Aplicaciones Económicas de las EDO

00 · Repaso

Contenidos previos necesarios

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EDO lineal de primer orden — forma estándar

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal de primer orden tiene la forma:

$$ \frac{dy}{dt} + P(t)\, y = Q(t) $$

donde $P(t)$ y $Q(t)$ son funciones continuas de $t$. La solución general se obtiene mediante el factor integrante.

Método del factor integrante — resumen

Paso 1. Calcular el factor integrante:

$$ \mu(t) = e^{\int P(t)\, dt} $$

Paso 2. Multiplicar ambos miembros por $\mu$:

$$ \frac{d}{dt}\bigl[\mu(t)\, y\bigr] = \mu(t)\, Q(t) $$

Paso 3. Integrar ambos miembros:

$$ \mu(t)\, y = \int \mu(t)\, Q(t)\, dt + D $$

Paso 4. Despejar $y$:

$$ y(t) = \frac{1}{\mu(t)} \left( \int \mu(t)\, Q(t)\, dt + D \right) $$

¿Por qué el factor integrante funciona?

Al multiplicar por $\mu(t) = e^{\int P\,dt}$, el lado izquierdo de la EDO se convierte en la derivada exacta de un producto: $\dfrac{d}{dt}[\mu\, y]$. Esto nos permite integrar directamente ambos lados.

Gema

En las aplicaciones de hoy, los parametros $P$ y $Q$ son constantes, lo que simplifica mucho los calculos. El factor integrante resulta ser una exponencial simple.

01 · Modelo

Modelo de ajuste de precios — Modelo de Evans

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Los modelos de oferta y demanda clasicos son estaticos: no consideran el tiempo. El modelo de Evans es un modelo dinamico que describe como evoluciona el precio de un bien a lo largo del tiempo.

Hipotesis principal

El precio sube si hay escasez (exceso de demanda) y baja si hay sobreoferta. La velocidad de cambio del precio es proporcional al exceso de demanda $(D - S)$:

$$ \frac{dP}{dt} = k\bigl(D(t) - S(t)\bigr), \quad k > 0 $$

donde $k$ es una constante positiva de ajuste del mercado.

Funciones lineales de oferta y demanda

Se asumen funciones lineales del precio:

$$ D(t) = a - b\, P(t) $$ $$ S(t) = -c + d\, P(t) $$

con $a, b, c, d > 0$. El precio de equilibrio (cuando $D = S$) es:

$$ P^* = \frac{a + c}{b + d} $$

Obtencion de la EDO

1

Sustituir $D$ y $S$ en la EDO original $$ \frac{dP}{dt} = k\bigl[(a - bP) - (-c + dP)\bigr] $$

2

Expandir y simplificar el corchete $$ \frac{dP}{dt} = k\bigl[a - bP + c - dP\bigr] = k(a + c) - k(b + d)P $$

3

Llevar a la forma estandar $$ \frac{dP}{dt} + k(b + d)\, P = k(a + c) $$

Esta es una EDO lineal de primer orden con:

$$ P(t) \equiv k(b+d) > 0, \qquad Q(t) \equiv k(a+c) > 0 $$

Resolucion general

4

Calcular el factor integrante $$ \mu = e^{\int k(b+d)\, dt} = e^{k(b+d)\,t} $$

5

Integrar ambos miembros $$ e^{k(b+d)\,t}\, P = \int e^{k(b+d)\,t} \cdot k(a+c)\, dt = \frac{k(a+c)}{k(b+d)}\, e^{k(b+d)\,t} + D $$

6

Despejar $P(t)$ $$ P(t) = \frac{a+c}{b+d} + D\, e^{-k(b+d)\,t} $$

Reconocemos el precio de equilibrio $P^* = \dfrac{a+c}{b+d}$, entonces:

$$ \boxed{P(t) = P^* + D\, e^{-k(b+d)\,t}} $$

7

Aplicar condicion inicial $P(0) = P_0$ $$ P_0 = P^* + D \quad \Rightarrow \quad D = P_0 - P^* $$ $$ \boxed{P(t) = P^* + (P_0 - P^*)\, e^{-k(b+d)\,t}} $$

Analisis del comportamiento a largo plazo

Como $k(b+d) > 0$, el exponente es negativo. Cuando $t \to \infty$:

$$ \lim_{t \to \infty} P(t) = \lim_{t \to \infty} \left[ P^* + (P_0 - P^*)\, e^{-k(b+d)\,t} \right] = P^* $$

Conclusion: sin importar el precio inicial $P_0$, el mercado siempre converge al precio de equilibrio $P^*$. El modelo es dinamicamente estable.

