Este es el segundo de tres apuntes sobre sistemas. En el primero vimos qué significa la solución y cómo leerla en un gráfico. El problema es que el gráfico solo da valores aproximados, y cuando la solución cae en \(\left(\frac{9}{5},\,\frac{2}{5}\right)\) no hay dibujo que la muestre.
Acá vienen los tres métodos que dan el valor exacto: sustitución, igualación y reducción. Los tres llegan al mismo resultado y los tres hacen, en el fondo, la misma jugada.
La jugada común: bajar de dos incógnitas a una, resolverla, y volver por la otra.
Al terminar vas a poder:
Resolver un sistema por sustitución, por igualación y por reducción.
Elegir el método que menos cuentas te hace hacer, en lugar de usar siempre el mismo.
Reconocer los finales raros: cuando queda \(0 = 0\) y cuando queda un absurdo.
Traducir una situación problemática a un sistema, resolverlo y revisar si la respuesta tiene sentido.
Despejar una incógnita en una de las dos ecuaciones.
Sustituir esa expresión en la otra ecuación y resolverla.
Volver a la expresión del paso 1 para obtener la incógnita que falta.
Despejo en una ecuación y reemplazo en la OTRA. Nunca en la misma.
Resolvamos el sistema que en el apunte anterior habíamos leído del gráfico. Ahora sin dibujar nada.
Conviene la \(x\) de la segunda ecuación, porque tiene coeficiente 1 y sale sin fracciones.
$$ x - y = 5 \;\Longrightarrow\; x = 5 + y $$Donde dice \(x\) en la primera, escribimos \(5 + y\) entre paréntesis. El paréntesis no es decorativo: el 2 multiplica a todo.
$$ 2(5 + y) + y = 1 $$Usamos la expresión del paso 1, que ya estaba lista.
$$ x = 5 + (-3) = 2 $$Las dos cierran, así que la solución es $$\boxed{S = \{(2,\,-3)\}}$$ Es exactamente el punto que habíamos leído en el gráfico, pero ahora obtenido con cuentas, sin depender de la vista.
Gema
Antes de despejar, mirá los cuatro coeficientes y elegí el que valga \(1\) o \(-1\). Ese despeje no tiene fracciones, y sin fracciones no hay errores de fracciones. Si no hay ninguno, probablemente te convenga reducción.
Dos expresiones que valen lo mismo se pueden igualar entre sí.
Tiene que ser \(x\) otra vez. Si despejás \(y\) acá, no hay nada que igualar.
$$ 2x = 1 + 3y \;\Longrightarrow\; x = \frac{1 + 3y}{2} $$Multiplicamos todo por 2 para sacar el denominador y agrupamos.
$$ 2 + 2y = 1 + 3y \;\Longrightarrow\; 2 - 1 = 3y - 2y \;\Longrightarrow\; y = 1 $$Sirve cualquiera de las dos expresiones despejadas; usamos la más simple.
$$ x = 1 + y = 1 + 1 = 2 $$Verificamos: \(2 - 1 = 1\) y \(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 1\). Entonces $$\boxed{S = \{(2,\,1)\}}$$
Empecemos por el caso fácil, en el que ya vienen opuestos: \(+2y\) y \(-2y\).
Sumando las dos ecuaciones, la y desaparece sola.
Se suman los lados izquierdos entre sí y los derechos entre sí.
$$ \begin{array}{rcl} 3x + 2y &=& 14 \\ x - 2y &=& 2 \\ \hline 4x &=& 16 \end{array} $$Elegimos la segunda, que se ve más simple.
$$ 4 - 2y = 2 \;\Longrightarrow\; -2y = -2 \;\Longrightarrow\; y = 1 $$Verificamos en la primera: \(3 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 14\). Entonces $$\boxed{S = \{(4,\,1)\}}$$
La mayoría de las veces no vienen tan cómodos. Ahí hay que fabricarlos, multiplicando una ecuación entera por un número.
La \(y\) es la candidata: sus coeficientes son \(-2\) y \(-1\). Multiplicando la segunda ecuación por \(-2\), pasa a tener \(+2y\), que es el opuesto de \(-2y\).
