Unidad II · Matrices y Cadenas de Markov

Sección 01 Matrices positivas

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Las matrices cuadradas positivas aparecen en procesos estocásticos, modelos económicos y múltiples aplicaciones. Conocer el signo de sus entradas es fundamental para garantizar soluciones con sentido real.

Definición — Matriz positiva Una matriz $A \in M_{n \times m}(\mathbb{R})$ es positiva (notación: $A > 0$) cuando todos sus elementos son estrictamente positivos: $$a_{ij} > 0 \quad \forall\, i \in \{1,\ldots,n\},\ j \in \{1,\ldots,m\}$$

Definición — Matriz no negativa Una matriz $A \in M_{n \times m}(\mathbb{R})$ es no negativa (notación: $A \geq 0$) cuando: $$a_{ij} \geq 0 \quad \forall\, i \in \{1,\ldots,n\},\ j \in \{1,\ldots,m\}$$

💡 Diferencia clave
"Positiva" exige que ningún elemento sea cero ni negativo. "No negativa" permite ceros, pero no negativos. La diferencia parece sutil, pero tiene consecuencias profundas en el análisis espectral.

Suma y producto de matrices no negativas

Sean las matrices no negativas:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Suma y producto resultan también no negativos:

$$A + B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \\ 6 & 5 & 2 \end{pmatrix}, \qquad AB = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 7 & 3 & 6 \\ 7 & 5 & 12 \end{pmatrix}$$

Todos los elementos de ambos resultados son $\geq 0$ ✅

⚠️ Error típico
Confundir "matriz positiva" (todas las entradas $> 0$) con "matriz definida positiva" (todos los autovalores $> 0$). Son propiedades completamente distintas.

Sección 02 Matrices reducibles e irreducibles

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Definición — Matriz reducible Una matriz $A \in M_n(\mathbb{R})$ con $n \geq 2$ es reducible si existe una matriz de permutación $P$ tal que: $$PAP^{-1} = \begin{pmatrix} B & 0 \\ C & D \end{pmatrix}$$ donde $B$ y $D$ son matrices cuadradas. Si no existe tal $P$, la matriz es irreducible.

Definición — Matriz de permutación $P \in M_n$ es una matriz de permutación si tiene exactamente un $1$ en cada fila y columna, ceros en el resto. Cumple: $PP^T = P^TP = I$.

Propiedades importantes

Si $A$ tiene una fila o columna de ceros → $A$ es reducible.
Toda matriz positiva es irreducible.
Si $A$ es reducible, toda potencia $A^k$ también es reducible.

Criterio algebraico

Proposición Sea $0 \leq A \in M_n$. Entonces $A$ es irreducible si y solo si: $$(I + A)^{n+1} > 0$$

Criterio algebraico

Sea $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Como $n = 2$, calculamos $(I+A)^3$:

$$I + A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (I+A)^3 = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} > 0 \checkmark$$

Todas las entradas estrictamente positivas → $A$ es irreducible.

Criterio gráfico — Grafo dirigido $\mathcal{G}(A)$

Asociamos a la matriz $A = (a_{ij}) \geq 0$ un grafo con $n$ vértices: hay una arista dirigida $i \to j$ si $a_{ij} > 0$.

Criterio gráfico $A$ es irreducible si y solo si desde cualquier vértice existe un camino dirigido hacia cualquier otro vértice del grafo.

Irreducible vs. reducible

Irreducible ✅ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Grafo: $1 \to 2 \to 3 \to 1$. Desde cualquier vértice se llega a todos.

Reducible ❌ $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

No existe camino desde todos los vértices hacia todos los demás.

💡 Interpretación en el modelo de Leontief
La irreducibilidad significa que todas las mercancías son básicas: cada bien es utilizado directa o indirectamente como insumo en cada uno de los $n$ sectores de actividad económica.

⚠️ Error típico
Verificar solo los caminos directos ($a_{ij} > 0$) sin considerar caminos indirectos. La irreducibilidad requiere algún camino (de varios pasos si es necesario) entre todo par de vértices.

Sección 03 Teorema de Perron-Frobenius

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Este teorema es la base del algoritmo PageRank de Google y garantiza la existencia de soluciones con sentido económico en el modelo de Leontief.

Contexto: modelo de Leontief

$$[X] = [I - A]^{-1}[d]$$

Para que la solución tenga sentido económico se necesita $X > 0$, lo que requiere $[I - A]^{-1} > 0$.