Elvira

Ojo con el signo: el exponente $-k(b+d)t$ es negativo porque $k, b, d > 0$. Eso garantiza que la exponencial decae a cero. Si el exponente fuera positivo, el precio explotaria.

02 · Ejemplo

Ejemplo numerico — Modelo de Evans

▼

Problema. En un mercado de bienes, la demanda y la oferta estan dadas por:

$$ D(t) = 10 - 2P(t), \qquad S(t) = -4 + 3P(t) $$

El coeficiente de ajuste es $k = 0{,}5$ y el precio inicial es $P(0) = 1$. Hallar $P(t)$ y verificar hacia donde converge.

1

Identificar los parametros

$a = 10$, $b = 2$, $c = 4$, $d = 3$, $k = 0{,}5$, $P_0 = 1$.

2

Calcular el precio de equilibrio $$ P^* = \frac{a + c}{b + d} = \frac{10 + 4}{2 + 3} = \frac{14}{5} = 2{,}8 $$

3

Calcular $k(b+d)$ $$ k(b + d) = 0{,}5 \cdot (2 + 3) = 0{,}5 \cdot 5 = 2{,}5 $$

4

Escribir la solucion general con $P^*$ $$ P(t) = 2{,}8 + D\, e^{-2{,}5\, t} $$

5

Aplicar condicion inicial $P(0) = 1$ $$ 1 = 2{,}8 + D \quad \Rightarrow \quad D = 1 - 2{,}8 = -1{,}8 $$

6

Solucion particular $$ \boxed{P(t) = 2{,}8 - 1{,}8\, e^{-2{,}5\, t}} $$

7

Verificar el comportamiento a largo plazo $$ \lim_{t \to \infty} P(t) = \lim_{t \to \infty} \left(2{,}8 - 1{,}8\, e^{-2{,}5\,t}\right) = 2{,}8 = P^* $$

El precio parte de $P_0 = 1$ (por debajo del equilibrio) y crece hacia $P^* = 2{,}8$ de forma asintótica.

Grafico de la solucion

Interpretacion economica: El mercado comienza con un precio bajo ($P_0 = 1 < P^*$), lo que genera un exceso de demanda. Eso empuja el precio hacia arriba, pero de forma suave y decreciente en velocidad, hasta estabilizarse en $P^* = 2{,}8$.

03 · Modelo

Modelo de sostenibilidad de la deuda publica

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Este modelo analiza como evoluciona el ratio deuda/PBI de un pais a lo largo del tiempo, bajo supuestos de parametros constantes y sin emision monetaria.

Variable principal y parametros

Se define:

$$ b(t) = \frac{D(t)}{\text{PBI}(t)} $$

como el ratio deuda publica sobre PBI en el instante $t$. Los parametros del modelo son:

$r$	Tasa de interes real efectiva de la deuda
$g$	Tasa de crecimiento real del PBI
$s$	Superavit fiscal primario como porcentaje del PBI

La EDO del modelo

La dinamica del ratio deuda/PBI se describe mediante la EDO:

$$ \frac{db}{dt} = (r - g)\, b(t) - s $$

Llevada a la forma estandar:

$$ \frac{db}{dt} - (r - g)\, b(t) = -s $$

donde $P(t) = -(r-g)$ y $Q(t) = -s$.

Resolucion de la EDO

1

Factor integrante $$ \mu = e^{\int -(r-g)\, dt} = e^{-(r-g)\,t} $$

2

Multiplicar y reconocer la derivada del producto $$ \frac{d}{dt}\left[e^{-(r-g)\,t}\, b\right] = -s\, e^{-(r-g)\,t} $$

3

Integrar ambos miembros $$ e^{-(r-g)\,t}\, b = \frac{s}{r-g}\, e^{-(r-g)\,t} + D $$

4

Despejar $b(t)$ $$ \boxed{b(t) = \frac{s}{r-g} + D\, e^{(r-g)\,t}} $$

5

Aplicar condicion inicial $b(0) = b_0$ $$ b_0 = \frac{s}{r-g} + D \quad \Rightarrow \quad D = b_0 - \frac{s}{r-g} $$ $$ \boxed{b(t) = \frac{s}{r-g} + \left(b_0 - \frac{s}{r-g}\right) e^{(r-g)\,t}} $$

Gema

La clave esta en el signo del exponente $(r-g)t$. Si $r > g$, el exponente crece y la deuda explota. Si $r < g$, el exponente decae y la deuda se estabiliza. Todo depende de esa diferencia.