Los tres términos, incluido el resultado. Multiplicar solo una parte cambia la ecuación.
$$ (-2) \cdot (4x - y = 0) \;\Longrightarrow\; -8x + 2y = 0 $$La segunda, \(4x - y = 0\), da la \(y\) en un solo paso.
$$ y = 4x = 4 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{4}{5} $$La solución es $$\boxed{S = \left\{ \left(-\tfrac{1}{5},\, -\tfrac{4}{5}\right) \right\}}$$ Este es justamente el tipo de resultado que el método gráfico no podía dar: nadie lee \(-0.2\) y \(-0.8\) de un dibujo.
Elvira
Cuando multiplicás una ecuación, multiplicás todo: los dos términos con letras y el número de la derecha. El error clásico es dejar el término independiente sin tocar, y ahí el sistema que resolvés ya no es el que te dieron.
A veces, al sumar, no se cancela una incógnita sino las dos. No es un error: es el sistema avisando que no era del caso normal. Lo que quede a la vista decide todo.
En el primero, multiplicamos la primera ecuación por \(-2\) y sumamos: \(-2x - 2y = -6\) más \(2x + 2y = 6\) da \(0 = 0\). Es verdad, pero no dice nada sobre \(x\) ni sobre \(y\): cualquier par que cumpla \(x + y = 3\) sirve. El sistema es compatible indeterminado y su conjunto solución se escribe dejando una incógnita libre:
En el segundo, restamos una ecuación de la otra y queda \(0 = 3\), que es falso. No hay ningún par que arregle eso: el sistema es incompatible y \(S = \emptyset\). Son los mismos dos casos que en el apunte anterior veíamos como rectas coincidentes y rectas paralelas.
Un sistema casi nunca aparece escrito. Aparece un párrafo, y hay que fabricarlo. La receta es siempre la misma y tiene tres movimientos: nombrar las incógnitas, traducir cada dato en una ecuación y recién ahí elegir el método.
Gema
Escribí siempre qué representa cada letra, con unidad incluida: "\(x\): cantidad de kilos de pan". Parece un trámite, pero es lo que evita el error más caro de todos, que es contestar el número correcto de la pregunta equivocada.
En un colegio se elaboran dulce de leche y pan para recaudar fondos. Por cada kilo vendido se gana $35 con el dulce de leche y $25 con el pan. Por lo vendido otros años, se sabe que se puede vender un 50 % más de dulce de leche que de pan. Si quieren recaudar $15.500, ¿cuántos kilos de cada producto tienen que vender?
\(x\): kilos de dulce de leche. \(y\): kilos de pan.
"Un 50 % más de dulce de leche que de pan" significa que el dulce es el pan más su mitad, o sea 1.5 veces el pan.
| Lo que dice el enunciado | Cómo se escribe |
|---|---|
| Se gana $35 por kilo de dulce y $25 por kilo de pan | ganancias: \(35x\) y \(25y\) |
| Quieren recaudar $15.500 en total | \(35x + 25y = 15500\) |
| Se vende un 50 % más de dulce que de pan | \(x = 1.5\,y\) |
La segunda ecuación ya viene con la \(x\) despejada. Sustitución, sin dudarlo.
$$ 35 \cdot (1.5\,y) + 25y = 15500 $$Interpretación. Hay que vender $$\boxed{300 \text{ kg de dulce de leche y } 200 \text{ kg de pan}}$$ Verificación con los datos originales: \(35 \cdot 300 + 25 \cdot 200 = 10500 + 5000 = 15500\). Y 300 es efectivamente un 50 % más que 200.
En un test se suman 4 puntos por cada respuesta correcta y se resta 1 punto por cada respuesta equivocada. Un estudiante contestó 17 preguntas y obtuvo 43 puntos. ¿Cuántas contestó bien?
\(x\): cantidad de respuestas correctas. \(y\): cantidad de respuestas equivocadas.
