Integrales de Superficie

Sección 01 Superficies paramétricas y plano tangente

▼

Definición. Una superficie paramétrica es una función $\vec{r}: D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ dada por $$\vec{r}(u,v) = \bigl(x(u,v),\, y(u,v),\, z(u,v)\bigr)$$ donde $u$ y $v$ son los parámetros. Es suave si $\vec{r}_u \times \vec{r}_v \neq \vec{0}$ en todo punto interior de $D$.

Vector normal y plano tangente

Los vectores tangentes a la superficie en el punto $\vec{r}(u_0,v_0)$ son:

$$\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}, \qquad \vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$$

El vector normal a la superficie es:

$$\vec{N}(u,v) = \vec{r}_u(u,v) \times \vec{r}_v(u,v)$$

Y el plano tangente en el punto $(x_0,y_0,z_0) = \vec{r}(u_0,v_0)$ es:

$$\pi_{tg}:\; (x - x_0,\, y - y_0,\, z - z_0) \cdot \vec{N}(u_0,v_0) = 0$$

Procedimiento

Calcular $\vec{r}_u$ y $\vec{r}_v$ derivando componente a componente.
Calcular $\vec{N} = \vec{r}_u \times \vec{r}_v$ mediante el determinante simbólico con $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$.
Verificar que $\vec{N} \neq \vec{0}$ en el punto (parametrización suave).
Encontrar $(u_0, v_0)$ tal que $\vec{r}(u_0,v_0) = (x_0, y_0, z_0)$.
Evaluar $\vec{N}(u_0, v_0)$ y escribir la ecuación del plano.

✏️ Ejemplo resuelto

Superficie: $\vec{r}(u,v) = (u^2,\, v^2,\, u+2v)$, hallar el plano tangente en $(1,1,3)$.

Paso 1 — Derivadas parciales:

$$\vec{r}_u = (2u,\, 0,\, 1), \qquad \vec{r}_v = (0,\, 2v,\, 2)$$

Paso 2 — Vector normal:

$$\vec{N}(u,v) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2u & 0 & 1 \\ 0 & 2v & 2 \end{vmatrix} = (-2v,\,-4u,\,4uv)$$

Paso 3 — Encontrar $(u_0,v_0)$: De $\vec{r}(u,v) = (1,1,3)$ → $u^2=1,\; v^2=1$ → $(u_0,v_0)=(1,1)$.

Paso 4 — Evaluar: $\vec{N}(1,1) = (-2,-4,4)$.

Paso 5 — Plano tangente:

$$\pi_{tg}: -2(x-1) - 4(y-1) + 4(z-3) = 0$$

💡 Caso especial — superficie explícita $z = f(x,y)$:
Si parametrizamos con $\vec{r}(x,y) = (x,y,f(x,y))$, entonces directamente: $\vec{N} = (-f_x,\,-f_y,\,1)$, sin necesidad de hacer el producto vectorial a mano.

💡 Elvira dice

El producto vectorial $\vec{r}_u \times \vec{r}_v$ te da simultáneamente dos cosas: la dirección del normal a la superficie y el factor de área $\|\vec{N}\|$. Es la pieza clave de todo lo que sigue.

Sección 02 Área de una superficie paramétrica

▼

Definición. El área de una superficie paramétrica $\vec{r}: D \to \mathbb{R}^3$ se calcula como: $$A(S) = \iint_D \|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\|\, dA$$

Para superficies de la forma $z = f(x,y)$:

$$A(S) = \iint_{R_{xy}} \sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2}\, dA$$

✏️ Ejemplo 1 — Plano en el primer octante

Hallar el área de $3x + 2y + z = 6$ en el primer octante.

Despejamos: $z = 6 - 3x - 2y$, con $f_x = -3$ y $f_y = -2$.

