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Análisis Matemático I · Integrales
⏱ calculando...Para entender el teorema, hay que reconstruir el camino que lleva hasta él. Empecemos desde lo más básico.
Si \(G(t)\) es una función tal que \(G'(t) = g(t)\), entonces \(G\) es una primitiva (o antiderivada) de \(g\), y escribimos:
$$ \int g(t)\, dt = G(t) + C $$La clave está en que derivar \(G\) devuelve \(g\). Para cualquier valor de \(a\): \(G'(a) = g(a)\).
Si \(g(t)\) es continua en \([a, b]\) y \(G\) es cualquier primitiva de \(g\), entonces:
$$ \int_a^b g(t)\, dt = G(t)\Big|_a^b = G(b) - G(a) $$El resultado es un valor numérico (el área neta bajo la curva entre \(a\) y \(b\)).
Aquí empieza lo interesante. En lugar de fijar ambos extremos de la integral, dejamos que el extremo superior sea una variable \(x\):
$$ \int_a^x g(t)\, dt $$Aplicando Barrow igual que antes, con primitiva \(G\):
$$ \int_a^x g(t)\ = G(t)\Big|_a^x = G(x) - G(a) = F(x) $$Ahora \(F(x)\) ya no es un número: es una función de \(x\). Por eso le damos un nombre propio: \(F(x)\).
Gema
Pensalo así: \(F(x)\) mide el "área acumulada" bajo la curva \(g(t)\) desde \(a\) hasta \(x\). \(F(x)\) es una función que "registra" cuánta área neta acumula \(g(t)\).
Entonces, tenemos que \(F(x) = G(x) - G(a)\). Derivemos respecto de \(x\):
\(G(x)\) es una primitiva de \(g\), luego su derivada es:
$$ \frac{d}{dx}\, G(x) = G'(x) = g(x) $$\(G(a)\) es una constante (no depende de \(x\)), entonces:
$$ \frac{d}{dx}\, G(a) = 0 $$
Elvira
Ojo con esto: el resultado es \(g(x)\), no \(g(t)\). La variable de integración \(t\) es muda : desaparece al evaluar. Lo que queda es la función \(g\) evaluada en el extremo superior \(x\).
Sea \(g(t)\) continua en un intervalo que contiene a \(a\). Si se define:
$$ F(x) = \int_a^x g(t)\, dt $$entonces \(F\) es derivable y:
$$ F'(x) = g(x) $$Dicho en palabras: derivar una integral con límite superior variable devuelve el integrando evaluado en ese límite.
Pensalo como multiplicar y dividir: si multiplicás un número por \(5\) y luego dividís por \(5\), volvés al mismo lugar. Lo mismo pasa aquí: si primero integrás \(g\) (obtenés \(F\)) y luego derivás \(F\), volvés a \(g\). Son operaciones inversas.
| Integral indefinida | \(\displaystyle\int g(t)\, dt = G(t) + C\) |
| Integral definida (Barrow) | \(\displaystyle\int_a^b g(t)\, dt = G(b) - G(a) \in \mathbb{R}\) |
| TFC (derivada) | \(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x g(t)\, dt = g(x)\) |
En muchos ejercicios el límite superior no es simplemente \(x\), sino una función compuesta: \(h(x)\). Por ejemplo, \(x^2\), \(\sqrt{x}\), \(\sin x\), etc. Acá hay que usar la regla de la cadena, veamos porque.
Si \(F(x) = \displaystyle\int_a^{h(x)} g(t)\, dt\), entonces aplicando Barrow y luego regla de la cadena:
$$ F(x) = G(h(x)) - G(a) $$ $$ F'(x) = G'(h(x)) \cdot h'(x) $$ $$ F'(x) = g(h(x)) \cdot h'(x) $$
Gema
La regla es siempre la misma: evaluás \(G\) en el límite superior (podes hacer un cambio de variables si queres, reemplazás \(t\) por \(h(x)\)), y después multiplicás por la derivada de ese extremo. Si en el extremo de la integral solo hay \(x\), entonces \(h'(x) = 1\).