Nunca hay que mezclar las dos cosas en una misma ecuación: son unidades distintas.
$$ \begin{cases} x + y = 17 \\ 4x - y = 43 \end{cases} $$Los coeficientes de \(y\) son \(+1\) y \(-1\): ya son opuestos. Reducción, y sin multiplicar nada.
$$ \begin{array}{rcl} x + y &=& 17 \\ 4x - y &=& 43 \\ \hline 5x &=& 60 \end{array} $$Interpretación. Contestó $$\boxed{12 \text{ correctas y } 5 \text{ equivocadas}}$$ Verificación en puntos: \(4 \cdot 12 - 5 = 48 - 5 = 43\). Y las dos cantidades son enteras y no negativas, como corresponde a cantidades de preguntas.
Hace 5 años, la edad de Sonia era el triple que la de Roberto. Dentro de 10 años será el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?
\(x\): edad actual de Sonia. \(y\): edad actual de Roberto. Es clave elegir el presente: todo lo demás se escribe a partir de ahí.
Hace 5 años los dos tenían 5 años menos; dentro de 10, los dos tendrán 10 más. El "menos 5" va a las dos personas, no solo a una.
| Momento | Sonia | Roberto | Relación |
|---|---|---|---|
| Hace 5 años | \(x - 5\) | \(y - 5\) | \(x - 5 = 3(y - 5)\) |
| Dentro de 10 años | \(x + 10\) | \(y + 10\) | \(x + 10 = 2(y + 10)\) |
Las dos quedan con la \(x\) sola de un lado: es el escenario ideal para igualación.
$$ x = 3y - 10 \qquad x = 2y + 10 $$Interpretación. Hoy $$\boxed{\text{Sonia tiene 50 años y Roberto, 20}}$$ Verificación en los dos momentos: hace 5 años tenían 45 y 15, y \(45 = 3 \cdot 15\); dentro de 10 tendrán 60 y 30, y \(60 = 2 \cdot 30\). Los dos datos del enunciado se cumplen.
Un orfebre fabrica un trofeo de oro y plata. El trofeo terminado pesa 1.300 gramos y costó $2.840. Si el oro sale $8 el gramo y la plata $1,70 el gramo, ¿cuántos gramos usó de cada metal?
\(x\): gramos de oro. \(y\): gramos de plata.
El peso se mide en gramos y el costo en pesos: dos ecuaciones distintas.
$$ \begin{cases} x + y = 1300 \\ 8x + 1.7\,y = 2840 \end{cases} $$La primera ecuación tiene las dos incógnitas con coeficiente 1: despejar de ahí no cuesta nada.
$$ y = 1300 - x \;\Longrightarrow\; 8x + 1.7\,(1300 - x) = 2840 $$El \(1.7\) multiplica a los dos términos del paréntesis, y el segundo es negativo.
$$ 8x + 2210 - 1.7\,x = 2840 \;\Longrightarrow\; 6.3\,x = 630 \;\Longrightarrow\; x = 100 $$Interpretación. El trofeo lleva $$\boxed{100 \text{ g de oro y } 1200 \text{ g de plata}}$$ Verificación del costo: \(8 \cdot 100 + 1.7 \cdot 1200 = 800 + 2040 = 2840\). Tiene todo el sentido del mundo que haya mucha más plata que oro: el oro cuesta casi cinco veces más por gramo.
Elvira
El primero de esta lista es el más frecuente de toda la unidad, y el más desconcertante: te da \(0 = 0\) y creés que el sistema es indeterminado, cuando en realidad diste una vuelta en círculo.
Error: sustituir en la misma ecuación de la que se despejó. Despejar \(x = 5 + y\) de la segunda y reemplazar en la segunda: \((5 + y) - y = 5\), o sea \(5 = 5\).
Correcto: la expresión despejada tiene que entrar en la otra ecuación, la que todavía no usaste. Volver a la misma es repetir lo que ya sabías, y por eso da una identidad sin información.
Error: sustituir sin paréntesis. Reemplazar \(x = 5 + y\) en \(2x + y = 1\) y escribir \(2 \cdot 5 + y + y = 1\).
Correcto: el 2 multiplica a toda la expresión: \(2(5 + y) + y = 1\), que da \(10 + 2y + y = 1\). El paréntesis se pone siempre, aunque después no haga falta.