La región en $xy$: triángulo con vértices $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,3)$, es decir $0 \le x \le 2$, $0 \le y \le -\tfrac{3}{2}x + 3$.

$$A(S) = \int_0^2 \int_0^{-\frac{3}{2}x+3} \sqrt{1+9+4}\, dy\, dx = \sqrt{14}\int_0^2 \left(-\tfrac{3}{2}x+3\right)dx$$ $$= \sqrt{14} \cdot \left[-\tfrac{3}{4}x^2 + 3x\right]_0^2 = \sqrt{14} \cdot 3 = \boxed{3\sqrt{14}}$$

✏️ Ejemplo 2 — Paraboloide

Área de $z = x^2 + y^2$ por debajo del plano $z = 9$.

Con $\vec{r}(u,v) = (u,v,u^2+v^2)$ → $\vec{N} = (-2u,-2v,1)$ → $\|\vec{N}\| = \sqrt{4u^2+4v^2+1}$.

La proyección es el disco $x^2+y^2 \le 9$. Pasando a polares $r \in [0,3]$, $\theta \in [0,2\pi]$:

$$A(S) = \int_0^{2\pi}\int_0^3 r\sqrt{4r^2+1}\, dr\, d\theta = \frac{\pi}{6}\left(37\sqrt{37}-1\right)$$

✨ Gema aclara

Acordate: $A(S) = \iint_D \|\vec{N}\|\,dA$ es exactamente la integral escalar con $f=1$. El área es siempre positiva porque usás el módulo. Las coordenadas polares salvan la vida cuando la región proyectada es un disco.

Sección 03 Integral de superficie de función escalar

▼

Definición. Dada $f: S \to \mathbb{R}$ y una superficie parametrizada por $\vec{r}(u,v)$: $$\iint_S f\, dS = \iint_D f\!\left(\vec{r}(u,v)\right) \cdot \|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\|\, dA$$ Si $f \equiv 1$, la integral es el área de la superficie.

Para $z = g(x,y)$ la fórmula se simplifica:

$$\iint_S f\, dS = \iint_{R_{xy}} f(x,y,g(x,y))\,\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\, dA$$

✏️ Ejemplo — Integral escalar sobre paraboloide

$f(x,y,z) = y$, $S: z = x + y^2$, con $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 2$.

$g_x = 1$, $g_y = 2y$ → $\|\vec{N}\| = \sqrt{1 + 1 + 4y^2} = \sqrt{2+4y^2}$.

$$\iint_S f\, dS = \int_0^1 \int_0^2 y\sqrt{2+4y^2}\, dy\, dx$$

La integral en $x$ da factor 1. Sustitución $w = 2+4y^2$, $dw = 8y\,dy$:

$$= \int_0^2 y\sqrt{2+4y^2}\, dy = \frac{1}{8}\int_2^{18} \sqrt{w}\, dw = \frac{1}{12}\left[w^{3/2}\right]_2^{18} = \frac{1}{12}\left(18\sqrt{18} - 2\sqrt{2}\right) = \boxed{\frac{13\sqrt{2}}{3}}$$

✏️ Ejemplo — Integral sobre esfera unitaria

$f(x,y,z) = x^2$, $S: x^2+y^2+z^2=1$.

Parametrizamos con ángulos esféricos $(\phi,\theta)$, con $\|\vec{N}\| = \sin\phi$:

$$\iint_S x^2\, dS = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} (\sin\phi\cos\theta)^2 \cdot \sin\phi\, d\phi\, d\theta = \boxed{\dfrac{4\pi}{3}}$$

(Por simetría, $\iint_S x^2\,dS = \iint_S y^2\,dS = \iint_S z^2\,dS$ y su suma es el área $= 4\pi$.)

💡 Elvira dice

La clave de la integral escalar es $dS = \|\vec{N}\|\,dA$: el elemento de área "estirado" según la inclinación de la superficie. Si $f \equiv 1$, recuperás el área. El resultado siempre es un número positivo si $f > 0$ — no depende de la orientación.

Sección 04 Integral de flujo (integral de superficie vectorial)

▼

Definición. Dado un campo vectorial $\vec{F}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ y una superficie orientada $S$ con normal $\vec{N}$: $$\iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} = \iint_D \vec{F}(\vec{r}(u,v)) \cdot \vec{N}(u,v)\, dA$$ donde $\vec{N} = \vec{r}_u \times \vec{r}_v$ (sin normalizar). El resultado mide el flujo neto del campo a través de la superficie.