Si \(F(x) = \displaystyle\int_x^b g(t)\, dt\), se puede reescribir cambiando el signo:
$$ F(x) = -\int_b^x g(t)\, dt \quad \Rightarrow \quad F'(x) = -g(x) $$Si \(F(x) = \displaystyle\int_{h(x)}^{m(x)} g(t)\, dt\), usando Barrow:
$$ F(x) = G(m(x)) - G(h(x)) $$ $$ F'(x) = g(m(x)) \cdot m'(x) - g(h(x)) \cdot h'(x) $$Ejemplo 1. Calcular \(F'(x)\) si \(\displaystyle F(x) = \int_a^x (t + 1)\, dt\).
El integrando es \(g(t) = t + 1\). Esta función es un polinomio, por lo tanto es continua en todo \(\mathbb{R}\). Se cumplen las condiciones del TFC.
El límite superior es simplemente \(x\), así que \(h(x) = x\) y \(h'(x) = 1\). Es el caso básico del TFC.
Se evalúa \(g(t)\) en \(t = x\):
$$ F'(x) = g(x) = x + 1 $$Una primitiva de \(g(t) = t + 1\) es \(G(t) = \dfrac{t^2}{2} + t\). Entonces:
$$ F(x) = G(x) - G(a) = \frac{x^2}{2} + x - G(a) $$Derivando: \(F'(x) = x + 1\). Coincide.
Ejemplo 2. Calcular \(F'(x)\) si \(\displaystyle F(x) = \int_0^{x^2} \frac{t}{1 + t^4}\, dt\).
El integrando es \(g(t) = \dfrac{t}{1 + t^4}\). El denominador \(1 + t^4 > 0\) para todo \(t \in \mathbb{R}\), entonces \(g\) es continua en \(\mathbb{R}\). Se puede aplicar el TFC.
El límite superior es \(m(x) = x^2\) y el límite inferior es \(h(x) = x^3\). Ambos dependen de \(x\). Se usa la fórmula general:
$$ F'(x) = g(m(x)) \cdot m'(x) - g(h(x)) \cdot h'(x) $$
Elvira
Cuando los dos límites dependen de \(x\), no te olvides del signo menos en el término del límite inferior. Y fijate que en ese ejemplo el límite inferior era \(x^3\), no una constante: eso es lo que activa la fórmula completa.
Ejemplo 3. Calcular \(F'(2)\) si \(\displaystyle F(x) = \int_0^{2x-1} t^2 \sqrt{7t - 5}\, dt\).
Interpretacion: F(x) representa el espacio recorrido (en seg) en función del tiempo.
El integrando es \(g(t) = t^2 \sqrt{7t - 5}\). Para que esté definida, necesitamos \(7t - 5 \geq 0\), es decir \(t \geq \frac{5}{7}\). Por lo tanto \(g\) es continua en \(\left[\frac{5}{7}, +\infty\right)\).
El límite superior es \(h(x) = 2x - 1\), entonces \(h'(x) = 2\).
Ejemplo 4. Calcular \(F'(x)\) si \(\displaystyle F(x) = x^2 \cdot \int_0^x \sec(t^2)\, dt\).
Aquí \(F\) es un producto entre \(x^2\) y la integral. No se puede aplicar el TFC directamente: hay que usar la regla del producto primero.
$$ F(x) = \underbrace{x^2}_{u} \cdot \underbrace{\int_0^x \sec(t^2)\, dt}_{v} $$El integrando es \(g(t) = \sec(t^2)\). Necesitamos que \(t^2 \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\), lo que da \(t \neq \pm\sqrt{\frac{\pi}{2} + k\pi}\). En el intervalo \(\left[-\sqrt{\frac{\pi}{2}},\, \sqrt{\frac{\pi}{2}}\right]\), la función es continua.
El primer factor: \((x^2)' = 2x\).
El segundo factor: por TFC con límite superior \(x\):
$$ \left( \int_0^x \sec(t^2)\, dt \right)' = \sec(x^2) $$
Gema
El Ejemplo 4 es un clásico trampa: parece que hay que "resolver" la integral, pero no. El TFC te dice que la derivada de la integral es el integrando evaluado en \(x\). La integral en sí permanece escrita tal cual en el resultado final, eso es completamente válido.
Ejemplo 5. Dada \(\displaystyle F(x) = \int_1^x e^{t-2} - 1\, dt\), encontrar los \(x\) donde la recta tangente a \(F\) es horizontal.
Una recta tangente es horizontal cuando la derivada se anula: \(F'(x) = 0\).
