Primer recuperatorio de Análisis Matemático I · Parcial resuelto

01

Continuidad y derivabilidad

Función a trozos Límites laterales

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Consigna

Considerando la función

$$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+2}{x^2-4} & \text{si } x \lt -2 \\[8pt] -\dfrac{1}{4} & \text{si } x = -2 \\[8pt] \dfrac{\sqrt{-x} - \sqrt{2}}{x+2} & \text{si } x \gt -2 \end{cases} $$

a) Analizar la continuidad de $f$ en $x = -2$. En caso de ser discontinua, clasificar el tipo de discontinuidad.

b) Sin realizar cuentas, ¿es $f$ derivable en $x = -2$?

Lo que hace falta recordar

$f$ es continua en $a$ cuando se cumplen las tres condiciones: existe $f(a)$, existe $\lim_{x \to a} f(x)$, y los dos valores coinciden. En una función a trozos, el límite existe solo si los dos laterales dan lo mismo.

Gema

Las tres condiciones se verifican en ese orden. Si la primera falla, ya no hace falta seguir: no puede ser continua en un punto donde ni siquiera está definida.

Parte a

Desarrollo

1

Valor de la función

Por la definición del trozo del medio:

$$ f(-2) = -\frac{1}{4} $$

Existe. Primera condición cumplida.

2

Límite lateral derecho $(x \to -2^+)$

Para $x \gt -2$ vale la rama con la raíz. Racionalizamos multiplicando por el conjugado:

$$ \lim_{x \to -2^+} \frac{\sqrt{-x}-\sqrt{2}}{x+2} \cdot \frac{\sqrt{-x}+\sqrt{2}}{\sqrt{-x}+\sqrt{2}} = \lim_{x \to -2^+} \frac{(-x)-2}{(x+2)\left(\sqrt{-x}+\sqrt{2}\right)} $$

Como $(-x)-2 = -(x+2)$, el factor se simplifica:

$$ = \lim_{x \to -2^+} \frac{-(x+2)}{(x+2)\left(\sqrt{-x}+\sqrt{2}\right)} = \lim_{x \to -2^+} \frac{-1}{\sqrt{-x}+\sqrt{2}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} $$

3

Límite lateral izquierdo $(x \to -2^-)$

Para $x \lt -2$ vale la rama racional. Factorizamos el denominador:

$$ \lim_{x \to -2^-} \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to -2^-} \frac{1}{x-2} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} $$

4

Comparación

$$ \lim_{x \to -2^+} f(x) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \approx -0{,}354 \qquad \neq \qquad \lim_{x \to -2^-} f(x) = -0{,}25 $$

Resultado

Los laterales son distintos, así que no existe $\lim_{x \to -2} f(x)$. En $x = -2$ hay una discontinuidad esencial de primera especie (salto finito).

Parte b

Propiedad que resuelve la parte b

La derivabilidad implica continuidad. Leído al revés, que es como se usa: si $f$ no es continua en $a$, entonces $f$ no es derivable en $a$.

Resultado

Como en $x = -2$ la función tiene una discontinuidad esencial, no existe $f'(-2)$. No hace falta ninguna cuenta.

Dónde se pierde el punto

Dar por continua la función porque $f(-2)$ coincide con uno de los límites laterales. Que uno de los dos dé $-\tfrac14$ no alcanza: para que haya límite, los dos laterales tienen que ser iguales entre sí, y recién después compararse con $f(-2)$.

Elvira

La parte b) vale lo mismo que la a) y se contesta en dos renglones. Si te quedaste sin tiempo, empezá por ésta.

02

Cálculo de límites

Indeterminaciones Tres incisos

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Inciso 2a

Consigna

$$ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{x+3} $$

Lo que hace falta recordar

Es una indeterminación $1^{\infty}$. Se sale llevando la base a la forma $\left(1+\tfrac{1}{t}\right)^{t}$, cuyo límite es $e$ tanto con $t \to +\infty$ como con $t \to -\infty$.

Gema

El cambio de variable no es un adorno: es lo que te deja aplicar el límite notable sin inventarte nada. Escribilo siempre, aunque lo veas de memoria.

Desarrollo

1

Reescribir la base

$$ \frac{x-1}{x+2} = \frac{(x+2)-3}{x+2} = 1 - \frac{3}{x+2} $$

2

Cambio de variable

Tomamos $\dfrac{-3}{x+2} = \dfrac{1}{t}$, o sea $-3t = x+2$ y $x = -3t-2$.

Si $x \to +\infty$, entonces $t \to -\infty$. El exponente queda $x+3 = -3t+1$.

3

Sustituir y separar

$$ \lim_{t \to -\infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{-3t+1} = \lim_{t \to -\infty} \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{-3} \cdot \left(1+\frac{1}{t}\right) $$

4

Evaluar

El corchete tiende a $e$ y el último factor a $1$.