Teorema de Perron-Frobenius Sea $A \geq 0$ una matriz no negativa. Entonces $[\rho I - A]^{-1} > 0$ si y solo si $\rho$ es estrictamente mayor que el radio espectral $\rho(A)$. Para $\rho = 1$, esto equivale a que todos los autovalores de $A$ sean menores que 1 en valor absoluto.

Verificación de matriz productiva

$$A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 1 & 0{,}2 \end{pmatrix}$$

1

Autovalores: $\lambda_1 = -0{,}47,\ \lambda_2 = 0{,}027,\ \lambda_3 = 0{,}942$. Todos con $|\lambda_i| < 1$ → matriz productiva ✅

2

$$I - A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}5 & -0{,}2 \\ -0{,}1 & 0{,}9 & -0{,}4 \\ -0{,}3 & -1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$

3

$$[I - A]^{-1} = \begin{pmatrix} 3{,}9 & 7{,}3 & 4{,}6 \\ 2{,}4 & 7 & 4{,}1 \\ 4{,}5 & 11{,}5 & 8{,}1 \end{pmatrix} > 0 \checkmark$$

La inversa de Leontief es positiva, confirmando el teorema.

💡 Verificación rápida (sin calcular autovalores)
Si la suma de cada columna de $A$ es menor que 1, entonces $A$ es productiva. Ídem para filas. Esta condición suficiente ahorra el cálculo espectral en muchos casos prácticos.

⚠️ Error típico
Confundir el radio espectral $\rho(A) = \max_i |\lambda_i|$ con el autovalor más grande. El radio espectral considera el valor absoluto de todos los autovalores, incluyendo los complejos.

Sección 04 Matrices estocásticas

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Definición — Matriz estocástica Una matriz cuadrada $A$ es estocástica (o de probabilidad) si: $$a_{ij} \geq 0 \qquad \text{y} \qquad \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 1 \quad \text{para cada } i = 1, \ldots, n$$

💡 Intuición probabilística
Cada fila $i$ contiene las probabilidades de transitar desde el estado $i$ hacia todos los posibles estados siguientes. Como son probabilidades, deben sumar 1.

Ejemplo — Matriz estocástica 3×3

$$A = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[4pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Cada fila suma 1 y todos los elementos son $\geq 0$ → es estocástica ✅

Sus autovalores: $\lambda_1 = 0,\ \lambda_2 = \tfrac{1}{3},\ \lambda_3 = 1$. Radio espectral = 1. ✅

Propiedades

El producto de dos matrices estocásticas es estocástico.
Toda potencia $A^k$ es también estocástica.
Siempre tienen autovalor $\lambda = 1$ con vector propio $\mathbf{u} = (1, 1, \ldots, 1)^T$.
El radio espectral es siempre igual a 1.

Teorema — Caracterización Una matriz no negativa $A \in M_n(\mathbb{R})$ es estocástica si y solo si tiene el valor propio $\lambda = 1$ con vector propio asociado $\mathbf{u} = (1, 1, \ldots, 1)^T$.

Verificación del autovector (1,1,…,1)ᵀ

Sea $A = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Autovalores: $\lambda_1 = 1,\ \lambda_2 = -\tfrac{2}{3}$.

Para $\lambda = 1$, resolvemos $(A - I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$:

$$\begin{pmatrix} -2/3 & 2/3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \;\Rightarrow\; x_1 = x_2 \;\Rightarrow\; \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \checkmark$$

Matriz normalizada

Definición — Matriz normalizada Dada $A \in M_n(\mathbb{R})$ positiva, sea $\Sigma A$ la matriz diagonal con las sumas de cada fila. La matriz normalizada de $A$ es: $$N(A) = (\Sigma A)^{-1} A$$

Normalización de una matriz

Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$. Sumas por fila: 3 y 4.

$$\Sigma A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad N(A) = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 0 & 1/4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$

Cada fila suma 1 → $N(A)$ es estocástica ✅

⚠️ Error típico
Al normalizar, dividir por la suma de la columna en lugar de la fila. Las matrices estocásticas (por filas) requieren que cada fila sume 1.

Sección 05 Vector de punto fijo

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Definición — Vector de probabilidad fijo Dada una matriz estocástica $A$, un vector de punto fijo es un vector estocástico $\mathbf{v}$ (componentes no negativas que suman 1) que satisface: $$\mathbf{v} \cdot A = \mathbf{v}$$

💡 Interpretación
El vector punto fijo representa la distribución estacionaria: si el sistema está en esa distribución, permanece allí sin importar cuántas transiciones ocurran.

Método de cálculo

1

Plantear $\mathbf{v} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]$ e imponer $\mathbf{v} A = \mathbf{v}$.