El integrando es \(g(t) = e^{t-2} - 1\). La función exponencial es continua en todo \(\mathbb{R}\), y restarle 1 no cambia eso. Condicion del TFC: cumplida.
El límite superior es \(x\), por lo tanto:
$$ F'(x) = g(x) = e^{x-2} - 1 $$Como \(e^u = 1\) solo cuando \(u = 0\):
$$ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 $$La recta tangente a \(F\) es horizontal en \(x = 2\), lo que corresponde al punto \((2,\, F(2))\). Como \(F(2) = \int_1^2 (e^{t-2} - 1)\, dt\), el punto exacto se calcularía con Barrow, pero la pregunta solo pedía el \(x\).
Gema y Elvira
Para cada ejercicio, el primer paso siempre es identificar el integrando \(g(t)\), verificar que sea continuo en el dominio relevante, y recién despues aplicar el TFC. No lo hagas al revés.
Sea \(g(t) = \dfrac{t^2 - t}{t^2 + 1}\). El denominador \(t^2 + 1 > 0\) para todo \(t\), entonces \(g\) es continua en \(\mathbb{R}\).
Por TFC, con límite superior \(x\):
$$ F'(x) = g(x) = \frac{x^2 - x}{x^2 + 1} $$Para hallar los puntos criticos, igualamos a cero el numerador (el denominador nunca se anula):
$$ x^2 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ o } x = 1 $$Los puntos criticos de \(F\) en \((0, 1)\) son \(P.C. = \{0, 1\}\) (extremos del intervalo).
En \((0, 1)\): para \(x = 0.5\), \(F'(0.5) = \dfrac{0.25 - 0.5}{0.25 + 1} = \dfrac{-0.25}{1.25} < 0\). Entonces \(F'(x) < 0\) en \((0, 1)\), por lo tanto \(F\) es decreciente en ese intervalo.
El limite tiene forma \(\dfrac{0}{0}\) (indeterminacion), entonces se aplica L'Hopital.
Sea \(g(t) = \sin(\sqrt{t})\). Para \(t \geq 0\), \(\sqrt{t}\) es continuo y \(\sin\) tambien, entonces \(g\) es continua en \([0, +\infty)\).
Derivamos numerador (por TFC) y denominador:
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(\sqrt{x})}{3x^2} $$Sigue siendo \(\dfrac{0}{0}\). Aplicamos L'Hopital una segunda vez. Derivamos \(\sin(\sqrt{x})\) por regla de la cadena:
$$ \frac{d}{dx}\sin(\sqrt{x}) = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(\sqrt{x}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{6x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(\sqrt{x})}{12 x^{3/2}} $$Como \(x \to 0^+\): numerador \(\to \cos(0) = 1 \neq 0\), denominador \(\to 0\). El limite es \(+\infty\).
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sin(\sqrt{t})\, dt}{x^3} = +\infty $$Sea \(g(t) = \sqrt{1 + t^3}\). Para que la raiz este definida necesitamos \(1 + t^3 \geq 0\), es decir \(t \geq -1\). El dominio es \([-1, +\infty)\) y \(g\) es continua ahi.
Reescribimos el limite como una forma \(\dfrac{0}{0}\):
$$ \lim_{h \to 0} \frac{\int_2^{2+2h} \sqrt{1 + t^3}\, dt}{h} $$Aplicamos L'Hopital. Derivamos numerador por TFC (límite superior \(2 + 2h\), derivada respecto de \(h\) es \(2\)) y denominador:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1 + (2+2h)^3} \cdot 2}{1} $$Evaluando en \(h = 0\):
$$ = \sqrt{1 + 2^3} \cdot 2 = \sqrt{9} \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6 $$ $$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \int_2^{2+2h} \sqrt{1 + t^3}\, dt = 6 $$Sea \(g(t) = (5t + 2)\cos(t^2)\). Esta funcion es continua en todo \(\mathbb{R}\) (es producto de funciones continuas).
Por TFC:
$$ F'(x) = g(x) = (5x + 2)\cos(x^2) $$Evaluamos en \(x = 0\) (que es el punto de tangencia pedido):
$$ F'(0) = (5 \cdot 0 + 2)\cos(0^2) = 2 \cdot \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2 $$Como \(F'(0) = 2 \neq 0\), la recta tangente en \((0, 0)\) no es horizontal. La afirmación es Falsa.
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