Resultado

$$ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{x+3} = e^{-3} = \frac{1}{e^{3}} $$

Inciso 2b

Consigna

$$ \lim_{x \to +\infty} e^{-x} \cdot \cos x $$

Lo que hace falta recordar

Infinitésimo por acotada da cero. Si un factor tiende a $0$ y el otro se queda entre dos números fijos, el producto tiende a $0$ — aunque el segundo no tenga límite.

Desarrollo

1

Identificar los dos factores

Infinitésimo: $e^{-x} = \left(\tfrac{1}{e}\right)^{x} \to 0$ cuando $x \to +\infty$, porque $\tfrac{1}{e} \lt 1$.

Acotada: $-1 \leq \cos x \leq 1$ para todo $x$.

2

Aplicar la propiedad

El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.

Resultado

$$ \lim_{x \to +\infty} e^{-x} \cdot \cos x = 0 $$

Dónde se pierde el punto

Escribir que el límite «no existe porque $\cos x$ no tiene límite». El coseno efectivamente no tiene límite en el infinito, pero eso es justamente lo que la propiedad permite esquivar: alcanza con que esté acotado.

Inciso 2c

Consigna

$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2-5}}{x+5} $$

Lo que hace falta recordar

$\sqrt{x^{2}} = |x|$, no $x$. Y cuando $x \to -\infty$ se tiene $x \lt 0$, así que $|x| = -x$. Ese signo es todo el ejercicio.

Elvira

Si el resultado te da $+1$, volvé al paso de la raíz: te comiste el módulo. Es el error más repetido de toda la unidad.

Desarrollo

1

Sacar $x^{2}$ de la raíz

$$ \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2-5}}{x+5} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}\left(1-\frac{5}{x^{2}}\right)}}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)} = \lim_{x \to -\infty}\frac{|x|\,\sqrt{1-\frac{5}{x^{2}}}}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)} $$

2

Usar que $x \lt 0$

Como $x \to -\infty$, vale $|x| = -x$ y el cociente $\tfrac{-x}{x}$ deja un $-1$:

$$ = \lim_{x \to -\infty}\frac{-x \cdot \sqrt{1-\frac{5}{x^{2}}}}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)} = \lim_{x \to -\infty}\frac{-\sqrt{1-\frac{5}{x^{2}}}}{1+\frac{5}{x}} $$

3

Evaluar

Con $x \to -\infty$ se anulan $\tfrac{5}{x^{2}}$ y $\tfrac{5}{x}$.

Resultado

$$ \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2-5}}{x+5} = \frac{-\sqrt{1-0}}{1+0} = -1 $$

03

Asíntota oblicua

Asíntotas Justificar

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Consigna

¿La recta $y = -x-2$ es asíntota oblicua de $g(x) = \dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$? Justificar.

Lo que hace falta recordar

La recta $y = mx + b$ es asíntota oblicua de $g$ cuando $x \to \pm\infty$ si

$$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{g(x)}{x} \qquad \text{y} \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl[g(x) - mx\bigr] $$

Los dos límites tienen que existir y ser finitos, y $m \neq 0$.

Desarrollo

1

Calcular $m$

$$ m = \lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x\left(x^{2}-1\right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{x^{2}}} = 1 $$

Ya con esto alcanzaría: la recta propuesta tiene $m = -1$. Igual completamos.

2

Calcular $b$

$$ b = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{x^{3}}{x^{2}-1} - x\right] = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - x\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^{2}-1} = 0 $$

Resultado

No. La asíntota oblicua de $g$ es $y = x$. La recta propuesta tiene $m = -1$ y $b = -2$; los valores correctos son $m = 1$ y $b = 0$.

Gema

Un chequeo de dos segundos antes de calcular: si el grado del numerador supera al del denominador en exactamente 1, hay asíntota oblicua. Acá es $3$ contra $2$, así que existe — la pregunta es cuál.

Dónde se pierde el punto

Contestar «no» sin las cuentas, o contestar «sí» porque la recta «se parece». La consigna pide justificar: el punto está en calcular $m$ y $b$ y compararlos, no en el sí o el no.

04

Latas cilíndricas

Modelización Dominio e imagen

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Consigna

Una empresa necesita envasar un producto en latas cilíndricas, de manera tal que el diámetro de la base sea la mitad de la altura. (Ayuda: $V = \pi r^{2} h$)

a) Encontrar la función que relaciona el volumen con el radio. Determinar dominio e imagen.

b) ¿Cuál debe ser el radio del cilindro si su capacidad es de 750 cm³?

Lo que hace falta recordar

El diámetro es $D = 2r$. Traducir la condición del enunciado a una ecuación es el ejercicio entero: «el diámetro es la mitad de la altura» se escribe $2r = \tfrac{h}{2}$, de donde $h = 4r$.

Parte a

Desarrollo

1

Interpretar la condición

$$ D = \frac{h}{2} \implies 2r = \frac{h}{2} \implies h = 4r $$

2

Sustituir en la fórmula del volumen

$$ V(r) = \pi r^{2} h = \pi r^{2} \cdot 4r = 4\pi r^{3} $$

3

Dominio e imagen

$r$ es un radio, así que es positivo; y el volumen que resulta también.