Orientación

La dirección de $\vec{N}$ determina el signo del flujo:

Normal exterior (saliente)

Para superficies cerradas: apunta hacia afuera del volumen encerrado.

Normal interior (entrante)

Apunta hacia adentro. El flujo cambia de signo respecto al entrante.

✏️ Ejemplo 1 — Flujo sobre un plano

$\vec{F}(x,y,z) = (x,-z,y)$, $S: x+y+z=1$ en el primer octante, orientación hacia el origen.

$\vec{r}(x,y) = (x,y,1-x-y)$, con $\vec{N}_{saliente} = (1,1,1)$ y $\vec{N}_{entrante} = (-1,-1,-1)$.

Usamos $\vec{N}_{entrante}$ (hacia el origen). Reemplazamos $z = 1-x-y$ en $\vec{F}$:

$$\iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} = \int_0^1\int_0^{1-x} (x,\;-(1-x-y),\;y)\cdot(-1,-1,-1)\, dy\, dx = -\frac{1}{6}$$

✏️ Ejemplo 2 — Cubo

$\vec{F}(x,y,z) = (x,2y,3z)$, $S$ es el cubo con vértices en $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$, normal exterior.

Calculamos el flujo en las 6 caras. Para cada cara, el normal saliente es $\pm\hat{e}_k$:

$x=1$: $\vec{N}=(1,0,0)$ → $\iint (1,2y,3z)\cdot(1,0,0)\,dA = \int_{-1}^1\int_{-1}^1 1\,dy\,dz = 4$
$x=-1$: $\vec{N}=(-1,0,0)$ → $\iint (-1,2y,3z)\cdot(-1,0,0)\,dA = 4$
Analogamente: $y=1$: $8$, $y=-1$: $8$, $z=1$: $12$, $z=-1$: $12$

$$\text{Flujo total} = 4+4+8+8+12+12 = \boxed{48}$$

✨ Gema aclara

Diferencia fundamental: la integral escalar usa $\|\vec{N}\|$ (módulo → siempre positivo), la integral de flujo usa $\vec{N}$ (vector → puede ser negativo). El flujo mide cuánto "atraviesa" el campo la superficie en la dirección del normal elegido.

Sección 05 Teorema de Stokes

▼

Teorema de Stokes

Sea $S$ una superficie orientada de clase $C^1$, con curva borde $C$ orientada de manera compatible con $S$, y $\vec{F} \in C^1$. Entonces: $$\iint_S \operatorname{rot}(\vec{F})\cdot d\vec{S} = \oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$$

El rotacional

Si $\vec{F} = (M, N, P)$:

$$\operatorname{rot}(\vec{F}) = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ M & N & P\end{vmatrix} = (P_y - N_z,\; M_z - P_x,\; N_x - M_y)$$

Orientación compatible

Regla de la mano derecha: si el pulgar apunta en dirección del normal $\vec{N}$, los dedos indican el sentido de recorrido de $C$.

✏️ Ejemplo — Verificación sobre elipsoide

$\vec{F} = (y,-x,z^2)$, $S: x^2+y^2+3z^2=1$ con $z \le 0$.

Rotacional: $\operatorname{rot}\vec{F} = (0-0,\;0-0,\;-1-1) = (0,0,-2)$.

Integral de flujo del rotor: Parametrizamos $S$ en polares. Con $\vec{N}$ hacia afuera (abajo):

$$\iint_S \operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^1 (0,0,-2)\cdot\vec{N}(u,v)\, du\, dv = -2\pi$$

Integral de línea: La curva borde es $C: x^2+y^2=1$ con $z=0$. Parametrizamos $\vec{r}(t)=(\cos t,\sin t,0)$:

$$\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_0^{2\pi}(\sin t,-\cos t,0)\cdot(-\sin t,\cos t,0)\,dt = \int_0^{2\pi}(-1)\,dt = -2\pi \;\checkmark$$

✏️ Ejemplo — Aplicación directa (Stokes para simplificar)

Calcular $\oint_C y^2\,dx + x\,dy + 2z\,dz$, donde $C: x=2\cos t,\; y=2\sin t,\; z=-1$, sentido antihorario.