2

Esto genera un sistema lineal homogéneo en las $x_i$.

3

Agregar la condición estocástica: $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1$.

4

Resolver el sistema resultante.

Ejemplo resuelto

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$$

Planteamos $[x;\, y;\, 1-x-y] \cdot A = [x;\, y;\, 1-x-y]$. El sistema resulta:

$$\begin{cases} 0 = x \\ y + 0{,}25(1-x-y) = y \\ x + 0{,}75(1-x-y) = 1-x-y \end{cases} \;\Rightarrow\; x = 0,\ y = 1$$

Vector de punto fijo: $\mathbf{v} = (0;\; 1;\; 0)$.

Verificación: $(0, 1, 0) \cdot A = (0, 1, 0)$ ✅

⚠️ Error típico
Olvidar la condición $\sum x_i = 1$. Sin ella el sistema tiene infinitas soluciones. La condición estocástica es la que permite obtener el único vector de probabilidad fijo.

Sección 06 Cadenas de Markov

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Definición — Cadena de Markov Un proceso aleatorio sin memoria: conocido el estado presente, el estado futuro es independiente de todos los estados pasados. $$P(X_k = i_k \mid X_{k-1} = i_{k-1}, \ldots, X_0 = i_0) = P(X_k = i_k \mid X_{k-1} = i_{k-1})$$

Representación matricial

Sea $\mathbf{p}(k) = (p_1(k), \ldots, p_n(k))^T$ el vector de probabilidades en el tiempo $k$. La evolución es:

$$\mathbf{p}(k+1) = A^T(k)\,\mathbf{p}(k)$$

donde $A = (p_{ij}(k))$ es la matriz de transición: $p_{ij}$ es la probabilidad de pasar del estado $i$ al $j$.

Cadena homogénea La cadena es homogénea si $p_{ij}(k)$ no depende de $k$: la probabilidad de transición es constante en el tiempo.

Proposición — Evolución temporal En una cadena homogénea con distribución inicial $\mathbf{p}(0)$: $$\mathbf{p}(k) = (A^T)^k\,\mathbf{p}(0)$$ Si $A$ es irreducible, existe $\displaystyle\lim_{k \to \infty}(A^T)^k$ y la distribución es estacionaria.

Ejemplo — Mercado de gaseosas (3 marcas, 4 períodos)

Marcas A, B, C con distribución inicial $\mathbf{p}(0) = (0{,}6;\; 0{,}3;\; 0{,}1)^T$ y matriz de transición:

$$A = \begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}15 & 0{,}10 \\ 0{,}25 & 0{,}60 & 0{,}15 \\ 0{,}30 & 0{,}20 & 0{,}50 \end{pmatrix}$$

Calculamos $\mathbf{p}(4) = (A^T)^4\,\mathbf{p}(0)$:

$$(A^T)^4 \approx \begin{pmatrix} 0{,}544 & 0{,}485 & 0{,}5 \\ 0{,}274 & 0{,}318 & 0{,}29 \\ 0{,}181 & 0{,}196 & 0{,}21 \end{pmatrix}$$ $$\mathbf{p}(4) \approx \begin{pmatrix} 0{,}5225 \\ 0{,}2891 \\ 0{,}1884 \end{pmatrix}$$

A los 4 períodos: A tiene ~52,25%, B ~28,91%, C ~18,84% del mercado.

Ejemplo — Supermercados (distribución estacionaria)

Tres supermercados X, Y, Z. Distribución inicial: $\mathbf{u}(0) = (0{,}2;\; 0{,}3;\; 0{,}5)^T$.

$$A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix}$$

Tomando $k \to \infty$ (diagonalizando $A^T$ y llevando las potencias al límite):

$$\lim_{k \to \infty}\mathbf{p}(k) = \begin{pmatrix} 0{,}40 \\ 0{,}35 \\ 0{,}20 \end{pmatrix}$$

En el largo plazo: X retiene 40%, Y 35%, Z 20%, independientemente de la distribución inicial.

💡 Atajo: distribución estacionaria = vector punto fijo
La distribución estacionaria $\boldsymbol{\pi}$ satisface $A^T\boldsymbol{\pi} = \boldsymbol{\pi}$, es decir, es el autovector de $A^T$ asociado a $\lambda = 1$. Equivale a encontrar el vector punto fijo de la sección anterior.

⚠️ Error típico
Usar $\mathbf{p}(k) = A^k\,\mathbf{p}(0)$ sin transponer. La fórmula correcta (con $\mathbf{p}$ como vector columna) es $\mathbf{p}(k) = (A^T)^k\,\mathbf{p}(0)$.

