. Toda la contribución proviene del arco:

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\!\bigl[(\theta-\sin\theta)\sin\theta - (1-\cos\theta)^2\bigr]\,d\theta$$ $$= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\!\bigl[\theta\sin\theta - \sin^2\theta - 1 + 2\cos\theta - \cos^2\theta\bigr]\,d\theta = 3\pi$$

✅ Resultado El área encerrada por un arco de cicloide es $A = 3\pi$. Este es un resultado clásico que se obtiene de forma muy elegante con la fórmula de área de Green.

💡 Elvira dice

Cuando $N_x - M_y$ es constante, la integral de línea es esa constante por el área encerrada. ¡Ni necesitás saber la forma exacta de la curva! Solo el área.

Sección 03-D ✏️ Ejemplos — Extensión de Green a regiones no simplemente conexas

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¿Cuándo se usa la extensión? Cuando la región $D$ tiene "agujeros" (no es simplemente conexa), o cuando el campo tiene singularidades dentro de la región encerrada por $C$. En ese caso, se rodea cada singularidad con una curva auxiliar pequeña y se aplica Green a la región anular resultante.

Extensión 1 — Integral sobre una corona circular

Calcular $\displaystyle\oint_C y^2\,dx + 3xy\,dy$ donde $C = C_1 \cup C_2$ es el borde de la región $R$ comprendida entre $x^2+y^2=1$ (curva interior) y $x^2+y^2=4$ (curva exterior).

Verificar hipótesis de Green

$M=y^2$, $N=3xy$. Calculamos $N_x - M_y = 3y - 2y = y$. Las funciones son $C^1$ en $\mathbb{R}^2$.

La orientación correcta: $C_1$ (exterior, $r=2$) en sentido antihorario; $C_2$ (interior, $r=1$) en sentido horario (la región queda siempre a la izquierda).

Integral doble en coordenadas polares

$$\iint_R y\,dA = \int_0^{2\pi}\!\int_1^2 (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\cdot\int_1^2 r^2\,dr = 0$$

Porque $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0$.

$$\oint_C y^2\,dx + 3xy\,dy = \boxed{0}$$

Extensión 2 — Campo con singularidad en el origen

Sea $P = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$, $Q = \dfrac{x}{x^2+y^2}$. Calcular:

(a) $\oint_C P\,dx+Q\,dy$ donde $C$ es la circunferencia de radio $a$ centrada en el origen, antihoraria.
(b) El mismo campo sobre una curva cerrada que no encierra el origen.

Análisis del campo

Calculamos las derivadas parciales en $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$:

$$P_y = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} = Q_x \quad \text{en todo punto salvo el origen}$$

El campo cumple $P_y = Q_x$ fuera del origen, pero no en el origen (donde no está definido).

(a) Curva que encierra el origen — NO se puede aplicar Green directamente

Parametrizamos $C: \vec{r}(t) = (a\cos t, a\sin t)$, $t\in[0,2\pi]$:

$$\vec{F}(\vec{r}(t)) = \left(-\frac{\sin t}{a},\;\frac{\cos t}{a}\right),\qquad \vec{r}\,'(t)=(-a\sin t,\,a\cos t)$$

$$\oint_C = \int_0^{2\pi}\left(\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{1}\right)dt = \int_0^{2\pi}1\,dt = \boxed{2\pi}$$

⚠️ Atención Si aplicáramos Green naïvamente, obtendríamos $\iint_D(Q_x - P_y)\,dA = 0$, lo cual es incorrecto. Green requiere que $M,N$ sean $C^1$ en toda la región $D$, incluyendo el interior. El origen rompe esa condición.

(b) Curva cerrada que NO encierra el origen

Si la región encerrada por $C$ no contiene al $(0,0)$, el campo es $C^1$ en toda esa región. Se puede aplicar Green:

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA = \iint_D 0\,dA = \boxed{0}$$

Estrategia de la extensión — región anular

Para una curva exterior $C_1$ que encierra al origen, se introduce una circunferencia pequeña $C_\varepsilon$ de radio $\varepsilon$ alrededor del origen. La región $D_\varepsilon$ entre $C_1$ y $C_\varepsilon$ no contiene la singularidad:

$$\oint_{C_1} - \oint_{C_\varepsilon} = \iint_{D_\varepsilon}(Q_x-P_y)\,dA = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \oint_{C_1} = \oint_{C_\varepsilon} = 2\pi$$

✅ Conclusión general Para este campo, la integral de línea sobre cualquier curva cerrada simple antihoraria que encierre al origen vale siempre $2\pi$, independientemente de la forma de la curva. Si no encierra el origen, vale $0$.

