Este es el primero de tres apuntes de trigonometría. Acá construimos la herramienta: las razones que conectan los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos.
En el segundo la usamos para resolver triángulos rectángulos completos —alturas, distancias, ángulos de elevación—, y en el tercero saltamos a triángulos que ni siquiera tienen ángulo recto.
Al terminar vas a poder:
Identificar hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente respecto de un ángulo dado.
Calcular seno, coseno y tangente de un ángulo agudo a partir de los lados.
Usar la calculadora en los dos sentidos: del ángulo al número y del número al ángulo.
Obtener una razón a partir de otra con la relación pitagórica, sin conocer el ángulo.
De ese triángulo ya conocés una relación: el teorema de Pitágoras, que vincula los tres lados entre sí.
Pitágoras relaciona lados con lados. Lo que le falta es el otro protagonista del triángulo: los ángulos. Eso es exactamente lo que vienen a resolver las razones trigonométricas.
Antes de definir nada hay que fijar un vocabulario, y acá está la primera trampa. Elegimos uno de los dos ángulos agudos —digamos \(\alpha\)— y desde ahí bautizamos los catetos:
Cateto opuesto a \(\alpha\): el que no toca a \(\alpha\), el que le queda enfrente.
Cateto adyacente a \(\alpha\): el que sí forma el ángulo \(\alpha\) junto con la hipotenusa.
La hipotenusa es siempre la misma, mire quien mire. Pero opuesto y adyacente se intercambian si cambiás de ángulo:
Mirando desde α: el opuesto es BC y el adyacente es AB.
Mirando desde β: los dos catetos cambian de rol. La hipotenusa AC, no.
Elvira
Acá se cae medio curso: "opuesto" y "adyacente" no son apellidos del lado, son cargos temporales. Antes de escribir una razón, marcá el ángulo con el que trabajás. Si te olvidás, vas a mezclar los dos catetos.
Una razón es una división. Y eso es todo lo que son el seno, el coseno y la tangente: tres formas de dividir dos lados del triángulo rectángulo.
Como es un cociente entre dos longitudes, el resultado es un número puro: no tiene unidades. Si el triángulo se mide en centímetros, arriba y abajo hay centímetros y se cancelan. \(\sin \alpha\) no es "0.6 cm", es 0.6.
Gema
Para no confundirlas, la regla que se usa en todo el mundo: SOH · CAH · TOA. Seno = Opuesto sobre Hipotenusa, Coseno = Adyacente sobre Hipotenusa, Tangente = Opuesto sobre Adyacente. Escribila en el margen del parcial y ya no dudás.
Hay tres razones más, que son simplemente las anteriores dadas vuelta. Aparecen menos, pero conviene reconocerlas porque el nombre no delata cuál es la inversa de cuál.
De las definiciones salen dos igualdades que valen para cualquier ángulo agudo. La primera se llama relación pitagórica, porque es Pitágoras disfrazado: si dividís \(\text{op}^2 + \text{ady}^2 = \text{hip}^2\) por \(\text{hip}^2\), eso es lo que queda.
La notación \(\sin^2 \alpha\) significa \((\sin \alpha)^2\): calculás el seno y después elevás al cuadrado. Estas dos relaciones sirven para algo muy concreto: conocida una razón, obtener las otras sin averiguar el ángulo. Lo vas a ver en el Ejemplo 4.
Queda una pregunta incómoda. Sobre un mismo ángulo \(\alpha\) se pueden dibujar infinitos triángulos rectángulos, unos más grandes que otros. ¿No debería dar distinto el seno en cada uno?
No. Y la razón es intuitiva: si agrandás el triángulo manteniendo los ángulos, todos los lados se agrandan en la misma proporción. Al dividir dos de ellos, esa proporción se cancela.
Mismo ángulo, distinto tamaño: 3/5 = 6/10 = 0.6. El cociente no se entera.
Ese es el sentido de "ida": tecleás el ángulo y obtenés el número.
