Este es el primero de tres apuntes sobre sistemas de ecuaciones. Acá construimos el significado: qué es un sistema, qué es su solución y por qué a veces hay una, a veces ninguna y a veces infinitas.
La herramienta de este apunte es el método gráfico, que es el único que deja ver la respuesta. En el segundo vienen los métodos algebraicos —sustitución, igualación y reducción— y en el tercero, la regla de Cramer.
Al terminar vas a poder:
Verificar si un par ordenado es solución de un sistema, y explicar por qué la solución es un par y no un número.
Resolver un sistema gráficamente: pasar a la forma explícita, trazar las dos rectas y leer el punto.
Clasificar un sistema en compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Traducir una situación problemática a un sistema y decidir si la solución tiene sentido en el contexto.
Arranquemos por una sola ecuación. Cuando una ecuación tiene dos incógnitas, como \(2x + y = 1\), no hay un valor que la resuelva: hay pares de valores.
Probá con \(2x + y = 1\): si \(x = 0\), entonces \(y = 1\); si \(x = 2\), entonces \(y = -3\); si \(x = -1\), entonces \(y = 3\). Los tres pares funcionan, y hay infinitos más. Todos juntos forman la recta:
Cada punto de la recta es una solución de 2x + y = 1. Hay infinitas.
Con infinitas soluciones no se puede decidir nada. Por eso aparece la segunda ecuación: para filtrar.
De todos los pares que cumplen la primera ecuación, buscamos los que además cumplen la segunda. Probemos con \((2,\,-3)\):
Las dos dan verdadero, así que \((2,\,-3)\) es la solución. Se escribe como par ordenado, siempre en el orden \((x,\,y)\), y muchas veces como conjunto solución: \(S = \{(2,\,-3)\}\).
Gema
Ojo con esto, que se pregunta en todos los parciales: la solución de un sistema de dos incógnitas no es un número, es un par. Si contestás "la solución es 2", te falta la mitad de la respuesta.
Y hay una lectura gráfica que vale por todo el apunte: si cada ecuación es una recta, y la solución tiene que estar en las dos rectas al mismo tiempo, entonces resolver el sistema es encontrar el punto de intersección.
Las dos rectas se cruzan en un solo punto, y ese punto es la solución.
El método gráfico es el más directo de entender: dibujá las dos rectas y fijate dónde se cruzan. Tiene tres pasos.
Despejar la \(y\) en las dos ecuaciones, para dejarlas en la forma explícita \(y = mx + b\).
Graficar las dos rectas en el mismo par de ejes, con la ordenada al origen y la pendiente.
Leer el punto de intersección y verificarlo en las dos ecuaciones originales.
El paso 1 es el que más se usa y el que más errores trae. La forma explícita es la que la calculadora, el graficador y tu cabeza entienden mejor:
Ahí, \(m\) es la pendiente —cuánto sube la recta por cada unidad que avanza— y \(b\) es la ordenada al origen, o sea el valor de \(y\) donde la recta corta el eje vertical. Con esos dos números la recta queda dibujada sin hacer tabla.
Veamos el despeje completo de una ecuación, que es donde se cae la mayoría:
Partimos de \(2x - 3y = 4\) y dejamos sola a la \(y\).
$$ -3y = -2x + 4 $$El \(-3\) divide a los dos términos de la derecha, no a uno solo.
$$ y = \frac{-2x + 4}{-3} = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} $$
Elvira
Acá se cae medio curso: dividen el primer término por \(-3\) y se olvidan del segundo, o dejan un signo sin cambiar. Control de diez segundos: reemplazá un valor cualquiera de \(x\) en la ecuación original y en la despejada. Tiene que dar el mismo \(y\).
El método gráfico tiene una ventaja enorme y una limitación seria. La ventaja: se ve lo que está pasando, y de un vistazo sabés si hay una solución, ninguna o infinitas. La limitación: si el punto de cruce cae en \((2.7,\,-1.4)\), del dibujo no lo vas a poder leer con precisión.
Dos rectas en el plano tienen exactamente tres formas de convivir: se cruzan, son la misma o no se tocan nunca. No hay una cuarta. Y a cada caso le corresponde un nombre y una cantidad de soluciones.
Se cortan en un punto: una única solución.