✨ Gema aclara

La estrategia de la extensión es siempre la misma: rodear la singularidad con una curva pequeña $C_\varepsilon$, armar una región anular sin singularidades, aplicar Green ahí y despejar la integral que querés.

Sección 04 Errores típicos

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❌ Error 1 — Confundir integral escalar con vectorial

En la integral escalar se multiplica por $\|\vec{r}\,'(t)\|$ (módulo). En la vectorial se hace producto punto con $\vec{r}\,'(t)$. Son fórmulas distintas.

❌ Error 2 — Olvidar el Jacobiano al invertir el sentido

Para la integral vectorial: invertir el sentido cambia el signo, $\int_{-C}\vec{F}\,d\vec{r} = -\int_C \vec{F}\,d\vec{r}$. Para la integral escalar el resultado no cambia. Confundirlos es el error más frecuente.

❌ Error 3 — Aplicar Green sin verificar las hipótesis

El Teorema de Green requiere: (a) curva cerrada recorrida en sentido antihorario, (b) región simplemente conexa, (c) $M$ y $N$ de clase $C^1$ en la región. Si la región contiene puntos de discontinuidad (ej. el origen para campos del tipo $1/r^2$) hay que usar la extensión a regiones no simplemente conexas.

❌ Error 4 — Creer que $M_y = N_x$ garantiza conservatividad en todo el plano

La condición $M_y = N_x$ es suficiente solo en un disco abierto (región simplemente conexa). El campo $\vec{F} = \left(-\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}\right)$ cumple $M_y = N_x$ en $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ pero no es conservativo en regiones que encierran el origen, ya que $\oint_C \vec{F}\,d\vec{r} = 2\pi \neq 0$.

❌ Error 5 — Errores al calcular $\|\vec{r}\,'(t)\|$

No sumar los cuadrados de las componentes de $\vec{r}(t)$ sino los de $\vec{r}\,'(t)$. Recordar que si $\vec{r}(t) = (t, t^2, t)$ entonces $\vec{r}\,'(t) = (1, 2t, 1)$ y el módulo es $\sqrt{1+4t^2+1}$, no $\sqrt{t^2+t^4+t^2}$.

💡 Elvira dice

El error más frecuente de todos: calcular $\|\vec{r}(t)\|$ en vez de $\|\vec{r}\,'(t)\|$. Siempre derivás primero, después calculás el módulo. No al revés.

Sección 05 💡 Tips y estrategias

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💡 ¿Cuándo usar el Teorema Fundamental en vez de parametrizar?

Si el campo es conservativo y la curva va de $A$ a $B$, usá directamente $\int_C \vec{F}\,d\vec{r} = f(B) - f(A)$. Ahorrás todo el trabajo de parametrizar — especialmente útil cuando la curva es difícil de describir.

💡 ¿Cuándo usar Green en vez de calcular por definición?

Si la curva es el borde de una región con geometría conocida (círculo, rectángulo, región entre dos curvas) y el integrando $N_x - M_y$ resulta simple, Green es mucho más eficiente. También sirve para calcular áreas: $A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$.

💡 Estrategia para campos en $\mathbb{R}^3$: chequeá el rot primero

Antes de intentar hallar la función potencial, verificá que $\mathrm{rot}\,\vec{F} = \vec{0}$. Si no es cero, el campo no es conservativo y no existe función potencial — nada que buscar.

💡 Curvas a trozos: dividir y conquistar

Si $C = C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_n$, la integral se suma: $\int_C f\,ds = \sum_k \int_{C_k} f\,ds$. Parametrizá cada tramo por separado con su propio rango de $t$.

💡 Coordenadas polares en Green

Si la región $D$ es un disco o una corona circular, usá coordenadas polares $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ para la integral doble. El jacobiano es $r$, así que $dA = r\,dr\,d\theta$.