Resultado

$$ V(r) = 4\pi r^{3} \qquad \text{Dom}\,V = (0,\, +\infty) \qquad \text{Im}\,V = (0,\, +\infty) $$

Parte b

Desarrollo

1

Despejar $r$ con $V = 750$

$$ 750 = 4\pi r^{3} \implies r^{3} = \frac{750}{4\pi} \implies r = \sqrt[3]{\frac{750}{4\pi}} $$

Resultado

$$ r \approx 3{,}9 \ \text{cm} $$

Elvira

Verificá siempre para atrás: con $r \approx 3{,}9$ queda $V = 4\pi \cdot 3{,}9^{3} \approx 745$. Cerquita de 750, así que el despeje cierra.

Dónde se pierde el punto

Leer «el diámetro es la mitad de la altura» como $r = \tfrac{h}{2}$. Es el diámetro, no el radio: sale $h = 2r$ en vez de $h = 4r$, y el volumen queda a la mitad para el resto del ejercicio.

05

Recta tangente paralela

Derivada Regla del cociente

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Consigna

Hallar los puntos, si existen, en los cuales la recta tangente a la gráfica de $h(x) = \dfrac{4x}{x+1}$ es paralela a la recta $y = x + 7$.

Lo que hace falta recordar

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, y la pendiente de la tangente en $x = a$ es $h'(a)$. Entonces la condición es $h'(a) = 1$.

Regla del cociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$.

Desarrollo

1

Pendiente de la recta dada

$y = x + 7$ tiene $m = 1$. Buscamos entonces dónde $h'(x) = 1$.

2

Derivar $h$

$$ h'(x) = \frac{4(x+1) - 4x \cdot 1}{(x+1)^{2}} = \frac{4x+4-4x}{(x+1)^{2}} = \frac{4}{(x+1)^{2}} $$

3

Igualar a 1 y resolver

$$ \frac{4}{(x+1)^{2}} = 1 \implies (x+1)^{2} = 4 \implies |x+1| = 2 $$

De ahí salen dos soluciones: $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1$ y $x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3$.

4

Volver a la función para tener los puntos

$h(1) = \dfrac{4}{2} = 2$ y $h(-3) = \dfrac{-12}{-2} = 6$.

Resultado

Los puntos son $(1,\, 2)$ y $(-3,\, 6)$.

Dónde se pierde el punto

Contestar $x = 1$ y $x = -3$ y cerrar ahí. La consigna pide puntos, no abscisas: hay que volver a $h$ y dar el par $(x,\, h(x))$ completo.

Gema

Ojo con $(x+1)^{2} = 4$: la raíz cuadrada de los dos lados da $|x+1| = 2$, que son dos ecuaciones. Si te quedás solo con la positiva, perdés la mitad de la respuesta.

06

Cálculo de derivadas

Regla de la cadena Regla del producto

▼

Inciso 6a

Consigna

$$ f(x) = \log\left(3x^{2} - 2x\right) $$

Lo que hace falta recordar

$$ \left(\log_{a} u\right)' = \frac{u'}{u \cdot \ln a} $$

Acá $\log$ es base 10, así que el $\ln 10$ queda. Con $\ln$ (base $e$) ese factor desaparece, porque $\ln e = 1$.

Desarrollo

1

Aplicar la regla de la cadena

$$ f'(x) = \frac{1}{\left(3x^{2}-2x\right)\ln 10} \cdot (6x - 2) $$

Resultado

$$ f'(x) = \frac{6x-2}{\left(3x^{2}-2x\right)\ln 10} $$

Dónde se pierde el punto

Derivar $\log$ como si fuera $\ln$ y olvidarse del $\ln 10$ del denominador.

Inciso 6b

Consigna

$$ p(x) = \frac{2}{x^{4}}\left(x^{4} + \sqrt{x-5}\right) $$

Elvira

Antes de derivar, mirá si se puede simplificar: $\tfrac{2}{x^{4}} \cdot x^{4} = 2$, y la derivada de una constante es cero. Con eso el ejercicio se acorta a la mitad. Igual acá va la regla del producto, que es lo que pedía el parcial.

Lo que hace falta recordar

$$ (u \cdot v)' = u'v + uv' \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} $$

Desarrollo

Escribimos $p(x) = 2x^{-4}\left(x^{4} + \sqrt{x-5}\right)$ y aplicamos la regla del producto.

1

Derivada del primer factor

$$ \left(2x^{-4}\right)' = -8x^{-5} = -\frac{8}{x^{5}} $$

2

Derivada del segundo factor

$$ \left(x^{4} + \sqrt{x-5}\right)' = 4x^{3} + \frac{1}{2\sqrt{x-5}} $$

3

Armar el producto

Reemplazamos las dos derivadas en $u'v + uv'$.

Resultado

$$ p'(x) = -\frac{8}{x^{5}}\left(x^{4}+\sqrt{x-5}\right) + \frac{2}{x^{4}}\left(4x^{3}+\frac{1}{2\sqrt{x-5}}\right) $$