Sección 01
¿Qué es una inecuación?
Definición: Una inecuación es una expresión matemática que establece una relación de desigualdad entre dos expresiones. A diferencia de una ecuación, acá buscamos los valores de \(x\) para los cuales la desigualdad se cumple.
\(x > a\) \(x < a\) \(x \geq a\) \(x \leq a\)
Cómo leer el conjunto solución
Corchetes vs paréntesis:
\([\) o \(]\) → el extremo está incluido (\(\leq\) o \(\geq\))
\((\) o \()\) → el extremo no está incluido (\(<\) o \(>\))
El \(\infty\) siempre lleva paréntesis.
\([\) o \(]\) → el extremo está incluido (\(\leq\) o \(\geq\))
\((\) o \()\) → el extremo no está incluido (\(<\) o \(>\))
El \(\infty\) siempre lleva paréntesis.
Ejemplo 1
\(x > 2\) → mayor estricto
\(S = (2,\; +\infty)\)
Ejemplo 2
\(x \leq 4\) → menor o igual
\(S = (-\infty,\; 4]\)
Ejemplo 3
\(-2 \leq x < 8\) → intervalo acotado
\(S = [-2,\; 8)\)
Despeje básico
Ejemplo 4
$$2x + 4 < x - 5$$
$$2x - x < -5 - 4$$
$$x < -9$$
\(S = (-\infty,\; -9)\)
Elvira dice:
Los pasos son los mismos que en una ecuación: agrupá los \(x\) de un lado y los números del otro. Solo hay que tener cuidado cuando aparece un número negativo multiplicando o dividiendo 🐾
Sección 02
El cambio de desigualdad al multiplicar o dividir por negativo
Regla fundamental: Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un número negativo, el símbolo de desigualdad se invierte.
Si \(a < b\) y \(k < 0\), entonces \(\;a \cdot k > b \cdot k\)
Intuición: si \(3 < 5\) y multiplico por \(-1\), obtengo \(-3 > -5\). ✓
Ejemplo 1 — dividir por positivo (signo no cambia)
$$3x > 12$$
$$x > \frac{12}{3}$$
\(S = (4,\; +\infty)\)
Ejemplo 2 — dividir por negativo (signo cambia)
$$-5x < -5$$
$$x > \frac{-5}{-5}$$
\(S = (1,\; +\infty)\)
Ejemplo 3
$$-3x + 4 < 2x - 1$$
$$-3x - 2x < -1 - 4$$
$$-5x < -5$$
$$x > \frac{-5}{-5}$$
\(S = (1,\; +\infty)\)
Momento más común de error: cuando la \(x\) queda con coeficiente negativo. Antes de dividir, fijate bien el signo. Si es negativo → el símbolo se da vuelta.
Gema dice:
Si dividís o multiplicás por un número negativo, el símbolo da vuelta. Si es positivo, queda igual. ¡Así de simple! 🐾
Sección 03
Inecuaciones cuadráticas — la lógica de la regla de signos
Idea central: una inecuación cuadrática no puede resolverse con despejes simples. Hay que factorizar y analizar en qué intervalos el resultado es positivo o negativo.
Los 3 pasos obligatorios
Paso 1 — Despejar e igualar a cero: todo al mismo lado, el otro queda en \(0\).
Paso 2 — Factorizar: encontrar las raíces y escribir como producto.
Paso 3 — Tabla de signos: determinar en qué intervalos se cumple la condición.
Paso 2 — Factorizar: encontrar las raíces y escribir como producto.
Paso 3 — Tabla de signos: determinar en qué intervalos se cumple la condición.
¿Por qué igualamos a cero? Porque la regla de signos estudia cuándo una expresión es positiva o negativa respecto al cero. Si hay algo distinto de \(0\) del otro lado, no podemos aplicarla directamente.