✨ Gema aclara

Resumen de estrategia: (1) ¿Campo conservativo? → Teorema Fundamental. (2) ¿Curva cerrada, región simple? → Green. (3) ¿Nada de lo anterior? → Parametrizás y calculás por definición. Seguí ese orden y ahorrás tiempo.

Sección 06 ✅ Checklist de verificación

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¿Identifiqué qué tipo de integral tengo? Escalar $\int_C f\,ds$ (con $\|\vec{r}\,'\|$) vs. vectorial $\int_C \vec{F}\,d\vec{r}$ (con producto punto).

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¿La parametrización recorre la curva una sola vez? Verificar que los extremos del intervalo $[a,b]$ correspondan exactamente a los puntos inicial y final de $C$.

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¿Calculé $\vec{r}\,'(t)$ y no $\vec{r}(t)$? El módulo que aparece en la integral escalar es el de la derivada.

✦

Si el campo es conservativo, ¿usé el Teorema Fundamental? Verificar la potencial y evaluar en los extremos en vez de parametrizar.

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Si la curva es cerrada y la región es simple, ¿apliqué Green? Verificar sentido antihorario y que $M,N \in C^1$ en $D$.

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¿Verifiqué el dominio del campo? Si hay puntos de discontinuidad dentro de la región, Green no se aplica directamente — usar la extensión a regiones no simplemente conexas.

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¿Comprobé el signo al invertir la orientación? Integral vectorial: cambia de signo. Integral escalar: no cambia.

💡 Elvira dice

¡Listo! Si chequeaste todo eso antes de entregar, las chances de error son mínimas. La parametrización correcta y verificar el tipo de integral son los dos puntos donde más se equivoca la gente. 🐾

Integral de línea de un campo escalar

Integral de línea de un campo vectorial

Campo conservativo y función potencial

Rotacional y Divergencia

Teorema de Green

A. Calcular una integral de línea escalar \(\int_C f\,ds\)

B. Calcular una integral de línea vectorial \(\int_C \vec{F}\,d\vec{r}\)

C. Verificar si un campo es conservativo y hallar la función potencial

D. Aplicar el Teorema de Green

Escalar 1 — Curva en \(\mathbb{R}^3\), orientación directa e inversa

Sentido directo: de \((0,0,0)\) a \((1,1,1)\)

Sentido inverso: de \((1,1,1)\) a \((0,0,0)\)

Escalar 2 — Curva a trozos en \(\mathbb{R}^2\)

Tramo \(C_1\): \(y = x+3\), \(x\in[-3,0]\)

Tramo \(C_2\): \(y = -x+3\), \(x\in[0,3]\)

Resultado total

Escalar 3 — Verificar que \(\int_C \cos z\,ds = 0\)

Vectorial 1 — Integral sobre arco de circunferencia

Paso 1: parametrización

Paso 2: evaluar el campo en la curva

Paso 3: producto punto y cálculo

Vectorial 2 — Trabajo de una fuerza sobre una trayectoria

Paso 1: derivada de la curva

Paso 2: evaluar el campo

Paso 3: producto punto e integral

Vectorial 3 — Independencia del camino y campo conservativo

Sobre \(C_1: y=x^3\)

Sobre \(C_2: y=x\)

¿Por qué dan igual?

Vectorial 4 — Teorema fundamental de integrales de línea

Paso 1: verificar conservatividad

Paso 2: hallar la función potencial

Paso 3: aplicar el Teorema Fundamental

Green 1 — Integral sobre un cuadrado

Aplicar Green directamente

Green 2 — Aplicación directa cuando \(N_x - M_y\) es constante

Identificar \(N_x - M_y\)

Aplicar Green

Green 3 — Área de una región por integración de línea (cicloide)

Fórmula del área via Green

Diferenciales del arco de cicloide

Integral sobre el arco \((C_1)\) y sobre el eje \(x\) \((C_2)\)

Extensión 1 — Integral sobre una corona circular

Verificar hipótesis de Green

Integral doble en coordenadas polares

Extensión 2 — Campo con singularidad en el origen

Análisis del campo

(a) Curva que encierra el origen — NO se puede aplicar Green directamente

(b) Curva cerrada que NO encierra el origen

Estrategia de la extensión — región anular