Elvira
Antes de tocar nada: la calculadora tiene que estar en DEG (o D). Si dice RAD o GRAD, todos tus resultados van a estar mal y no vas a darte cuenta, porque igual salen números creíbles. Chequeo: \(\sin 30^\circ\) tiene que dar exactamente 0.5.
El camino inverso también hace falta, y todo el tiempo: sé cuánto vale el cociente y quiero saber qué ángulo lo produce. Para eso está la tecla \(\sin^{-1}\) —también escrita arcsin—, que en la calculadora sale con SHIFT sobre sin.
Lo mismo con \(\arccos\) y \(\arctan\). Mientras trabajemos con ángulos agudos —entre \(0^\circ\) y \(90^\circ\)— la respuesta que devuelve la calculadora es la única posible.
Un ángulo se puede escribir de dos formas: \(32.17^\circ\) (decimal) o \(32^\circ 10'\) (grados y minutos). Un grado tiene 60 minutos, así que se pasa de una a otra como con las horas.
Para volver: la parte decimal por 60. En \(22.62^\circ\), \(0.62 \cdot 60 \approx 37\), o sea \(22^\circ 37'\). La calculadora hace las dos cosas con la tecla de grados-minutos-segundos.
No. El seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y en un triángulo rectángulo la hipotenusa es siempre el lado más largo. Un cociente con el número más chico arriba nunca llega a 1.
Conclusión que conviene tener a mano, mientras el ángulo sea agudo: $$ \boxed{0 < \sin \alpha < 1 \quad \text{y} \quad 0 < \cos \alpha < 1} $$
Ese "agudo" importa. Más adelante, cuando el ángulo se defina sobre la circunferencia trigonométrica y pueda pasar de \(90^\circ\), el seno y el coseno también toman valores negativos y el rango se estira a \(-1 \leq \sin \alpha \leq 1\). Dentro de un triángulo rectángulo eso no pasa: los tres lados son positivos.
La tangente es otra historia: divide un cateto por el otro, así que puede valer 0.2, 1 o 57. Si te da un seno mayor que 1, hay un error de planteo antes del cálculo.
En el triángulo de la figura, los catetos miden 3 cm y 4 cm, y la hipotenusa 5 cm. Calcular las seis razones trigonométricas de \(\alpha\).
Triángulo de lados 3, 4 y 5
Mirando desde \(\alpha\): el cateto de 3 cm le queda enfrente (opuesto), el de 4 cm forma el ángulo (adyacente) y la hipotenusa es 5 cm.
Es el control gratis de todo ejercicio de este tipo.
$$ 0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1 $$Interpretación. Las tres razones básicas quedan $$\boxed{\sin \alpha = 0.6, \quad \cos \alpha = 0.8, \quad \tan \alpha = 0.75}$$ Notá que el seno y el coseno son menores que 1, como tenían que ser, y que la tangente no tiene ese límite.
Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de 10 cm y uno de sus ángulos agudos mide \(35^\circ\). Hallar los dos catetos.
Tengo la hipotenusa y quiero el cateto opuesto: la razón que junta esos dos lados es el seno.
$$ \sin 35^\circ = \frac{\text{op}}{10} $$El 10 está dividiendo a la incógnita, así que pasa multiplicando.
$$ \text{op} = 10 \cdot \sin 35^\circ \approx 10 \cdot 0.5736 \approx 5.74 \text{ cm} $$Interpretación. Los catetos miden $$\boxed{\text{op} \approx 5.74 \text{ cm} \quad \text{y} \quad \text{ady} \approx 8.19 \text{ cm}}$$ Los dos son menores que la hipotenusa, que es lo esperable.
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 5 cm y 12 cm. Hallar la hipotenusa y los dos ángulos agudos, expresados en grados y minutos.