Rotacional: $\operatorname{rot}\vec{F} = (0,0,1-2y)$.

Elegimos como superficie el disco $S: z=-1$, $x^2+y^2 \le 4$. Con $\vec{N}=(0,0,1)$:

$$\iint_S (0,0,1-2y)\cdot(0,0,1)\,dA = \iint_{x^2+y^2\le4}(1-2y)\,dA = \pi\cdot 4 - 0 = 4\pi$$

(el término $\iint 2y\,dA = 0$ por simetría impar). Resultado: $\boxed{4\pi}$.

💡 Truco clave de Stokes: Si el rotacional es constante o simple, conviene convertir la integral de superficie en integral de línea (o viceversa). Elegir la curva borde o la superficie que sea más fácil de parametrizar.

💡 Independencia de la superficie: Por Stokes, todas las superficies que comparten la misma curva borde (con la misma orientación) dan el mismo valor de $\iint_S \operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}$. ¡Esto permite elegir la superficie más conveniente!

💡 Elvira dice

¡Truco de Stokes! Si te piden $\oint_C \vec{F}\,d\vec{r}$ sobre una curva complicada, buscá una superficie fácil (un plano, un disco) que tenga esa curva como borde. Calculás la integral de flujo del rotacional sobre esa superficie — mucho más simple.

Sección 06 Teorema de la Divergencia

▼

Teorema de Gauss–Divergencia

Sea $\Omega$ una región sólida acotada con borde $S = \partial\Omega$ orientado con normal exterior, y $\vec{F} \in C^1(\Omega)$. Entonces: $$\unicode{x222F}_S \vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega \operatorname{div}(\vec{F})\, dV$$

La divergencia

Si $\vec{F} = (M,N,P)$:

$$\operatorname{div}(\vec{F}) = \nabla\cdot\vec{F} = M_x + N_y + P_z$$

Interpretación: mide cuánto "fluye hacia afuera" el campo por unidad de volumen en cada punto. Si $\operatorname{div}\vec{F} = 0$, el campo es solenidal.

Estrategia general

Calcular $\operatorname{div}\vec{F} = M_x + N_y + P_z$.
Identificar la región $\Omega$ encerrada por $S$ (usar simetría para elegir coordenadas).
Calcular la integral triple $\iiint_\Omega \operatorname{div}\vec{F}\, dV$.
Si sólo interesa el flujo por parte de la superficie, restar el flujo de las partes complementarias.

✏️ Ejemplo 1 — Cubo verificado

$\vec{F} = (x,2y,3z)$, $S$ es la superficie cerrada del cubo $[-1,1]^3$.

$\operatorname{div}\vec{F} = 1+2+3 = 6$. Volumen del cubo: $V = 2^3 = 8$.

$$\iiint_\Omega 6\,dV = 6 \cdot 8 = 48$$

Coincide con el resultado del Ejemplo 2 de flujo de la sección anterior. ✓

✏️ Ejemplo 2 — Flujo sobre porción esférica

$\vec{F} = (x+ye^z,\, Q(x,z),\, 5z)$, $S$: esfera $x^2+y^2+z^2=25$ entre $z=3$ y $z=4$ (con las dos tapas circulares).

$\operatorname{div}\vec{F} = 1+0+5 = 6$.

El volumen $\Omega$ es la región entre los planos y la esfera:

$$V = \int_0^{2\pi}\int_0^3\int_3^4 r\,dz\,dr\,d\theta + \int_0^{2\pi}\int_0^3\int_3^{\sqrt{25-r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta = 9\pi + \frac{11}{3}\pi = \frac{38}{3}\pi$$ $$\text{Flujo total} = 6 \cdot \frac{38}{3}\pi = 76\pi$$

Flujo sólo por la porción esférica: restamos el flujo de los dos discos:

Disco $z=3$ ($x^2+y^2 \le 16$): $\vec{N} = (0,0,-u)$ → flujo $= -240\pi$
Disco $z=4$ ($x^2+y^2 \le 9$): $\vec{N} = (0,0,u)$ → flujo $= 180\pi$

$$\text{Flujo esférico} = 76\pi - (-240\pi) - 180\pi = \boxed{136\pi}$$

✏️ Ejemplo 3 — Divergencia nula

$\vec{F} = (x,-2y,z+3)$, $S$ es un sólido tipo cubo con superficie desconocida como tapa superior.