Son la misma recta dibujada dos veces: cada uno de sus puntos es solución.
Mirá las dos ecuaciones del gráfico: \(2x + 2y = 6\) es exactamente \(x + y = 3\) multiplicada por 2. La segunda ecuación no aporta información nueva; repite lo que ya decía la primera.
Misma inclinación, distinta altura: no se cruzan nunca.
Dibujar cada vez es lento. Como el caso depende solo de la pendiente y de la ordenada al origen, alcanza con pasar las dos ecuaciones a la forma explícita y comparar:
¿Qué tipo de sistema es?
Escribí las dos ecuaciones en la forma explícita \(y = mx + b\).
Si alguna te queda del tipo \(x = k\) —una recta vertical, sin pendiente— compará directamente los dibujos: no entra en este árbol.
¿Las pendientes \(m\) son distintas?
Secantes · Compatible determinado.
Una única solución. Distinta inclinación obliga a que se crucen, y a que se crucen una sola vez.
¿Las ordenadas al origen \(b\) son iguales?
Coincidentes · Compatible indeterminado.
Infinitas soluciones: misma pendiente y misma ordenada es la misma recta. Una ecuación es múltiplo de la otra.
Paralelas · Incompatible.
Ninguna solución. Van igual de inclinadas pero separadas: nunca se encuentran.
Gema
Atajo para el examen: si una ecuación es la otra multiplicada por un número —los tres coeficientes, incluido el término independiente— es indeterminado. Si coinciden los coeficientes de \(x\) e \(y\) pero no el resultado, es incompatible.
Ninguna. Las dos ya están en forma explícita: la pendiente es \(m = 3\) en las dos, pero las ordenadas al origen son \(-2\) y \(5\). Rectas paralelas distintas.
Se puede ver también sin geometría: si \(y\) valiera lo mismo en las dos, tendría que cumplirse \(3x - 2 = 3x + 5\), o sea \(-2 = 5\), que es falso. $$ \boxed{\text{Sistema incompatible: } S = \emptyset} $$
Resolver gráficamente el sistema y clasificarlo.
Pasamos el término con \(x\) y dividimos los dos términos por \(-3\).
$$ -3y = -2x + 4 \;\Longrightarrow\; y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} $$Las pendientes son \(\frac{2}{3}\) y \(\frac{1}{2}\): distintas. Entonces ya sabemos que las rectas se cortan y que el sistema es compatible determinado.
Cada recta se traza con su ordenada al origen y su pendiente.
Las dos rectas se cruzan en (5, 2).
Este paso no es opcional: el gráfico se lee a ojo y hay que confirmar.
$$ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 10 - 6 = 4 \qquad -5 + 2 \cdot 2 = -5 + 4 = -1 $$Interpretación. Las dos igualdades se cumplen, así que $$\boxed{S = \{(5,\,2)\}}$$ y el sistema es compatible determinado. El par se escribe siempre en el orden \((x,\,y)\): acá \(x = 5\) e \(y = 2\), no al revés.
En un estacionamiento hay 39 vehículos entre autos y motos. Contando las ruedas de todos, se llega a 126. ¿Cuántos vehículos de cada clase hay?
Siempre lo primero, y siempre por escrito. Sin esto, las ecuaciones que salen después no significan nada.
\(x\): cantidad de autos (4 ruedas cada uno). \(y\): cantidad de motos (2 ruedas cada una).
Cada dato del enunciado se convierte en una ecuación.
| Lo que dice el enunciado | Cómo se escribe |
|---|---|
| Hay 39 vehículos entre autos y motos | \(x + y = 39\) |
| Cada auto tiene 4 ruedas y cada moto, 2 | ruedas de autos: \(4x\); de motos: \(2y\) |
| En total hay 126 ruedas | \(4x + 2y = 126\) |
Las pendientes son \(-1\) y \(-2\): distintas, así que hay una única solución.
$$ y = -x + 39 \qquad y = -2x + 63 $$Solo importa el primer cuadrante: no existen -3 motos.