Sección 07 Teorema de punto fijo

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Definición — Punto fijo Dado un espacio topológico $K$ y $f: K \to K$ continua, decimos que $z \in K$ es un punto fijo de $f$ si: $$f(z) = z$$

💡 Intuición geométrica
Un punto fijo es la intersección del gráfico de $f$ con la bisectriz $y = x$. Por ejemplo, $f(x) = x^3$ tiene puntos fijos en $x = -1,\ 0,\ 1$.

Condiciones para garantizar existencia

Para que $f: K \to K$ tenga al menos un punto fijo, se requiere que $K$ sea compacto (acotado y cerrado) y convexo, y que $f$ sea continua.

Teorema de punto fijo (versión iterativa) Sea $g: [a,b] \to [a,b]$ continua y derivable con $|g'(x)| \leq k < 1$ para todo $x \in [a,b]$. Dado $x_0 \in [a,b]$, la sucesión: $$x_n = g(x_{n-1}), \quad n = 1, 2, 3, \ldots$$ converge a $\alpha = \lim_{n \to \infty} x_n$, que es raíz de $x = g(x)$.

Método iterativo — Pasos

1

Reescribir $f(x) = 0$ como $g(x) = x$ (puede haber varias formas posibles).

2

Verificar $|g'(x_0)| < 1$ en el intervalo de interés (condición suficiente de convergencia).

3

Elegir $x_0$ tal que $f(a) \cdot f(b) < 0$ (Teorema de Bolzano) para ubicar la raíz.

4

Iterar: $x_1 = g(x_0),\ x_2 = g(x_1),\ \ldots$ hasta convergencia.

5

Error porcentual en cada paso: $\displaystyle E\% = \left|\frac{x_{n+1} - x_n}{x_n}\right| \times 100$

Ejemplo — Raíz de f(x) = x³ + 4x² − 10

$f(1) < 0$ y $f(2) > 0$ → raíz en $[1, 2]$. Tomamos $x_0 = 1{,}5$. Tres candidatas a $g$:

(a) $g(x) = x^3 + 4x^2 - 10 + x$ → $|g'(1{,}5)| > 1$ ❌
(b) $g(x) = \dfrac{\sqrt{10 - x^3}}{2}$ → $|g'(1{,}5)| \approx 0{,}46 < 1$ ✅
(c) $g(x) = (4x^2 - 10)^{1/3}$ → $|g'(1{,}5)| \approx 4 > 1$ ❌

Usamos (b). Iteraciones con $g(x) = \sqrt{10-x^3}\,/\,2$:

Iteración	$x_n$	$g(x_n)$
$x_0$	1,5000	1,2870
$x_1$	1,2870	1,4025
$x_3$	1,3455	1,3752
$x_7$	1,3639	1,3659
$x_{14}$	1,36524	1,36522

Raíz aproximada: $\alpha \approx 1{,}3652$. Error en la iteración 14:

$$E\% = \left|\frac{1{,}36524 - 1{,}36521}{1{,}36521}\right| \times 100 \approx 0{,}0026\%$$

💡 Análisis gráfico de la convergencia
Si $0 < g'(x) < 1$ → convergencia monótona (en escalera hacia la raíz).
Si $-1 < g'(x) < 0$ → convergencia oscilatoria (en espiral hacia la raíz).
Si $|g'(x)| > 1$ → divergencia. La condición $|g'| < 1$ es clave.

💡 Aplicación en economía
Los teoremas de punto fijo son fundamentales para probar la existencia de equilibrios económicos. El equilibrio marshaliano generalizado a múltiples mercados requiere exactamente estos resultados.

⚠️ Error típico
Usar una $g$ con $|g'(x_0)| \geq 1$ sin verificar convergencia. La iteración diverge y los valores se alejan de la raíz en lugar de acercarse.

Iteración	\(x_n\)	\(g(x_n)\)
\(x_0\)	1,5000	1,2870
\(x_1\)	1,2870	1,4025
\(x_3\)	1,3455	1,3752
\(x_7\)	1,3639	1,3659
\(x_{14}\)	1,36524	1,36522

Matrices y Cadenas de Markov

Propiedades importantes

Criterio algebraico

Criterio gráfico — Grafo dirigido \(\mathcal{G}(A)\)

Contexto: modelo de Leontief

Propiedades

Matriz normalizada

Método de cálculo

Representación matricial

Condiciones para garantizar existencia

Método iterativo — Pasos