Cómo se lee la tabla de signos
Identificamos las raíces (donde cada factor se anula) y anotamos el signo de cada factor en cada intervalo:
Ejemplo 1
$$x^2 + x - 2 \geq 0$$
$$(x-1)(x+2) \geq 0$$
Raíces: \(x = 1\) y \(x = -2\). Tabla de signos:
| Factor | \((-\infty,\,-2)\) | \((-2,\,1)\) | \((1,\,+\infty)\) |
|---|---|---|---|
| \(x - 1\) | − | − | + |
| \(x + 2\) | − | + | + |
| \((x-1)(x+2)\) | + | − | + |
Queremos \(\geq 0\) → tomamos los intervalos con resultado +, incluyendo las raíces
\(S_F = (-\infty,\; -2] \cup [1,\; +\infty)\)
Sección 04
Regla de signos — ejemplos con producto
Gema explica los símbolos:
Antes de arrancar, dos símbolos clave que van a aparecer todo el tiempo:
\(\land\) = "y" = intersección → ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo. Por ejemplo: \(x > 1 \land x > -2\) significa que \(x\) debe ser mayor que \(1\) y además mayor que \(-2\).
\(\lor\) = "o" = unión → alcanza con que se cumpla al menos una de las condiciones. Cuando unimos los casos de la regla de signos, usamos \(\lor\) → por eso el conjunto final es una unión (\(\cup\)) 🐾
\(\land\) = "y" = intersección → ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo. Por ejemplo: \(x > 1 \land x > -2\) significa que \(x\) debe ser mayor que \(1\) y además mayor que \(-2\).
\(\lor\) = "o" = unión → alcanza con que se cumpla al menos una de las condiciones. Cuando unimos los casos de la regla de signos, usamos \(\lor\) → por eso el conjunto final es una unión (\(\cup\)) 🐾
Para el producto \(A \cdot B\):
\(A \cdot B > 0 \iff (A > 0 \land B > 0) \lor (A < 0 \land B < 0)\)
\(A \cdot B < 0 \iff (A > 0 \land B < 0) \lor (A < 0 \land B > 0)\)
\(A \cdot B < 0 \iff (A > 0 \land B < 0) \lor (A < 0 \land B > 0)\)
Ejemplo 1
$$x^2 + x - 2 \geq 0$$
$$(x-1)(x+2) \geq 0$$
Caso \((+)\cdot(+)\): ambos factores \(\geq 0\)
$$x - 1 \geq 0 \quad \land \quad x + 2 \geq 0$$
$$x \geq 1 \quad \land \quad x \geq -2$$
$$S_1 = [1,\; +\infty)$$
Caso \((-)\cdot(-)\): ambos factores \(\leq 0\)
$$x - 1 \leq 0 \quad \land \quad x + 2 \leq 0$$
$$x \leq 1 \quad \land \quad x \leq -2$$
$$S_2 = (-\infty,\; -2]$$
\(S_F = S_1 \cup S_2 = (-\infty,\; -2] \cup [1,\; +\infty)\)
Ejemplo 2
$$x^2 + 2x - 48 \geq 0$$
$$(x+8)(x-6) \geq 0$$
Caso \((+)\cdot(+)\):
$$x + 8 \geq 0 \quad \land \quad x - 6 \geq 0$$
$$x \geq -8 \quad \land \quad x \geq 6$$
$$S_1 = [6,\; +\infty)$$
Caso \((-)\cdot(-)\):
$$x + 8 \leq 0 \quad \land \quad x - 6 \leq 0$$
$$x \leq -8 \quad \land \quad x \leq 6$$
$$S_2 = (-\infty,\; -8]$$
\(S_F = (-\infty,\; -8] \cup [6,\; +\infty)\)
Elvira dice:
Con \(\geq\) o \(\leq\) en el producto, las raíces se incluyen en la solución (corchetes), porque el "igual a cero" también satisface la inecuación. 🐾
Sección 05
Regla de signos — ejemplos con cociente
Para el cociente \(\dfrac{A}{B}\): la lógica es igual al producto, pero con una restricción crítica: el denominador nunca puede ser cero.
Regla clave: cuando resolvés las proposiciones, el numerador puede llevar \(= 0\) (si corresponde), pero el denominador NUNCA lleva igual. El valor que anula el denominador siempre va con paréntesis en el conjunto solución.