Error: en reducción, multiplicar solo una parte de la ecuación. Convertir \(4x - y = 0\) en \(-8x + 2y = 0\) está bien porque el término independiente es cero, pero hacer lo mismo con \(4x - y = 3\) y dejar el 3 sin tocar, no.
Correcto: el multiplicador entra en todos los términos, incluido el de la derecha: \((-2) \cdot (4x - y = 3)\) da \(-8x + 2y = -6\).
Error: frenar en la primera incógnita. Llegar a \(x = 4\) y dar eso como respuesta.
Correcto: la solución es el par. Falta sustituir hacia atrás para conseguir \(y\), y falta verificar el par completo en las dos ecuaciones originales, no en las que fuiste despejando.
Error: en un problema, mezclar unidades en una misma ecuación. Escribir \(x + y = 17\) para las preguntas y después \(x + y = 43\) para los puntos, como si contaran lo mismo.
Correcto: cada ecuación cuenta una sola magnitud. Una cuenta preguntas: \(x + y = 17\). La otra cuenta puntos, y ahí cada pregunta vale distinto: \(4x - y = 43\).
Los tres métodos son igual de válidos y siempre llegan al mismo resultado. Lo que cambia es cuántas cuentas te hacen hacer. Este árbol elige el más corto:
¿Qué método me conviene?
Ordená las dos ecuaciones: los términos con \(x\) e \(y\) de un lado, los números del otro.
Si hay paréntesis, distribuilos; si hay fracciones, multiplicá la ecuación por el denominador. Recién con el sistema ordenado se puede elegir.
¿La misma incógnita ya está despejada en las dos ecuaciones?
Igualación.
Igualás los dos lados derechos y te queda una ecuación con una incógnita. Es el caso de las ecuaciones en forma \(y = mx + b\).
¿Alguna incógnita tiene coeficiente \(1\) o \(-1\) en alguna de las ecuaciones?
Sustitución.
Despejás esa incógnita y la reemplazás en la otra ecuación. Ojo: en la otra, nunca en la misma.
Reducción.
Multiplicás para que los coeficientes de una incógnita queden opuestos y sumás. Es también la mejor opción cuando ya vienen iguales u opuestos, aunque haya coeficientes 1.
| Método | Cómo empieza | Cuándo conviene |
|---|---|---|
| Sustitución | Despejás una incógnita en una ecuación | Cuando alguna tiene coeficiente 1 o -1 |
| Igualación | Despejás la misma incógnita en las dos | Cuando las dos ya están en forma \(y = mx + b\) |
| Reducción | Sumás las ecuaciones para cancelar | Cuando los coeficientes son iguales u opuestos |
Y el final de la cuenta también informa. Según lo que quede escrito, el sistema queda clasificado:
| Al final queda | Soluciones | Clasificación |
|---|---|---|
| Un valor, como \(x = 4\) | Una | Compatible determinado |
| \(0 = 0\), una verdad sin incógnitas | Infinitas | Compatible indeterminado |
| \(0 = 3\), un absurdo | Ninguna | Incompatible |
Elvira y Gema
Los tres primeros te dicen qué método usar, para que lo practiques. Del cuarto en adelante elegís vos. Y en todos, la última línea es la verificación: sin eso, el ejercicio está a medias.
La primera ecuación ya dice cuánto vale \(x\). Va directo a la segunda.
$$ 3(2y + 1) - y = 5 $$Resultado: $$ \boxed{S = \left\{ \left(\tfrac{9}{5},\, \tfrac{2}{5}\right) \right\}} $$
Verificación. En la segunda ecuación: \(3 \cdot \frac{9}{5} - \frac{2}{5} = \frac{27}{5} - \frac{2}{5} = \frac{25}{5} = 5\).
La \(y\) tiene coeficiente 1 en las dos ecuaciones: sale sin fracciones.
$$ y = -3 - 4x \qquad y = 11 + 3x $$Resultado: $$ \boxed{S = \{(-2,\,5)\}} $$
Verificación. \(4 \cdot (-2) + 5 = -3\) y \(-3 \cdot (-2) + 5 = 11\). Las dos cierran.