El cruce cae en \((24,\,15)\). Lo comprobamos en las dos ecuaciones originales, no en las despejadas.
$$ 24 + 15 = 39 \qquad 4 \cdot 24 + 2 \cdot 15 = 96 + 30 = 126 $$Interpretación. En el estacionamiento hay $$\boxed{24 \text{ autos y } 15 \text{ motos}}$$ Dos observaciones que valen para todos los problemas de esta unidad. La primera: la solución tiene que tener sentido en el contexto, y acá lo tiene, porque los dos valores son enteros y positivos. La segunda: si el cruce hubiera caído entre dos marcas de la grilla, el gráfico solo daría una aproximación. Para eso están los métodos del próximo apunte.
Clasificar los tres sistemas sin calcular la solución.
Es el único trabajo real; después se compara y listo.
$$ \text{(a)}\; y = 3x - 2 \;\text{ y }\; y = 3x - \tfrac{7}{2} \qquad \text{(b)}\; y = 3x - 2 \;\text{ y }\; y = 3x - 2 \qquad \text{(c)}\; y = 3x - 2 \;\text{ y }\; y = -x + 6 $$En (a) y (b) la pendiente es la misma, \(m = 3\); lo que las separa es la ordenada al origen. En (c) las pendientes ya son distintas.
| Sistema | Pendientes | Ordenadas | Clasificación |
|---|---|---|---|
| (a) | iguales | distintas | Incompatible: rectas paralelas |
| (b) | iguales | iguales | Compatible indeterminado: coincidentes |
| (c) | distintas | — | Compatible determinado: secantes |
Interpretación. En (b), la segunda ecuación es la primera multiplicada por 2, entera: no agrega nada. En (a), en cambio, alguien multiplicó por 2 el lado izquierdo pero dejó otro resultado a la derecha, y eso es una contradicción: $$\boxed{\text{(a) incompatible} \quad \text{(b) indeterminado} \quad \text{(c) determinado}}$$
Elvira
Los cuatro que siguen los vas a ver en todas las correcciones. Ninguno es de cuentas complicadas: son de lectura apurada y de despejes hechos de memoria.
Error: dar como respuesta un solo número. "La solución del sistema es \(x = 2\)".
Correcto: la solución es el par completo, \((2,\,-3)\), o el conjunto \(S = \{(2,\,-3)\}\). Un solo valor no alcanza para verificar ninguna de las dos ecuaciones.
Error: despejar mal al dividir. De \(-3y = -2x + 4\) escribir \(y = 2x + 4\), dividiendo solo el primer término.
Correcto: el \(-3\) divide a los dos términos: \(y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}\). Control rápido: probá con \(x = 2\) en las dos versiones. La original da \(y = 0\); la mal despejada da \(y = 8\).
Error: suponer que dos ecuaciones escritas distinto son dos rectas distintas. Ver \(x + y = 3\) y \(2x + 2y = 6\) y buscar el punto de corte.
Correcto: son la misma recta, y el sistema es compatible indeterminado. Antes de resolver, mirá si una ecuación es múltiplo de la otra.
Error: leer del gráfico un valor aproximado y presentarlo como exacto. Anotar \((2.9,\,1.1)\) porque el cruce "cae más o menos ahí".
Correcto: el método gráfico se usa para ver el caso y estimar. Si el punto no cae justo en la grilla, avisá que es una aproximación, o resolvelo algebraicamente y usá el gráfico para controlar el resultado.
| Las rectas | Soluciones | Clasificación |
|---|---|---|
| Secantes: se cortan | Una | Compatible determinado |
| Coincidentes: son la misma | Infinitas | Compatible indeterminado |
| Paralelas distintas | Ninguna | Incompatible |
Y la versión algebraica de esa misma tabla, comparando las formas explícitas:
| Pendientes | Ordenadas al origen | Resultado |
|---|---|---|
| Distintas | no importan | Compatible determinado |
| Iguales | Iguales | Compatible indeterminado |
| Iguales | Distintas | Incompatible |
Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones: son los puntos de una recta.
La solución de un sistema es un par ordenado \((x,\,y)\), y hay que verificarla en las dos ecuaciones.
Resolver gráficamente es buscar la intersección de las dos rectas.
En un problema, la solución además tiene que tener sentido: no hay 3.5 motos ni -2 personas.
Elvira y Gema
Los seis van de menor a mayor. En los que piden gráfico, hacelo en hoja cuadriculada: dos puntos por recta alcanzan. Y en los problemas, empezá siempre escribiendo qué representa cada letra.