Con los dos catetos alcanza para todo lo demás
Para los lados no hace falta trigonometría todavía.
$$ h = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} $$\(\alpha\) es el ángulo opuesto al cateto de 5 cm. Como conozco los dos catetos, la tangente es la más directa: no arrastra ningún redondeo previo.
$$ \tan \alpha = \frac{5}{12} \approx 0.4167 $$Los tres ángulos suman \(180^\circ\) y uno ya se llevó \(90^\circ\): a los dos agudos les quedan \(90^\circ\) para repartirse.
$$ \beta = 90^\circ - 22^\circ 37' = 67^\circ 23' $$Interpretación. El triángulo queda completamente determinado: $$\boxed{h = 13 \text{ cm}, \quad \alpha \approx 22^\circ 37', \quad \beta \approx 67^\circ 23'}$$ El ángulo más chico es el que mira al lado más chico, que es exactamente lo que uno espera al ver el dibujo.
Gema
Truco de control en dos segundos: el ángulo más grande siempre mira al lado más grande. Si te da que un ángulo de \(22^\circ\) está enfrente del lado más largo, no busques el error en la calculadora: está en el planteo.
De un ángulo agudo \(\alpha\) se sabe que \(\sin \alpha = \dfrac{2}{3}\). Hallar \(\cos \alpha\) y \(\tan \alpha\) sin calcular el ángulo.
Es la única igualdad que conecta seno y coseno sin pasar por el ángulo.
$$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \;\Longrightarrow\; \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 $$Nos quedamos con la raíz positiva: \(\alpha\) es agudo, así que su coseno es positivo.
$$ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \;\Longrightarrow\; \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745 $$Si el resultado es correcto, el ángulo que sale de cada razón tiene que ser el mismo.
$$ \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 41.81^\circ \qquad \arctan(0.894) \approx 41.81^\circ $$Interpretación. Con un solo dato quedaron determinadas las tres razones: $$\boxed{\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745, \quad \tan \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0.894}$$ Esto confirma lo de antes: fijado el ángulo, todo lo demás queda fijado con él.
Error: usar siempre el mismo cateto como "opuesto", sin fijarse desde qué ángulo se mira. En el triángulo de la sección 01, escribir \(\sin \beta = \frac{BC}{AC}\) porque antes habíamos escrito \(\sin \alpha = \frac{BC}{AC}\).
Correcto: desde \(\beta\), el cateto opuesto es \(AB\), no \(BC\). Entonces \(\sin \beta = \frac{AB}{AC}\). Marcá el ángulo en el dibujo antes de escribir la razón.
Error: tener la calculadora en RAD. Con \(\tan 30\) en radianes sale \(-6.405\), un número que no puede ser la tangente de un ángulo agudo, y aun así muchos lo copian.
Correcto: modo DEG. Verificación instantánea: \(\sin 30^\circ = 0.5\) exacto. Si no da 0.5, no sigas.
Error: despejar al revés. De \(\sin 35^\circ = \frac{x}{10}\) concluir \(x = \frac{10}{\sin 35^\circ} \approx 17.4\).
Correcto: el 10 está dividiendo a \(x\), así que pasa multiplicando: \(x = 10 \cdot \sin 35^\circ \approx 5.74\). Control rápido: un cateto no puede ser más largo que la hipotenusa.
Error: leer \(\sin^{-1}\) como "uno sobre seno" y calcular \(\frac{1}{\sin 0.5}\).
Correcto: \(\sin^{-1}\) es el arco seno: la función que va del número al ángulo. \(\sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\), mientras que \(\frac{1}{\sin 30^\circ} = 2\). Son dos cosas distintas y la notación no ayuda.
Error: tratar al seno como un factor que multiplica al ángulo y "simplificar", o afirmar que \(\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha\).
Correcto: \(\sin\) solo no significa nada; es una máquina que recibe un ángulo y devuelve un número. Y no reparte: \(\sin 60^\circ \approx 0.866\), mientras que \(2 \cdot \sin 30^\circ = 1\).
| Razón | Cociente | Recíproca |
|---|---|---|
| seno | opuesto / hipotenusa | cosecante |
| coseno | adyacente / hipotenusa | secante |
| tangente | opuesto / adyacente | cotangente |
Y las tres ideas que sostienen todo lo demás:
Opuesto y adyacente se definen respecto de un ángulo. Cambiás de ángulo, se intercambian.