Ejemplo 1
$$\frac{2x+6}{x-1} \geq 0$$
C.I.: \(x \neq 1\) | Raíces: \(x = -3\) (numerador) y \(x = 1\) (denominador)
Caso \((+)/(+)\):
$$2x+6 \geq 0 \quad \land \quad x - 1 > 0$$
$$x \geq -3 \quad \land \quad x > 1$$
$$S_1 = (1,\; +\infty)$$
Caso \((-)/(-)\):
$$2x+6 \leq 0 \quad \land \quad x - 1 < 0$$
$$x \leq -3 \quad \land \quad x < 1$$
$$S_2 = (-\infty,\; -3]$$
\(S_F = (-\infty,\; -3] \cup (1,\; +\infty)\)
Ejemplo 2
$$\frac{-3x+6}{x-4} \leq 0$$
C.I.: \(x \neq 4\) | Raíces: \(x = 2\) y \(x = 4\)
Caso \((+)/(-)\):
$$-3x+6 \geq 0 \quad \land \quad x - 4 < 0$$
$$x \leq 2 \quad \land \quad x < 4$$
$$S_1 = (-\infty,\; 2]$$
Caso \((-)/(+)\):
$$-3x+6 \leq 0 \quad \land \quad x - 4 > 0$$
$$x \geq 2 \quad \land \quad x > 4$$
$$S_2 = (4,\; +\infty)$$
\(S_F = (-\infty,\; 2] \cup (4,\; +\infty)\)
Ejemplo 3
$$\frac{2x+8}{5-x} \geq 0$$
C.I.: \(x \neq 5\) | Raíces: \(x = -4\) y \(x = 5\)
Caso \((+)/(+)\):
$$2x+8 \geq 0 \quad \land \quad 5-x > 0$$
$$x \geq -4 \quad \land \quad x < 5$$
$$S_1 = [-4,\; 5)$$
Caso \((-)/(-)\):
$$2x+8 \leq 0 \quad \land \quad 5-x < 0$$
$$x \leq -4 \quad \land \quad x > 5$$
$$S_2 = \emptyset$$
\(S_F = [-4,\; 5)\)
Verificación rápida: tomá un valor de cada intervalo y comprobá que la inecuación se cumple. En el Ej.1, con \(x = 0\): \(\dfrac{6}{-1} = -6 < 0\) → no cumple \(\geq 0\) → ese intervalo no es solución. ✓
Sección 06
Coeficiente principal distinto de 1
Si al factorizar queda un coeficiente principal que no es \(1\), conviene sacarlo como factor antes de aplicar la regla de signos. Si ese coeficiente es negativo, modifica la desigualdad.
Caso 1 — coeficiente positivo
Ejemplo 1
$$6x^2 - 27x + 21 \geq 0$$
$$3(2x^2 - 9x + 7) \geq 0$$
$$2x^2 - 9x + 7 \geq 0 \quad \text{(dividimos por 3 > 0, no cambia el signo)}$$
$$2\left(x - \tfrac{7}{2}\right)(x - 1) \geq 0$$
$$\left(x - \tfrac{7}{2}\right)(x - 1) \geq 0 \quad \text{(dividimos por 2 > 0, no cambia)}$$
\(S_F = (-\infty,\; 1] \cup \left[\tfrac{7}{2},\; +\infty\right)\)
Caso 2 — coeficiente negativo (¡cambia el símbolo!)
Ejemplo 2
$$-2x^2 + 8x - 6 > 0$$
$$-2(x^2 - 4x + 3) > 0$$
$$x^2 - 4x + 3 < 0 \quad \text{(dividimos por -2 < 0, el signo se invierte)}$$
$$(x-1)(x-3) < 0$$
Caso \((+)/(-)\):
$$x - 1 > 0 \quad \land \quad x - 3 < 0$$
$$x > 1 \quad \land \quad x < 3$$
\(S_F = (1,\; 3)\)
Recordá: dividir o multiplicar por un número negativo invierte el símbolo. Esto vale tanto en el despeje como al sacar un factor negativo.
Elvira y Gema dicen:
Antes de aplicar la regla de signos, siempre fijate si sobra un coeficiente afuera del paréntesis. Si es positivo, no pasa nada. Si es negativo: ¡el símbolo da vuelta! Después sí podés aplicar la regla tranquila 🐾🐾
Sección 07
Errores típicos
Error 1 — No invertir el signo al dividir por negativo
Si llegás a \(-5x < -10\) y dividís por \(-5\) sin invertir, obtenés \(x < 2\).