El par es \((x,\,y)\), así que \(x = 3\) e \(y = 1\).
$$ 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5 $$No alcanza con que funcione en una: tiene que cumplir las dos.
$$ 3 + 4 \cdot 1 = 3 + 4 = 7 $$Resultado: $$ \boxed{\text{Sí, } (3,\,1) \text{ es solución del sistema.}} $$
Interpretación. Gráficamente: el punto \((3,\,1)\) pertenece a las dos rectas, o sea que es el punto donde se cruzan.
La segunda ya viene despejada.
$$ y = -x + 4 \qquad y = 2x - 2 $$Pendientes \(-1\) y \(2\): distintas, entonces son secantes y hay una única solución.
La primera pasa por \((0,\,4)\) y \((4,\,0)\); la segunda, por \((0,\,-2)\) y \((1,\,0)\). Se cruzan en \((2,\,2)\).
Resultado: $$ \boxed{S = \{(2,\,2)\} \quad \text{compatible determinado}} $$
Verificación. \(2 + 2 = 4\) y \(2 = 2 \cdot 2 - 2\). Las dos cierran.
La segunda ecuación es la primera multiplicada por 2, coeficientes y resultado incluidos.
$$ y = 2x - 3 \quad \text{y} \quad y = 2x - 3 $$Mismos coeficientes de \(x\) e \(y\), distinto término independiente.
$$ y = -\tfrac{1}{2}x + 2 \quad \text{y} \quad y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2} $$Pendientes \(1\) y \(-1\): distintas.
$$ y = x - 1 \quad \text{y} \quad y = -x + 5 $$Resultado: $$ \boxed{\text{(a) indeterminado} \quad \text{(b) incompatible} \quad \text{(c) determinado}} $$
Verificación. En (c) se puede chequear el cruce: \((3,\,2)\) cumple \(3 - 2 = 1\) y \(3 + 2 = 5\).
\(x\): el número mayor. \(y\): el número menor.
Pendientes \(-1\) y \(1\): secantes. Las rectas se cruzan en \((19,\,11)\).
$$ y = -x + 30 \qquad y = x - 8 $$Resultado: $$ \boxed{\text{Los números son } 19 \text{ y } 11} $$
Verificación. \(19 + 11 = 30\) y \(19 - 11 = 8\). Las dos condiciones se cumplen, y los dos valores son positivos, que es lo que el enunciado espera.
\(x\): cantidad de mujeres. \(y\): cantidad de hombres.
La primera cuenta personas; la segunda, plata. Nunca se mezclan las dos cosas en una misma ecuación.
$$ \begin{cases} x + y = 350 \\ 600x + 800y = 240000 \end{cases} $$Los tres términos se pueden dividir por 200. Sirve para graficar con números manejables.
$$ 3x + 4y = 1200 $$Pendientes \(-1\) y \(-\frac{3}{4}\): distintas, una única solución, en \((200,\,150)\).
$$ y = -x + 350 \qquad y = -\tfrac{3}{4}x + 300 $$Resultado: $$ \boxed{200 \text{ mujeres y } 150 \text{ hombres}} $$
Verificación. \(200 + 150 = 350\) personas, y \(600 \cdot 200 + 800 \cdot 150 = 120000 + 120000 = 240000\) pesos. Los dos valores son enteros y positivos, así que el resultado tiene sentido.
Cada ecuación lineal es una recta, y cada solución del sistema es un punto que está en las dos. Dos soluciones significaría dos puntos compartidos.
Por dos puntos distintos pasa una sola recta. Si las dos rectas comparten dos puntos, son la misma recta, y entonces comparten todos sus puntos, no dos.
Ninguna solución (paralelas), una (secantes) o infinitas (coincidentes). No hay más casos.
Resultado: $$ \boxed{\text{No es posible: 0, 1 o infinitas, nunca exactamente 2.}} $$
Interpretación. Esto vale solo porque las ecuaciones son lineales. Si una fuera una parábola, por ejemplo, dos puntos de corte serían perfectamente posibles.
¿Encontraste algo que no cuadra? Un signo, un despeje, un gráfico que no carga, un link roto — contámelo y lo corrijo. Este apunte se hace mejor entre todos: cada aviso suma para que vos y toda la comunidad Insighters puedan estudiar con el mejor material posible. ¡Gracias!