Los coeficientes de \(y\) son \(-4\) y \(-8\). Multiplicando la primera por \(-2\), queda \(+8y\), opuesto de \(-8y\).
$$ (-2) \cdot (x - 4y = -5) \;\Longrightarrow\; -2x + 8y = 10 $$Resultado: $$ \boxed{S = \{(11,\,4)\}} $$
Verificación. En la segunda: \(3 \cdot 11 - 8 \cdot 4 = 33 - 32 = 1\).
La segunda ecuación tiene paréntesis y términos repetidos. Hasta que no esté ordenada, no se puede decidir nada.
$$ 5x - 5y - 3x + y = 10 \;\Longrightarrow\; 2x - 4y = 10 $$Los tres términos se dividen por 2, y el sistema queda mucho más amable.
$$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ x - 2y = 5 \end{cases} $$Los coeficientes de \(y\) quedaron opuestos solos.
$$ \begin{array}{rcl} x + 2y &=& 5 \\ x - 2y &=& 5 \\ \hline 2x &=& 10 \end{array} $$Resultado: $$ \boxed{S = \{(5,\,0)\}} $$
Verificación. En la segunda ecuación original, sin simplificar: \(5(5 - 0) - 3 \cdot 5 + 0 = 25 - 15 = 10\).
\(x\): lámparas buenas. \(y\): lámparas defectuosas.
"Pierde" significa que ese término resta.
$$ \begin{cases} x + y = 2100 \\ 0.6\,x - 0.8\,y = 966 \end{cases} $$De la primera, \(y = 2100 - x\).
$$ 0.6\,x - 0.8\,(2100 - x) = 966 $$Al distribuir el \(-0.8\), el segundo término cambia de signo y suma.
$$ 0.6\,x - 1680 + 0.8\,x = 966 \;\Longrightarrow\; 1.4\,x = 2646 \;\Longrightarrow\; x = 1890 $$Resultado: $$ \boxed{1890 \text{ buenas y } 210 \text{ defectuosas}} $$
Verificación. \(0.6 \cdot 1890 - 0.8 \cdot 210 = 1134 - 168 = 966\). Y 210 defectuosas sobre 2100 es un 10 %, un número creíble para una fábrica.
\(x\): el largo, en metros. \(y\): el ancho, en metros.
El perímetro de un rectángulo cuenta dos largos y dos anchos.
$$ \begin{cases} x = y + 25 \\ 2x + 2y = 210 \end{cases} $$La segunda se divide por 2, y la primera ya viene despejada.
$$ x + y = 105 \;\Longrightarrow\; (y + 25) + y = 105 $$Resultado: $$ \boxed{\text{Largo } 65 \text{ m y ancho } 40 \text{ m}} $$
Verificación. Perímetro: \(2 \cdot 65 + 2 \cdot 40 = 130 + 80 = 210\) m, y el largo supera al ancho en exactamente 25 m.
\(x\): monedas de $0,50. \(y\): monedas de $1. Una ecuación cuenta monedas y la otra, plata.
$$ \begin{cases} x + y = 20 \\ 0.5\,x + y = 16 \end{cases} $$Los coeficientes de \(y\) son iguales, así que restamos la segunda de la primera.
$$ 0.5\,x = 4 \;\Longrightarrow\; x = 8 \;\Longrightarrow\; y = 12 $$Cambia solo el término independiente de la segunda ecuación.
$$ 0.5\,x = 20 - 25 = -5 \;\Longrightarrow\; x = -10 \;\Longrightarrow\; y = 30 $$Resultado: $$ \boxed{\text{(a) Sí: 8 monedas de \$0,50 y 12 de \$1. \quad (b) No.}} $$
Interpretación. Y acá está el detalle importante: el sistema de la parte (b) sí tiene solución matemática, el par \((-10,\,30)\). Lo que no tiene es sentido, porque nadie puede tener \(-10\) monedas. Un sistema puede ser compatible determinado y aun así no responder que sí al problema: siempre hay que revisar si la solución encaja en el contexto.
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