La razón depende solo del ángulo, no del tamaño del triángulo. Por eso la calculadora la tiene guardada.
Con \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) y \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) pasás de una razón a las otras sin conocer el ángulo.
Elvira y Gema
Los seis van de menor a mayor. Hacé cada uno en papel antes de abrir la respuesta: leer una solución y entenderla no es lo mismo que poder escribirla. El último es una trampa, avisadas están.
Opuesto: 8 cm. Adyacente: 15 cm. Hipotenusa: 17 cm.
Resultado: $$ \boxed{h = 17 \text{ cm}; \quad \sin \alpha = \tfrac{8}{17}, \quad \cos \alpha = \tfrac{15}{17}, \quad \tan \alpha = \tfrac{8}{15}} $$
Verificación. \(0.471^2 + 0.882^2 \approx 0.222 + 0.778 = 1\), como manda la relación pitagórica.
Resultado: $$ \boxed{\text{op} \approx 13.38 \text{ cm}, \quad \text{ady} \approx 14.86 \text{ cm}} $$
Verificación. \(13.38^2 + 14.86^2 \approx 179 + 221 = 400 = 20^2\). Y los dos catetos son menores que 20, como corresponde.
Raíz positiva, porque el ángulo es agudo.
$$ \sin^2 \alpha = 1 - 0.6^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \;\Longrightarrow\; \sin \alpha = 0.8 $$Resultado: $$ \boxed{\sin \alpha = 0.8, \quad \tan \alpha = \tfrac{4}{3}} $$
Verificación. Es el triángulo 3-4-5 otra vez, mirado desde el otro ángulo agudo: \(\cos \alpha = \frac{3}{5} = 0.6\) y \(\sin \alpha = \frac{4}{5} = 0.8\).
Ahora el opuesto es 24 m y el adyacente 7 m: la fracción se da vuelta.
$$ \beta = \arctan\left(\frac{24}{7}\right) \approx 73.74^\circ \;\Longrightarrow\; \beta \approx 73^\circ 44' $$Resultado: $$ \boxed{\alpha \approx 16^\circ 16', \quad \beta \approx 73^\circ 44'} $$
Verificación. \(16^\circ 16' + 73^\circ 44' = 89^\circ 60' = 90^\circ\). Cierra exacto, y de paso confirma que el ángulo chico mira al lado chico.
El rumbo que quería (100 m, perpendicular a la orilla) y el desvío (50 m, paralelo a la orilla) forman un ángulo recto. El ángulo \(\alpha\) que buscamos está en el punto de partida, entre el rumbo deseado y la trayectoria real.
Desde \(\alpha\), el desvío de 50 m es el cateto opuesto y los 100 m del ancho son el adyacente: dos catetos, entonces tangente.
$$ \tan \alpha = \frac{50}{100} = 0.5 $$Resultado: $$ \boxed{\alpha \approx 26^\circ 34'} $$
Interpretación. Se desvió unos \(27^\circ\) de su rumbo, y de paso nadó más metros: la trayectoria real mide \(\sqrt{100^2 + 50^2} \approx 111.8\) m en lugar de 100 m.
Tomamos \(\alpha = 30^\circ\) y lo duplicamos.
$$ \sin 30^\circ = 0.5 \qquad \sin 60^\circ \approx 0.866 $$El seno no multiplica al ángulo: es una máquina que recibe un ángulo y devuelve un cociente entre lados. Ese cociente no crece de forma proporcional, y no puede: el seno nunca pasa de 1, pero el ángulo se puede seguir duplicando.
Resultado: $$ \boxed{\sin(2\alpha) \neq 2 \sin \alpha} $$
Interpretación. Con un solo contraejemplo alcanza para tumbar la afirmación. Y el argumento del techo la mata en general: si fuera cierta, \(\sin 90^\circ\) tendría que valer 2.
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