Analisis por escenarios — caso $r > g$

Superavit de estabilizacion $s^*$

Si $r > g$, el exponente $(r-g) > 0$ hace que la deuda crezca sin limite salvo que se cumpla una condicion especial. Para que $b(t)$ sea constante (es decir, $\dfrac{db}{dt} = 0$):

$$ b_0 - \frac{s}{r-g} = 0 \quad \Rightarrow \quad \boxed{s^* = (r-g)\, b_0} $$

Este es el superavit fiscal minimo para que la deuda no crezca.

Los tres escenarios posibles (con $r > g$):

Condicion	Expresion $b_0 - \frac{s}{r-g}$	Comportamiento de $b(t)$
$s < s^*$	Positiva	La deuda crece hacia $+\infty$. El ajuste fiscal es insuficiente.
$s = s^*$	Cero	La deuda es constante: $b(t) = b_0$ para todo $t$.
$s > s^*$	Negativa	La deuda cae hasta extinguirse. El superavit supera los intereses.

Elvira

El escenario $r < g$ (tasas bajas, economia en expansion) hace que el exponente sea negativo y la deuda converge sola a $\dfrac{s}{r-g}$ sin necesidad de ajuste. En ese caso el modelo es dinamicamente estable.

04 · Ejemplo

Ejemplo numerico — Deuda publica

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Problema. Un pais tiene los siguientes datos:

Ratio deuda/PBI inicial: $b_0 = 0{,}60$ (60% del PBI)
Tasa de interes real: $r = 0{,}05$ (5%)
Tasa de crecimiento del PBI: $g = 0{,}02$ (2%)
Superavit fiscal: $s = 0{,}01$ (1% del PBI)

Determinar la solucion $b(t)$, calcular el superavit de estabilizacion y analizar que ocurre.

1

Verificar el escenario: calcular $r - g$ $$ r - g = 0{,}05 - 0{,}02 = 0{,}03 > 0 $$

Estamos en el escenario de tasas altas. El exponente es positivo, por lo que la deuda puede explotar.

2

Calcular el superavit de estabilizacion $$ s^* = (r - g)\, b_0 = 0{,}03 \times 0{,}60 = 0{,}018 $$

Se necesita un superavit de al menos el 1,8% del PBI para estabilizar la deuda.

3

Comparar $s$ con $s^*$ $$ s = 0{,}01 < s^* = 0{,}018 $$

El superavit actual es insuficiente. La deuda crecera.

4

Calcular la constante de integracion $D$ $$ D = b_0 - \frac{s}{r-g} = 0{,}60 - \frac{0{,}01}{0{,}03} = 0{,}60 - 0{,}333... = 0{,}2\overline{6} $$

5

Solucion particular $$ \boxed{b(t) = \frac{1}{3} + \frac{4}{15}\, e^{0{,}03\,t}} $$

o equivalentemente en decimales:

$$ b(t) \approx 0{,}333 + 0{,}2\overline{6}\, e^{0{,}03\,t} $$

6

Verificar $b(0)$ $$ b(0) = 0{,}333 + 0{,}2\overline{6} \cdot 1 = 0{,}60 \ \checkmark $$

7

Comportamiento a largo plazo $$ \lim_{t \to \infty} b(t) = +\infty $$

La deuda crece sin limite. El gobierno necesita aumentar el superavit a al menos $s^* = 1{,}8\%$ del PBI para estabilizarla.

Grafico — los tres escenarios

Interpretacion economica: Las tres curvas salen del mismo punto $b_0 = 0{,}60$. Dependiendo del superavit elegido por el gobierno, la deuda puede explotar, mantenerse constante o reducirse. La eleccion de $s$ es una decision de politica fiscal con consecuencias matematicamente precisas.

Gema y Elvira

La diferencia entre los tres escenarios es solo el valor de $s$ que elige el Ministro de Economia. Las matematicas son las mismas. La EDO no miente: si $s < s^*$, la deuda explota, sin importar las intenciones.