Correcto: \(x > 2\). El signo se invierte porque dividimos por \(-5\).
Si llegás a \(-5x < -10\) y dividís por \(-5\) sin invertir, obtenés \(x < 2\).
Correcto: \(x > 2\). El signo se invierte porque dividimos por \(-5\).
Error 2 — Poner "igual" en el denominador
En cocientes con \(\geq\) o \(\leq\), el denominador siempre es estricto (\(>\) o \(<\)). El extremo que anula el denominador siempre lleva paréntesis.
En cocientes con \(\geq\) o \(\leq\), el denominador siempre es estricto (\(>\) o \(<\)). El extremo que anula el denominador siempre lleva paréntesis.
Error 3 — Aplicar la regla de signos sin igualar a cero
Si tenés \(x^2 + x > 2\) y factorizás \(x(x+1) > 2\) directamente, la regla no aplica.
Correcto: \(x^2 + x - 2 > 0\), luego factorizá.
Si tenés \(x^2 + x > 2\) y factorizás \(x(x+1) > 2\) directamente, la regla no aplica.
Correcto: \(x^2 + x - 2 > 0\), luego factorizá.
Error 4 — No tener un único término antes de aplicar la regla
Si tenés \(\dfrac{A}{B} > 1\), no cruces multiplicando por \(B\) directamente.
Correcto: \(\dfrac{A}{B} - 1 > 0 \Rightarrow \dfrac{A - B}{B} > 0\), y recién ahí aplicá la regla.
Si tenés \(\dfrac{A}{B} > 1\), no cruces multiplicando por \(B\) directamente.
Correcto: \(\dfrac{A}{B} - 1 > 0 \Rightarrow \dfrac{A - B}{B} > 0\), y recién ahí aplicá la regla.
Error 5 — Confundir \(\land\) con \(\lor\)
Dentro de cada caso usamos \(\land\) (ambas condiciones simultáneas = intersección).
El conjunto final une los casos con \(\lor\) → unión (\(\cup\)).
Dentro de cada caso usamos \(\land\) (ambas condiciones simultáneas = intersección).
El conjunto final une los casos con \(\lor\) → unión (\(\cup\)).
Sección 08
Resumen / Cheatsheet
Inec. lineales
- Mismos pasos que ecuación
- Dividir/multiplicar por negativo → invertir signo
- Resultado: un intervalo
Inec. cuadráticas
- Paso 1: todo a un lado → \(= 0\)
- Paso 2: factorizar
- Paso 3: tabla de signos
- Unir casos con \(\cup\)
Producto — signos
- \(A \cdot B > 0\): mismo signo
- \(A \cdot B < 0\): signo opuesto
- Con \(\geq/\leq\): incluir raíces del numerador
Cociente — clave
- \(B \neq 0\) siempre
- Denominador: solo \(>\) o \(<\)
- Extremo del denominador: paréntesis
Coef. principal
- Sacar como factor antes
- Positivo: no cambia el signo
- Negativo: ¡invierte el signo!
Símbolos lógicos
- \(\land\) = "y" = intersección
- \(\lor\) = "o" = unión
- \([\)/\(]\) incluye · \((\)/\()\) excluye
- \(\infty\) → siempre paréntesis
💡 La lógica detrás de la tabla de signos:
| \(A\) | \(B\) | \(A \cdot B\) / \(\dfrac{A}{B}\) |
|---|---|---|
| + | + | + |
| − | − | + |
| − | + | − |
| + | − | − |
Regla de signos resumida:
\(\dfrac{A}{B} \geq 0 \iff \bigl(A \geq 0 \land B > 0\bigr) \lor \bigl(A \leq 0 \land B < 0\bigr)\)
\(A \cdot B \geq 0 \iff \bigl(A \geq 0 \land B \geq 0\bigr) \lor \bigl(A \leq 0 \land B \leq 0\bigr)\)
\(\dfrac{A}{B} \geq 0 \iff \bigl(A \geq 0 \land B > 0\bigr) \lor \bigl(A \leq 0 \land B < 0\bigr)\)
\(A \cdot B \geq 0 \iff \bigl(A \geq 0 \land B \geq 0\bigr) \lor \bigl(A \leq 0 \land B \leq 0\bigr)\)