$\operatorname{div}\vec{F} = 1 - 2 + 1 = 0$ → el flujo total por toda la superficie cerrada es $\boxed{0}$.

Esto permite encontrar el flujo por la tapa desconocida sumando los flujos conocidos de las otras caras y usando que la suma total es cero.

💡 Divergencia nula: Si $\operatorname{div}\vec{F} = 0$, el flujo neto por cualquier superficie cerrada es 0. Esto es la clave para encontrar flujos parciales por diferencia.

✨ Gema aclara

Resumen de los dos grandes teoremas: Stokes convierte una integral de línea en integral de superficie (o viceversa). Divergencia convierte una integral de superficie en integral de volumen. Ambos son formas de "bajar una dimensión" cuando la alternativa directa es más difícil.

Sección 07 Errores típicos y checklist

▼

Errores comunes

❌ Olvidar verificar que la parametrización es suave.
Si $\vec{N}(u_0,v_0) = \vec{0}$, el plano tangente no existe en ese punto. Hay que analizar si el punto pertenece siquiera a la superficie.

❌ Confundir integral escalar con integral de flujo.
$\iint_S f\,dS$ usa $\|\vec{N}\|$ (módulo), mientras que $\iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S}$ usa $\vec{N}$ (vector). El resultado de la escalar es siempre positivo si $f > 0$; el del flujo puede ser negativo.

❌ Error de orientación en Stokes.
La curva borde debe tener orientación compatible con el normal de la superficie. Usá la regla de la mano derecha. Si invertís la orientación, el resultado cambia de signo.

❌ Aplicar Divergencia sin superficie cerrada.
El Teorema de la Divergencia requiere que $S$ sea la frontera completa y cerrada de un sólido $\Omega$. Si la superficie no es cerrada, hay que "cerrarla" con tapas adicionales y restar sus flujos.

❌ Equivocarse al elegir el normal en caras del cubo.
Para la cara $x = a$, el normal saliente es $\pm\hat{i}$ (signo según si $a$ es el lado derecho o izquierdo del volumen). Verificá siempre que el normal apunte hacia afuera del sólido.

Checklist rápido

✅ ¿La parametrización es suave? ($\vec{r}_u \times \vec{r}_v \neq \vec{0}$)
✅ ¿Identificaste correctamente la región de integración?
✅ ¿El normal tiene la orientación pedida?
✅ Para Stokes: ¿la curva borde y la superficie tienen orientaciones compatibles?
✅ Para Divergencia: ¿la superficie es cerrada o necesitás agregar tapas?
✅ Si la divergencia es constante: $\iiint_\Omega k\,dV = k \cdot V$.
✅ ¿Conviene usar coordenadas cilíndricas o esféricas para simplificar la integral triple?

💡 Verificación rápida por Divergencia: Si calculaste el flujo cara a cara, verificá con el Teorema de Divergencia: debería dar lo mismo. Si no coincide, buscá el error de signo en una cara.

💡 Elvira dice

¡Y listo! Las dos preguntas clave antes de cualquier ejercicio: (1) ¿Escalar o vectorial? (2) ¿Conviene aplicar Stokes o Divergencia? Si respondés esas dos primero, el resto es mecánica. El normal bien orientado es lo que más errores genera — verificalo siempre. 🐾

Integrales deSuperficie

Vector normal y plano tangente

Procedimiento

Orientación

Normal exterior (saliente)

Normal interior (entrante)

El rotacional

Orientación compatible

La divergencia

Estrategia general

Errores comunes

Checklist rápido

Integrales de
Superficie