05 · Practica

Ejercicios de practica

▼

1. En un mercado con $D(t) = 20 - 4P(t)$, $S(t) = -2 + 2P(t)$, $k = 1$ y $P(0) = 2$, hallar $P(t)$ y calcular $\lim_{t o \infty} P(t)$. ▼

1

Parametros: $a=20, b=4, c=2, d=2, k=1$ $$ P^* = \frac{a+c}{b+d} = \frac{20+2}{4+2} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \approx 3{,}67 $$

2

Calcular $k(b+d)$ $$ k(b+d) = 1 \cdot (4+2) = 6 $$

3

Solucion general $$ P(t) = \frac{11}{3} + D\, e^{-6t} $$

4

Condicion inicial $P(0) = 2$ $$ D = 2 - \frac{11}{3} = -\frac{5}{3} $$ $$ \boxed{P(t) = \frac{11}{3} - \frac{5}{3}\, e^{-6t}} $$

5

Limite $$ \lim_{t \to \infty} P(t) = \frac{11}{3} = P^* $$

2. En el modelo de Evans con $a=8, b=1, c=2, d=1, k=0{,}4$, verificar que $P^*=5$ y hallar la solucion particular con $P(0) = 8$. Analizar si el precio converge desde arriba o desde abajo del equilibrio. ▼

1

Verificar $P^*$ $$ P^* = \frac{8+2}{1+1} = \frac{10}{2} = 5 \checkmark $$

2

$k(b+d) = 0{,}4 \cdot 2 = 0{,}8$ $$ P(t) = 5 + D\, e^{-0{,}8t} $$

3

Condicion inicial $P(0) = 8$ $$ D = 8 - 5 = 3 $$ $$ \boxed{P(t) = 5 + 3\, e^{-0{,}8t}} $$

4

Convergencia

Como $D = 3 > 0$, el precio comienza por encima del equilibrio ($P_0 = 8 > P^* = 5$) y decrece hacia $P^* = 5$. Hay sobreoferta inicial que baja el precio.

3. Un pais tiene $r = 0{,}04$, $g = 0{,}03$, $b_0 = 0{,}80$. Calcular el superavit de estabilizacion $s^*$. Si el gobierno fija $s = 0{,}05$, determinar si la deuda crece, se estabiliza o cae. ▼

1

Superavit de estabilizacion $$ s^* = (r-g)\, b_0 = (0{,}04 - 0{,}03) \times 0{,}80 = 0{,}01 \times 0{,}80 = 0{,}008 $$

Se necesita un superavit de al menos el 0,8% del PBI.

2

Comparar con $s = 0{,}05$ $$ s = 0{,}05 > s^* = 0{,}008 $$

3

Conclusion $$ D = b_0 - \frac{s}{r-g} = 0{,}80 - \frac{0{,}05}{0{,}01} = 0{,}80 - 5 = -4{,}20 < 0 $$

Como $D < 0$, la deuda cae. El superavit del 5% del PBI es mas que suficiente para cubrir la diferencia $(r-g)b$.

4. Un pais con $r = 0{,}02$, $g = 0{,}05$, $s = 0{,}01$ y $b_0 = 0{,}50$. ¿Es este escenario estable o inestable? Hallar $b(t)$ y calcular $\lim_{t o \infty} b(t)$. ▼

1

Identificar el escenario: $r - g = 0{,}02 - 0{,}05 = -0{,}03 < 0$

El exponente es negativo: escenario de bajo crecimiento de la deuda. El modelo es dinamicamente estable.

2

Calcular la constante de largo plazo $$ \frac{s}{r-g} = \frac{0{,}01}{-0{,}03} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}333 $$

3

Constante de integracion $$ D = 0{,}50 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 0{,}50 + 0{,}333 = 0{,}833 $$

4

Solucion particular $$ \boxed{b(t) = -\frac{1}{3} + 0{,}833\, e^{-0{,}03t}} $$

5

Limite $$ \lim_{t \to \infty} b(t) = -\frac{1}{3} $$

El ratio deuda/PBI converge a un valor negativo, lo que en la practica implica que el pais acumula activos netos. El crecimiento economico ($g > r$) supera el costo financiero de la deuda.

Condicion	Expresion \(b_0 - \frac{s}{r-g}\)	Comportamiento de \(b(t)\)
\(s < s^*\)	Positiva	La deuda crece hacia \(+\infty\). El ajuste fiscal es insuficiente.
\(s = s^*\)	Cero	La deuda es constante: \(b(t) = b_0\) para todo \(t\).
\(s > s^*\)	Negativa	La deuda cae hasta extinguirse. El superavit supera los intereses.

\(r\)	Tasa de interes real efectiva de la deuda
\(g\)	Tasa de crecimiento real del PBI
\(s\)	Superavit fiscal primario como porcentaje del PBI